对称性在积分中应用

1、对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系 , 小到分子原子 .根据对称 性, 我们就可以把复杂的东西简单化， 把整体的东西部分化 . 本文介绍运用数学中的对称性来 解决积分中的计算问题 , 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应, 从而简化定积分、重用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性 积分、曲线积分、 曲面积分的计算方法 . 另外对于曲面积分的计算 , 本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算 . 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时 , 许多问题用“正规” 的方法解决， 反而把计算复杂化 , 而善于运用

2、积分中的对称性， 往往能使计算简捷 ,达到事半 功倍的效果 .关键词： 积分 对称 定积分 重积分 曲线积分 曲面积分 区域对称 轮换对称引言相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义重积分的对称性目录（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用八、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中

3、，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果 .下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义二、相关的定义定义1:设平面区域为D ,若点(X, y)忘D = (2a -x, y),则D关于直线x = a对称，对称点（X, y）与（2a -x, y）是关于x = a的对称点.若点（x, y） Du （x,2b - y）U D（x, y）,则D关于直线y = b对称，称点（x, y）与（x,2b - y）是关于y = b的对称（显然当a=O,b=O对D关

4、于y , x轴对称）.定义2:设平面区域为D ,若点（X, y）亡D U （y a,x a）,则D y = x + a对称,称点(X, y)与(y - a, X -a)是关于y = x +a的对称点.若点(x, y)丘Du (a y,a x)忘D，贝U D关于直线y = ±z对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线.空间对称区域.对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义定义3: （1）若对V（X, y,z）0,3点（x,y-zQ,则称空间区域0关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性 若对F（X, y,z）

5、忘O, 3点（x,y-zQ ,则称空间区域O关于z轴对称；利用相同 的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性 若对F（x, y,z） 0 , 3点（-X,-y,Z） Q ,则称空间区域0关于坐标原点对称. 若对P（x, y,z） 0 , 3点（y,z,x）,（z,x,则称空间区域。关于x, y,z具有轮换对称性.定义 4:若函数f（x）在区间（a,a）上连续且有f（x-a） = f（x + a）,则f（x）关于X = a对称当且仅当a = 0时f (X)= f(X),则f (x)为偶函数.若f (a x) = f (a + x),则f (X)为关于(a,0 )中心对称.当且仅当a=0时有f(

6、x) = -f(x)则f(x)为奇函数.若f(X a) = f(X +a)且 f (a x) = - f (a + X)则 f (x)既关于 x = a对称，又关于(a,0 )中心对称.定义 5 若 n 元函数 f (X1,X2 " ,Xn)三 f (Xi,XT，"，Xn,X1；，XiJ,( i= 1,2,，n),则称n元函数f(Xi，X2，Xn)关于Xi,X2，Xn具有轮换对称性.定义 6：若 V P(X1,X2Xn)忘 Dn U Rn( n 亡 N)有 p i(Xi,XiH4,，Xn,Xi；,x )-Dnij/(i =1,2，n)成立，则称Dn关于p(Xi,X2，,Xn

7、)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用引理 设函数f(X)在la-h,a+h上连续，则有a +h |-1Jf (x)dx = t f (a + X)+ f (a -x) dx(1)证令X = a +t,有adhhhf f(x)dx= f(a+t)dtf(a +t)dta -h“ -h“000hL f (a + t)dt = -( f (a -u)du = t f (a

8、 -u)du将(3)式带入(2)式,并将积分变量统一成 X ,则a -hhri仁 f (x)dx = L f (a +x) + f (a - x)dxdx特别地，令a =0 ,就得公式f (x)dx 打f(x)+ f(_x)dx由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (X)在Lh,h 上连续，那么hh2) 若 f(x)为偶函数，则 f f(x)dx=2f f(x)dx*0h3) 若f(x)为奇函数，则r f(x)dx = O_h次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,求"付cosxdx申 x2 +13解:虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分x、

