对数论特点与应用研究

1、对数论特点与应用研究 导读:随着数学其它分支的发展 , 研究数论的方法也在 不断发展。 : 数论,数学规律 , 积数 1. 数论概况 人类从学会 计数开始就和自然数打交道了 , 为了满足生活的需要 , 人们 又以正整数 （自然数 ）为基础定义了负数、有理数等其它的数 字。人们把正整数 , 零及负整数统称为整数。数学和数字的 世界是五彩 缤纷的一直以来 , 数学家们都十分重视对于整数性质的研究 获得了一些重要理论成果 , 从而对数论乃至整个数学的发展 起到了极大的推动作用。通过对整数问题的不断探索和创新 人们熟悉并掌握了整数的许多性质 , 从而使得数论的理论体 系逐步完善。伟大的德国数学家高斯在

2、其出版的天才着作 算术研究中创立了数论最基本的研究方法 , 即同余理论。 从而开创了现代数论的新纪元。在学科的划分上 , 有的学科 侧重于以研究对象来划 , 有的学科则侧重于以研究方 法来划分。随着数学其它分支的发展 , 研究数论的方法也在 不断发展。下面根据研究法的不同 , 介绍一下数论的最基本 的四个分支 , 即初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。 用算术方法来研究数论 ,从而形成数论的一个独立分支 , 即 初等数论分支。初等数论是数学中历史悠久的分支之一它的 主要内容为整数的整除理论、不定方程理论、同余理论等。其中整除理论是在带余数除法的基础上建立起来的 , 是初等 数论的基础内容

3、; 不定方程理论是促进数论发展的重要内容 同余理论是初等数论所特有的概念和方法 , 是初等数论的核 心部分。致力于一些特殊整数及特殊不定方程的研究的古希 腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。近代着名的数学家费马、 欧拉、拉格朗日、高斯等人为近代初等数论的发展作出了卓 越的贡献。费马于 1640 年提出了费马小定理 , 即如果 p 是素 数, 那么对于任何整数。高斯于 1801 年出版了他的天才着作 算术研究 , 书中对同余理论作了较为系统的研究。 。人们 把高斯这一伟大的着作看作是数论作为数学的一个独立分 支的标志。中国古代文化中也有初等数论知识的记载 , 如被 西方称为中国剩余定理的孙子定理和秦九

4、韶的大衍求一术 就驰名世界。近些年来 , 初等数论在很多领域得到广泛的应用。解析数论 是用解析方法来研究数论中的问题的一个分支 , 它起源于对 素数分布问题的研究。它的基础是由瑞士数学家欧拉建立 的。在 18 世纪 , 欧拉采用分析的方法给出了欧拉恒等式的证 明。可以说 , 狄利克雷为解析数论的发展奠定了结实的基础。 随着不断引进解析的方法来研究哥德巴赫猜想, 孪素数 , 华林问题等着名数论问题而迅速发展。从上个世纪三十年代开 始, 解析数论在中国得到了较大发展 , 出现了华罗庚、陈景润 等一批着名数论专家 , 其中华罗庚教授解决了高斯完整三角 和的估计这一历史难题 , 给出了最佳误差阶估计。

5、随着不断 引进解析的方法来研究哥德巴赫猜想 , 孪生素数 ,华林问题 等着名数论问题而迅速发展。陈景润于 1966 年对“哥德巴 赫猜想”取得了 (l+2) 的世界最先进的结果 , 并创立了“陈 氏定理” ,受到了国际数学界的高度赞扬 , 称其为筛法的光 辉顶点。2. 数论的特点数论有一个特点 : 表面简单 , 实际难。我们知道 , 许多数论问 题是从实际经验中纳总结出来的 , 因此数论问题的叙述简单 明了, 很容易被人们理解和接受。尽管如此 ,数论问题的证明 却并非容易。数论在数学中的地位是独特的 , 加世纪的大数 学家希尔伯特称数论是“其它科学的典范” , 是“数学知识 永不枯竭的源泉”。

