定积分基本公式

1、定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领 域中都有广泛的应用本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计 算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等 第二节微积分基本公式、变上限的定积分I f（ x）d x 设函数f（x）在a,b上连续，a,b，于是积分a v j这种写法有一个不方便之处，就是 X既表示积分上限，又表示积分变量.为避免X是一个定数,混淆,y我们把积分变量改写成t，于是这个积分就写成了Ja f（t）dty=f(x)X在a，护（X）上变动时，对应于每一个X值，积分a "Mt就有一个确定的ax a f（t）dt是变上限X的一

2、个函数，记作（X）= a PM值，因此b ）通常称函数 （X）为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示定理1如果函数f（x）在区间a,b上连续，则变上限积分X（x）= afdt在a,b上可导，且其导数是d x（讥/"）X推论连续函数的原函数一定存在且函数（X）haf（t）dt即为其原函9 / 52计算(x)= ,sintdt£ n在x=0 ,2处的导数.9 xsint2dt因为dx 0=sin x2,故2(2) =sin -=返(0) =sin02=0 ；( 2 )4例2 求下列函数的导数:(1)(x)sexl nt严0)-7这里（X）是x的复合函数,其中中间变量u

3、 =ex,所以按复合函数求导法则，有dx du(udt)d(ex)dxIn ex xe =x(2)(“=1 sin 万出(x .0)sin、弓解 dx dxM（x2）sin x2sin x2x = -x2、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 设函数f（x）在闭区间a，b上连续，又F（x）是f（x）的任一个原函b数，则有 af(x)dF(b)-F(a)x（x） f 证 由定理1知，变上限积分af（t）dt也是f（x）的一个原函数，于是知(x)-F(x) =Co,C0为一常数,即a我们来确定常数C0的值，为此，令X二a，有a f(t)dF(a) C0，得C-F(a)因此有x

4、j f(t)dt = F(x)-F(a)t a再令x = b，得所求积分为bJ f(t)dt=F(b)F(a)-a因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得bjaf(x)dx = F(b)-F(a),其中 F(x)=f(x).上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式 常采用下面的格式：bbf (x)dx 二 F(x) a二F(b) -F(a)求定积分:2(1) 1 (x-)dx 刃；(2)dx；x2dx解(1)21(X -)2dx =：(x2 22)dxx=()+2x-丄)x 3x21 (2)2x(1 - x)dx2=22 -(I xFE2-arcs

5、in3*) 93398.231 二 2(arcsin2(3)" x二 2arcsin . x二x在T,1上写成分段函数的形式 Vxdx =于是二0X)dx.0f(x)X,-仁 x 0,x, 0 _ x _1,1xdx =0-1COSX t2e1 dtlim 2例2 计算x )0x0解 因为x > 0时,cosx > 1,故本题属0 型未定式，可以用洛必达法cosx 12则来求这里1是x的复合函数，其中u =cosx,所以d cosx 12L e dt-cos2 x .=e (cos x)'cos2x二一sin xe,于是思考题1.若cosx2e dt2_cos x1 .sin x e-sinx os2x2= limlirexx J02xx0 2x丄2e .x2f(x)=.2sint dtf（X）二？2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数 f（x）在积分区间a,b上连续.问当f（x）在a,b区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算 定积分？并计算22 f(x)dx,其中x2,