9、rcosx禾n cosx，前一部分X2中1是奇函数,后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.cosxdx+ 巴 cosxdxJ A22 02 cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h上求解。F面我们把定理1推广到更一般的情况.定理2 设函数f (x)连续aTh1 )若y=f(x)的图像关于直线 x=a对称，即f(x-a)=f(x +a)，则对一切 h >0，有 J f(x)dx=2 J f (x)dx2)若y = f(x)的图像关于原点(a,0 )中心对称，即f(a-x)=-f(a + x)，则对切 h >0，, a 4h有仁 f(x)

10、dx = O证1)由(1)式及已知条件f(X a) = f (x+a)，有a 令ha4hf f (x)dx=2 f f(a+x)dx=2f f(t)dta -h0"o2)有(1)式及已知条件 f (a - X)= - f (a + X)，有adhhf f (x)dx = Odx =0 a 鼻 '/- 0曲 c + , 戶 xsin x , 例2求I = f 厂dx'0 1+cos2x因此汽丫关于点(；,0)点中心对称,21 +cod x有区间b,兀关于X '对称，故由定理221 + cos x解：由于sinx及 1 c都关于xJ对称，(X-兀)关于C ,0)点

11、中心对称,2 2 224I=f xsi巴 dx=f1 +cod X 0(x-)+ ' sinx2 21 + cod2xdx =4(X -二)sin x1+cod2x 2于是2 的 2)有 1=(2本例中的被积函数 xsinx(1 +COS2 x)原函数不是初等函数，所以不能直接利用牛顿一F面来看看两个函数图莱布尼兹公式，但利用对称性却能容易地求出其值以上我们研究的是一个函数图像本身的对称性在积分中的应用, 像之间的对称关系是如何在定积分中的应用的定理3设f(x)，g(x)都是连续1)若f (x)与g(x)关于直线X = a对称，即f(X - a) = g(x + a)，则对一切h &g

12、t;0，a -ha 卅有 r f(x)dx=2j g(x)dxa ho2)若f (x)与g(x)的图像关于原点(a,0)中心对称，即f(a-x) =-f(a + x)，则对a卅a +一切 h >0，有f(x)dx=f g(x)dxa _ha _hdxx+寸a2 -x23T解：设 X =asint，0，则dxJIsin t而由定理3可证2 一dt0 sin t + cost'0JI2"s总fdr2dtx+Ja2 -x2costdt，故sin t + cost亠dtSint + cost兀故I =注：定理3可以推广到更一般的情况定理4设f (x)与h(x)都连续，则1)2)

13、aafu(x)dx=T fu(a-x)dx；aax fu(x) + fu(a -x)dx = a L fu(a-x)dx.IT nn、丄苗谱 sin X cos X . 计算例5计算I = JJ（xy + y3）dxdy，其中D为由dx0 1 -3sinx cosx nnn n加人一、 sin xcos X 兀 、 cos x-sin x解：令 f(x)=，贝y f(-x)=1 -3si nx cosx21 -3s in x cosx所以f(X)= f ( -x) = 0 ,2由定理3得兀 nn冷 Sin x-cos X , c f2dx = 0.乜 1 -3sinx cosx我们可以看出这些

14、都是教材中常见的等式，我们使用对称性给出了它们的简洁证明，并 有一定的规律可循.另外，取各种连续函数f（X），又可以从已知的公式中到处许多公式（二）重积分中的对称性定理及应用在二重积分的计算中利用对称性不仅要求积分区域D具有对称性，而且被积函数对于2y =2x与X = 2围城的区域.解：如图所示 几，积分区域D关于X轴对称,且图形待定区域D也要有有对称性.但在特殊情况下区域 D不对称，或者关于对称区域D的被积函数不具备对称性，也可以经过一些变化使之能用对称性来计算定理5设二元函数f（x,y）在平面区域D连续，且D关于X轴对称，则1) 当 f(X,y) = f(X, y)(即 f (x, y)是

