常用离散分布

1、2.4常用离散分布(一)(One Dimension Special Discrete Distribution)每个随机变量都有一个分布，不同的随机变量可以有不同的分布，也可以有相同的分 布.随机变量有千千万万个，但常用的并不多，本节介绍的是离散随机变量中的二项分布、 泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布 ，主要介绍二项分布和泊松分布.2.4.1 二项分布(the Binomial Distribution)定义2.4.1如果随机变量X的分布列为P(X 二 k)二 Chl-P)巴k =0,1,., n则称这个分布为二项分布，记为X b(n, p).一、二项分布的几个特点：1. 服从二项

2、分布的随机变量X需满足的条件：X二“在n次独立重复的Bernoulli试验中，某事件 A发生的次数”.2. p 二 P(A),q=1-p 二P(A).说明：n次独立重复的Benoulli试验共有2n个可能的试验结果，事件X =k包含其 中的C：个,并且这每一个事件均表示“ n次独立重复的Benoulli试验中有k次事件A发 生,其余的n -k次事件A没有发生”，其中P(A)二p ,那么所包含的这每一个事件发生的概 率为 pk(1-p)nJ 故P(X 二k)二C：pk(1-p)njk =0,1,., n二项概率C； pk(1 - p)n*恰好是二项式p (1 - p)n的展开式中的第k 1项，这

3、正是其 名称的由来.例2.4.1某特效药的临床有效率为0.95,今有10人服用，问至少有8人治愈的概率 是多少？解：设X “10人中被治愈的人数”，则XLI b(10,0.95).所以10 10P(X 一8)八 P(X =i)八 C1i00.95i0.051ii =8i =8= 0.07460.3151 0.5988 = 0.9885例 2.4.2 设 X Jb(2, p),Y_b(3,p),若 P(X -1) = 59,试求 P(Y1).解:1927P(X_1)=59 二 P(X =0) =4 9=(1-p)2二 p=13P(Y _1) =1 _P(Y =0) =1 _(1 _丄)33二、二

4、点分布(Two-point distribution)n -1时的二项分布b(1,p)称为二点分布，或0-1分布，其分布列为6 / 6p(x =i) = pi(1 -P)1,i =0,1.或者记为X01p1-Pp二点分布b(1, p)主要用来描述一次Bernoulli试验中某事件出现的次数(0或1). 很多随机现象的样本空间 门常可以一分为二，记为事件A与A,由此形成Bernoulli 试验.n次独立重复的Benoulli试验是由n个相同的、独立进行的Bernoulli试验组成. 若令 Xi “第i个Bernoulli试验中，事件A出现的次数”,i =1,2,IH,n.X “在r次独立重复的B

5、 e r n o试验中，某事件发生的次数”n则Xi L b(1,p,) x 八 XiX2 川 xni 二这就是二项分布b(n,p)与二点分布b(1,p)之间的关系，即二项分布随机变量 X是n个独 立同分布的二点分布随机变量 Xi,i =1,2，川,n.的和.三、二项分布的数学期望与方差例 2.4.3 若 X b(n,p),则 E(X) =np,Var(X) = np(1-p)= npq .解 因为 X b(n, p),所以 p(x =k)二C：pk(1-p)n',k =0,1,.,n.nnE(X)八 k P(X =k)八 k C：pk(1_ p)n±k=0k=0nk =0n!

6、k!( n_k)!pk (1 - p)n _kn!k!(n _k)!kn -kP (1 一 P)n!(k_1)!( n_ k)!Pk(1-P)n -k=11k =1pn(n 1)!(k-1)!( n-1)-(k-1)!kJ(1-p)nk 4 kJ(n)4k-1)=np瓦 Cnp(1-p)(I 1kNn k4 2(n)-(k)i =k1 npCnP (1-P)k=1= npp (仆旷=npnnE(X2)=為 k2 P(X =k)八“ k2 C：pk(1 - p)n"k =0k=0八 k(k -1)k卫n!k!(n _k)!nk 、n _k 一'n !p (1 - p)'

7、 k0k!( n-k)!Pk(1- P)n _kn二'、k(k -1)k £n!k!(n _k)!kn _kP (1 - P) npn=11k 2n!(k _2)!(n _k)!kn _kP (1 - P) np=11k 22p n(n _ 1)(n _2)!(k_2)!( n_2)_(k _2)!Pl -P)(n/) _(k_2)npn2 /八bk_2 k_2“、( n_2)_(k_2)= pn(n -1)瓦 Cn/P (1 p)+npk -n 二i =k 一2 n(n 1)p2/卩"(1 一 p)(n)_ + npi _0“(n ")p2p (1-p)