6、正因为如此 , 数论在当代数学家丢多涅 的着作现代数学概观中被列为 A 级。数论还有一个特点 就是它的对称之美。如素数与合数、孪生素数、三生素数、 四生素数以至 n 生素数 , 好像双胞胎、 三胞胎、 四胞胎以至 n 胞胎一样 , 一对对、一双双、一群群体态面貌酷似的孪生姐 妹、孪生兄弟成双成对 , 给人以美的享受 , 赏心悦目 , 心旷神 怡, 不得不惊叹自然天成的鬼斧神工 ! 自从有了人类文明 , 就 有了数论 , 所以数论很“古老”。如欧几里得的原本和 丢番图的算术中就有数论的较为详尽的阐述。然而 , 到 目前为止数论发展还很不完善 , 正如数学家弥永昌吉所 说, “这个理论的大部分仍然

7、笼罩在神奇的面纱之下”。1900 年 8 月 6日, 第二界国际数学家大会在法国巴黎隆重开 幕。年仅 38 岁的德国大数学家希尔伯特提出了 23 个重大的 问题或难题 , 提出了新世纪数学界的奋斗目标。正是这些不 断提出的新问题 , 引起了人们研究数论的极大兴趣。人们对 数论问题如此的“偏爱” ,不单单是想研究数论难题 , 更重 要的是看重在研究难题的过程中产生的新的概念、方法和一 些具有重要价值的研究成果对数学的有力的推动作用。 3. 数论的应用 数论, 来自于实践 , 同时又反过来为实践服务。 现实世界提出的问题导致了数学分支的产生, 例如微积分理论、微分方程理论 , 以及偏微分方程理论等

8、都是这样产生的。 随着数论研究的深入 , 数论中产生的好的思想、方法及结果 逐渐渗透到数学的其它领域的研究当中 , 促进 了其它学科的较快发展 , 同时这些好的方法与成果在对其的 应用中得到了检验 , 体现了数论研究的巨大价值。因此我们 可以说 , 数论绝不是一个孤立的数学分支。不仅如此 , 数论在我们的现实社会中已经有了更为直接的应 用 , 它与我们的生活生产有着千丝万缕的联系。经过近几十 年的发展与应用 , 数论研究所得到的成果已经广泛地应用到 社会的各个领域当中。像闻名于世的孙子定理（ 有称为中国剩余定理 ）, 它不仅是初等数论中的一个精美定理 , 而且在计 算机科学、通信理论等现代科学

9、技术领域中也得到了相当广 泛的应用 , 比如有些国家应用“孙子定理”来进行测距等。 与数论研究紧密相关的密码问题、信号处理等问题成为数论 最直接应用的典型。随着数论研究的深入 , 数论中产生的大 量的好的思想、方法及结果逐渐渗透到数学的其它领域的研 究及人们的生活生产实践当中 , 使得理论与实践更好的结合 促进了其它学科的较快发展 , 提高了人们的生产实践能力 , 从而加速了人们生活的现代化进程。因此 , 人们已经改变了 数论是纯理论数学 , 没有应用价值这一传统看法。而是认为 数论研究过程中所形成的理论与研究方法具有实用价值。正 如格莱姆于 1990 年在其公开演讲中宣称的 : 现在数论是最

10、有 用的数学分支 ! 我国数学大师陈省身也主张将数论作为一门 应用数学学科来看待。 伴随当今计算机科学与电子技术的飞速发展 , 密码学研究成 为一门重要的学科。传统的密码技术仅仅应用于军事、外交 等一些重要领域 ,但在当前 , 随着社会的发展 ,密码技术已经 广泛应用到金融、政务、商业等许多重要领域 , 与我们每个 人的生活息息相关 , 围绕着信息安全 , 密码学越来越成为一 门重要的学科。 。 当前世界上几乎所有具有实用价值的公钥 密码体系基本上都是基于三种数论难题 , 即整数分解、离散 对数及椭圆曲线上的离散对数。数论问题的设立与加密和编 码相联系 , 而解密和破译则取决于数论问题的求解。数论问 题的难解使得密码不易被破译。由此可见 , 数论研究过程中 所形成的理论与研究方法具有实用价值 , 就是数论里的难题 也可为现实生活某些领域提供了数学上的依据。因此数论不 仅是典型的纯粹数学 , 而且它又是得到广泛应用的“应用数 学