15、关于 y 的奇函数)时，有 JJ f (x, y)dxdy = 0D2）当f （x,y） = f（X, y）（即f（X, y）是关于y的偶函数）时，有JJf（x, y）dxdy =2jjf（x,y）dxdy0,其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域.DD1f(x,y)二(xy + yD) = f(x, y)即f（X, y）是关于y的奇函数，由定理 5有3y+y类似地推出下面的定理:定理6设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则若 f (_x, y) = f(X, y)，则 JJ f (x, y)dxdy =2 JJ f (x, y)dxdy002若 f (X, y) = f

16、(X, y)，则 JJ f (x, y)dxdy =O0其中02是由y轴分割D所得到的一半区域.Onnof(u)例6计算I = JJxy f (x +y )dcr ,，其中0为y = x， y = 1所围成的区域,0是连续函数.图形待定解：如图 几，作辅助线y =x3，它把区域D分成01，02两部分，其中 01 =*x, y JO <y <1,V7<x <引'y, 02 =qx,y )|0<x<1,-x3 < y <x3,在 0i322F(x,y )=xy f(X +y )满足 F (x, y) = F (x, y)，而 0i 关于 y

17、轴对称，JJxy'f(X2 + y2)db = O.01在 02上，F(x,y) = F(x, y)，且 02关于 x轴对称，因而 JJxy3f(x2 + y2)db=O02因此 I = JJxy3f(x2+y2)db = JJ + JJ =O02001例 7 计算二重积分 I = U(|x|+| y|)dxdy，其中 0 : |x|y20解：如图所示 几，0关于x轴和y轴均对称，且被积函数关于 x和y是偶函数，即有f(x,-y) = f(X, y) = f (x, y)由定理5,6，得I = JJ(| x| +| y|)dxdy =4JJ(|X| + | y|)dxdy001其中01

18、是0的第一象限部分，2有对称性知，川x | dxdy =川y | dxdy,0101故 I = 4 JJ (I X I +1 y |)dxdy = 4 U(| X | +1 y |)dxdy = 8川 x| dxdy =-图形待定D1D1D13定理7设平面区域D =Di +D2,且Di, D2关于原点对称，则当D上连续函数满足1) f(X,y) = f(X, y)时，有 JJf(x, y)dxdy=2 JJf(x, y)dxdyDD12) f(x,-y) =f(x, y)时，有 JJf (x,y)dxdy = O.D例 8 计算二重积分 jj(x3 + y3)dxdy，区域 D ： x2 +

19、y2 <1Df (x, y) =x3 + y3，有解：如图所示 几，区域 D关于原点对称，对于被积函数3333f(X,y) =(X )+(-y ) = (X +y ) = -f(x, y)由定理7,得JJf(X, y)dxdy = O定理8设二元函数Df(x, y)在平面区域D上连续，且D=D1 +D2，且D, D2关于直线y = x对称，则1)2)3)JJ f (x, y) dxdy =DJJ f (x, y)dxdy = JJ f (x, y)dxdy .D1D2当 f (y,x) =f(X, y)时，有 JJf(X, y)dxdy = O.D当 f (y, X)= f(X, y)时

20、，有 JJ f(X, y)dxdy = 2 JJ f(X, y)dxdyDD1JJf (y,x)dxdy;D2 2例9求I =仃(务+每)dxdy，区域D : X2 + y2兰1Da b解：积分区域关于直线 y=x对称，由定理8，得2 2 2 22x+2)dxdyb2 2 .22 2故匕帥"：呼；2+帥吧(；2111221112兀 1 3匚(了+戶戶+y)dxdy匚(了+了孙叭rdr相似地，我们可得以下定理:定理9设二元函数f (x, y)在平面区域D上连续，且D = 04+02，且D1, D2关于直线y = _x对称，则1) f(y,-x) =f(x, y)时，有 JJf (x,y

21、)dxdy = 0;D2) f(y,-x) = f (x, y)时，有 JJ f (x, y)dxdy =2 JJ f (x, y)dxdy .DD1注：在进行二重积分计算式， 我们要善于观察被积函数的积分区域的特点，既要注意被积函数的奇偶性也要注意积分区域的对称性.恰当地利用积分中的对称性，可以避免计算的 繁琐，时二重积分的解答大大简化重积分的对称性定理及应用在三重积分中我们也有类似的结论定理10设空间有界闭区域 O = 0102,01与O 2关于xoy坐标平面对称，函数f(x, y, z)在0上连续,那么:1)若f (x, y, z)是关于z的奇函数，则 川f(x,y,z)dv=0Q2)若