8、n，np2 22=n p _np np222 2 2 2Var(X) = E(X)-E(X)= np-npn p - (np)2二 np _npnp(1 _ p)二 npq特别地，若 X b(1,p),则 E(X) = P,Var(X) = P(1 - P)= pq .2.4.2 泊松分布(Poisson distribution泊松分布是1837年法国数学家泊松(Poisoon S.D.1781-1840)首次提出的,泊松分布的分布列为kP(X =k) e,k =0,1,2,k!其中参数'0,记作X P()容易验证泊松分布满足分布列的两条性质：k(1) 非负性：P(X =k) e&#

9、39;0,(， o,k =0,1,2,)；k!k(2) 正则性：v P(X =k) =e 'k =0k=0 k!泊松分布是一种常用的离散分布，它常与单位时间(或单位面积、单位产品等)上的计数过程相联系，例如1. 在单位时间内，电话总机接到用户呼唤的次数；2. 在单位时间内，一电路受到外界电磁波的冲击数；3.1平方米内，玻璃上的气泡数；它们都服从泊松分布，可见泊松分布的应用面是十分广泛的。二、泊松分布的数学期望和方差例 244 若 X P( ),则 E(X)二Var(X) = .k解因为 XP( )，所以 P(x 二 k) e-',k=0,1,2, k!.=.? - k : k

10、:k则E(X)八 k e_ 八 k eey k!心 k!y(k1)!:,k Ji k 1 ,.y e_ i z0 i!: k k k2一 2 扎_扎 _九E(X2)“.k2ek(k -1) e_ 、k e_心 k!Jk!k 仝 k!-he、kH、2 - k_2八 k(k -1)ee-心k!心(k-2)!毗 i -i k _2 2 e_y i!=2Var(X)二 E(X2)-E2(X2) = 2 ：M2 二例2.4.5某商店出售某种商品，有历史销售记录分析表明，月销售量(件)服从参 数为8的泊松分布。问在月初进货时，需要多少库存量才能有90%勺把握可以满足顾客的 需求？解 令X =“这种商品的月

11、销售量”在月初进货时的库存量为n.则XP(8) 要求出满足要求的最小库存量n,即求出使下式成立时n的最小值n 8iP(X 辽 n)八-e -0.90i!查泊松分布表可知 P(X乞11) =0.888，P(X <12) =0.936所以，月初进货时，至少需要12 (件)的库存量才能有90%勺把握满足顾客的需求。三、二项分布的泊松近似定理 在n重伯努利实验中，记事件A在一次实验中发生的概率为pn (与n有关)， 如果当n时，有nPn0,则nimCM-Pn严呛宀证明令nPn = n，则k kCn pnd-Pn严n(n -1)(n -2)|l|(n -k 1)k!)k(1-k!'n)n

12、_knn n1 严一 In JIJke_ k!由于泊松定理是在npn J的条件下获得的，故在计算二项分布b(n, p)时，当n较大(n _10)，p较小(p乞0.1)，np大小适中(0.1乞np乞10)时，可以用泊松分布作近似，即kC：Pnkd-Pn)n_ e ',k=0,12 川k!注当n愈大，p愈小，近似程度愈好.例2.4.6已知某疾病的发生率为0.001,某单位共有5000人.问该单位患有这种疾病 的人数不超过5人的概率？解令X “该单位的5000人中患这种疾病的人数”，则X b(5000,0.001)因为 n =5000 _10, p 二 0.001 辽 0.1,0.1 乞 n

13、p = 5 乞 10所以，近似有X P(5)故5 5kP(X 空 5) =c5000O.OO1kO.999n* 八 e，=0.616 心k!例2.4.7有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险， 每个投保人在每年初缴纳 200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可从保险 公司获得100000元的赔偿费。据生命表知这类人的年死亡率为 0.001 .试求保险公司在这 项业务上(1)亏本的概率。 至少获利500000元的概率。解(1)令X ="10000名投保人在一年中死亡的人数”，则X b(10000,0.001)这10000名投保人为保险公司带来的收入

14、为：200 10000二2000000元因为 n -10 000 -10, p =0.001 乞 0.1,0.1 乞 np =10 乞10所以，近似有X P(10)，故P(“保险公司亏本”)=P(X .20) =1-P(X 乞 20)20 iok k J011 - 0.998 =0.002k =0k!（2） P（“保险公司至少获利500000元”）二P（X叮5）15k z010kkJ0k!-0.951例2.4.8为了保证设备正常工作，需要配备一些维修工人。已知每台设备发生故障是相 互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01 .试在以下各种情况下，求设备发生故障 而不能及时修理的概率。（1） 一名维修工负责20台设备。3名维修工负责80台设备。解令 X二“该名维修工人负责的20台设备在同一时刻出故障的台数”Y “ 3名维修工人负责的80台