22、 f (x, y, z)是关于 z 的偶函数，则 川 f(x,y,z)dv=2川 f (x,y,z)dv QQ同样地，若积分区域分别关于yoz, zox坐标平面对称，也有类似的结论:推论11 )若f (x, y, z)是关于x的奇函数，则川 f(x,y,z)dv = OQ2)若f(x,y,z)是关于x的偶函数，则川 f (x, y,z)dv = 2川 f (x,y,z)dv QQ推论21)若f(x, y,z)是关于y的奇函数，则川 f (x,y,z)dv = O Q2)若f(x, y,z)是关于y的偶函数，则zIn(X2 +例10计算三重积分I =仃 一dv，其中0是由球面Q x+y+z +X

23、2 +y2 +z2 =1所围成的空间闭区域.所以解：积分区域 O关于xoy面对称，被积函数zIEWt是z的奇函x2+y2+ z2 +1r严（宀宀宀1）Qx2+y2+z2 + dV=°定理10 若空间区域0具有轮换对称性,若fy（X, y, z）=fy, z,x） = f1（ z,x,y）,fff f （x, y,z）dv=3nr f1（x,y,z）dv.在有些问题中，尤其对于三重积分，在被积函数及积分区域都没有对称性的时，而被积.下面我们给出例函数具有轮换对称性，我们利用轮换对称性可以使问问题得到简便的计算例11求I2 2 2 2,.2=fff（x+ -z2）dxdydz,其中 V

24、是椭球体 笃 +7 a b cayb2厶1.c2解：由于2 2 2=川ydxdydz 川dxdydz JJJdxdydz,'v' a/ b'V、c八a x2y2其中川一2dxdydz= f dx fdydz,这里V表示椭球面为2-二avXb2+ zC22兰12a它的面积为兀（bj1-5（cj1-）"bc（1-¥）.b a aa于是2Xra兀be 2川pdxdydz= f pxV aa2）4（1 -x 'dx = 兀abc.15同理利用轮换对称性可得V24川七 dxdydz =兀 abc, V b15f f f ydxdydz =兀 abcV&

25、#39; C15所以I =川（牛 +占+ 勺 dxdydz = 3（£ 沢 abc） =4 江abc./a b c155四、对称性在曲线积分中的定理及应用(一)第一型曲线积分1、平面曲线积分f(x, y)ds的计算若曲线L关于X轴对称，记L位于X周上半部分的L1，则:3) 当 f(x,y)= f(x,y)时，JLf(x,y)ds=2Lf(x,y)ds4)当 f(X,y) = f(X, y)时，f(x, y)ds = 0同理能得到关于Y轴对称的式子.例 12 求 I =qjx2 +y2ds，其中 L 为圆周 x2+y2 = R2. L解：因为曲线 L关于y轴对称，记位于 y轴上方部分为

26、 Li，而被积函数满足:所以I i&x2+y2ds = 2qJx2 + y2ds = 2R2LL1注:对于一般情况我们可以得出引理引理：设L关于直线x=a对称的一条曲线弧，则1)若 f(X, y) = f (2aX, y)，则 f f(x,y)ds = O.2)若 f(X, y) = f (2a - X, y)，则(f (x, y)ds = 2 f (x, y)ds，其中Li =(x,y严 L|x<a.例13计算I = Jl (y + 3y5 - x)ds ,其中L是曲线(x-2)2+y2=1所围成的 回路.解：因为L关于x轴和直线X =2对称，故I = y+ 3y5ds-(x-

27、2)ds-2ds设 f(X, y) =y + y5，则 f (x,y) = -f (x, y)；设 g(x,y) =x 2，则g(4 x,y) =x-2 = g(x, y).所以有I = y+3y5ds- (x-2)ds- 2ds = 0+0- JL2ds = 8江.2、空间曲线积分 F(x,y,z)ds的计算若积分曲线r关于xoy面对称，记r位于xoy面上半部分为r1，则1)当 F(x,y,z) =F(x,y,z)时，F(x, yz)dF(x, y, z)ds2)当 F(x, y,z) = -F(x, y, z)时，$F(x,y,-z)ds = 0同理可得关于yoz , zox面对称的式子.

28、例题略.(二)第二型曲线积分对于第二型曲线积分还需要我们考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标方向之间的夹角小于 二时，投影元素的符号为正，否则为负，就f(x, y)dx而言，只需考察f(x, y)dx2在对称点的符号.但第二类曲线积分有关对称性的结论与第一型曲线积分结论恰好相反:定理11 设积分曲线L是平面分段光滑曲线，若曲线L关于x轴对称，且L在x轴上半部分与下半部分走向相反，曲线L1, L2分别是L位于X轴上、下方的部分，则1) L f (x, y)ds =0，当 f(X, -y) = f (x, y)时;2) L f (x, y)d2 L f (x, y)ds,当 f (x,-y) =f

29、 (x, y)时.其中，f(X,y) = f (x, y)表示 f (x, y)是 y 的偶函数，f (x, y) = -f (x, y)表示 f (x, y)是y的奇函数。注：当定理中两部分的方向相同时则结论与定理相反推论：设L是xoy平面上关于直线 x = a对的一光滑曲线弧，L L2，任意 (X, y) L，有(2a -X,沪 L?,且L, L?在y轴投影方向相反，则1)若 f(X, y) = f (2a -x, y),则f (x, y)ds =02 )若 f(X, y) = f (2a X, y),则f (x, y)ds =2 ( f (x, y)ds定理12若积分曲线T关于x, y

30、, z具有轮换对称性，即f (x, y, z)dx,J f(x, y,z)dz= J f (x,y,z)dy =则f(X, y, z)ds = 3 f(x,y,z)dx.2 2 2例14计算I =(y + x)cosxydx ,其中L为圆周X +y =1,以逆时针方向.2解：令 f(x, y)=(y +x)cosxy , (x, y)亡 L,2 2 2 2将 L分为 Li :x +y =1,y>0与 L2:x +y =1,y<0两部分.对于对称点(X, y), (X, yF L，有f (x, y) = f (xy),而L, L?两部分关于y轴对称，且方向相同，所以2I = (y +

31、x)cosxydx =0.例15设L为球面X2 + y2 + Z2 =1和平面X + y + Z = 0的交线，若从x轴正向看去,L时沿逆时针方向的，试计算下列第二型曲线积分：I = (xdx + ( ydy + zdz2 2 2解：把 y = x -Z代入 X +y +z = a2 2 2,得 2x +2z +2xz = a .令 x = u + v,2 2uV ,z = u-v,可得+=1命2审所以可取au =-cos 日76aV = sin0 ,0 十0,2叮 V2由此可知L的参数方程为X = -cosT + 阜sin 84642y =-字cos8 ,V6aaz = cos日一 -f=

32、sin9 , 9 忘0,2兀 J6V22 2 -a3由轮换对称性可知因为ydy =土a2,t cossi门讪总=0,xdx = L ydy = (zdz = 0，所以I = xdx + ydy + zdz = 0 .五、曲面积分的对称性(一)第一型曲面积分的对称性定理及应用定理13若积分曲面S可以分成对称的两部分 S=S1 +S2，在对称点上被积函数的绝对值相等，即光滑曲面 S关于xoy (或xoy,或xoy )坐标面对称，则有1)若在对称点上f (x, y, z)取相反的符号，即f (X, y, z)关于z (或x,或y)的奇函数,则，LS f(x,y,z)dS =0.2）在对称点上f （x, y, z）取相同的符号，即f （x, y, z）关于z （或x ,或y ）的偶函数,则，JSf(x,y,z)dS =2仏 f(X, y,z)dS.推论1若光滑曲面S可以分成对称的两部分S = S1 + S2,且关于原点对称，则1) JS f (X, y, z)dS = 0 ,