锐角三角函数-基础和提优

1、 第第六讲 锐角三角函数本章思维导图学习要点与方法点拨：一、锐角三角函数的概念，解直角三角形以及特殊锐角与其三角函数值的对应关系；二、解直角三角形的工具：（1）两锐角互余；（2）锐角三角函数；（3）勾股定理；三、要学会构造“直角三角形”模型。遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解。课前复习：1， 勾股定理及其逆定理；2， 利用数形结合的思想解决问题。模块精讲1、 正弦、余弦、正切和余切我们学过直角三角形中的一个性质：“30°所对的直角边是斜边的一半”，如图，不管三角形的边长如何变化，都有：我们再拓展到更一般的情况，如图，A为任意锐角。根据相似的性质，

2、同样可以得到：也就是说，在直角三角形中，给定了一个锐角，不管直角三角形的边长如何变化，这个锐角的对边与斜边的比是一个定值。我们给这个定值取了一个名字，叫做正弦。B如图，在RtABC中，C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A。即：斜边c邻边b对边aAC sin A = A的对边斜边 = a c同样的，我们也有：我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A。即： cos A = A的邻边斜边 = b c需要注意的是：（1）sin A和cos A是一个比值，它们的实质是两条线段的比，没有单位；（2）在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正

3、数，所以有如下结论：（A为锐角）0sin A1， 0cos A1（3）sin A和cos A都是整体符号，记号中省去符号“”。但是，如果角用一个数字或者三个字母表示时，不能省去符号“”，例如，应写成“sin1”和“sinADB”，不能写成“sin1”和“sinADB”；（4）由sin A= a c 可变形得到 a = c·sin A， c = a sin A ，这些变形以后经常用到；（5）通常将(sin A)2、(cos A)2分别写成sin2 A、cos2 A、sin2 60°等。例1、（1）在RtABC中，C = 90°，AC = 2，BC = 1，求sin

4、A、cos A、sin B和cos B的值；（2）分别计算sin 30°，sin 45°，sin 60°的值；（3）在RtABC中，C = 90°，sin A = 8/17，求cos A和tan A的值。B在RtABC中，C = 90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A。即：斜边c邻边b对边aAC tan A = A的对边A的邻边 = a b同样的，我们也有：我们把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cot A。即： cot A = A的邻边A的对边 = b a例2、（1）在RtABC中，C = 90°，A

5、C = 12，BC = 5，求sin A，tan A和cot A的值；对于30°、45°、60°这样的特殊角，含有这些角的直角三角形很容易得出三边的比例关系，也容易得到这些角的三角函数值：sincostancot30°45°60°例3、 计算（1）cos45°sin45° - tan 45° ；（2）cos2 60° + sin2 60° ;（3）tan45°sin30° + tan 60°2、 特殊角的三角形函数的常见题型1、含30°、 45&

6、#176;、 60°角的三角函数的计算题例4、 已知a = sin 60°，b = cos 45°，求 a+2ba-b+bb-a 的值。2、应用特殊角的三角函数值求边长或面积例5、 已知在ABC中，AB = AC = 8，顶角A为120°，求底边BC的长及ABC的面积。3、运用特殊角的三角函数值判断三角形的形状例6、 已知在ABC中，A、B均为锐角，且有|tan B3|(2sin A3)2 = 0，试判断ABC的形状。A4、探索其他特殊角的三角函数值例7、 如果要求tan 15°的值，可构造如图所示的直角三角形ABC：D15°30&#

7、176;使C = 90°，AB = 2，AC = 1，ABC = 30°，延长CB到D，BC使DB = AB，连接AD，易得ADB = 15°，请利用此图求出tan 15°的值。DQ5、三角函数与几何的综合题例8、 如图，POQ = 90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，A顶点C在OQ上，且OBC = 30°，求点A、点D到OP的距离。C作垂线，倒角，并利用三角函数值求边长和距离。ODPB练习： 1、计算：sin2 45° cos 30°·tan 60° = _；A2、在RtAB

8、C中，C = 90°，c = 23，b = 3，O则A = _，三角形的面积S = _；ANM3、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点CBM、N分别为OB、OC的中点，求cosOMN的值。4、如图所示，一张RtABC纸片，如图用两种相同的纸片恰好能拼成一个正三角形，那么在RtABC中，CBsin B的值是_。5、若为锐角，且满足3tan2 4tan 3 = 0，求的度数。6、四边形ABCD是平行四边形，已知B = 60°，BC = 4，AB = 2，试求四边形ABCD的面积。3、 三角函数及函数性质ACBbaA的正弦、余弦和正切都是A的三角函数。1、一个锐

9、角的正弦值和它的余角的余弦值相等：c如图，在RtABC中，C = 90°，则有：sin（90°A）= cos A， cos(90°A) = sin A.2、一个锐角的正切值和它的余角的余切值相等：如图，在RtABC中，C = 90°，则有：tan（90°A）= cot A， cot(90°A) = tan A.3、取值范围：0sin A1， 0cos A1， tan A和cot A可取全体正数。4、增减性：随着A的角度增大，A的正弦sin A和正切tan A逐渐增大，而A的余弦tan A和余切cot A逐渐减小。例9、 （1）已知A+

10、B = 90°，且sin A = 3 5 ，则cos B = _，tan B = _；（2）已知sin 35° = m，则 cos _° = m；（3）在RtABC中，C = 90°，若sin B = 0.21，则cos A = _；（4）sin 32°_sin 38°， cos 54°_cos 60° ， tan 78°_tan 82°（填或）；（5）若A和B都是锐角，且AB，则sin A_sin B， cos A_cos B， tan A_tan B；（6）若是锐角，且sin 1 2 ，则的

11、取值范围是（ ）A、0°30° B、30°60° C、60°90°5、四种三角函数之间的关系：同一个锐角 的三角函数有如下几种关系： 平方关系： sin2 cos2 = 1 ，称为三角函数版的勾股定理，可用勾股定理证明； 倒数关系： tan ·cot = 1 ，易得tan 和cot 是互为倒数的； 比值关系： tan = sin cos ， cot = cos sin 。例10、（1）sin2 65° + cos2 65° = _；（2）在ABC中，A为锐角，sin A = 1 3 ，则cos A = _

12、；（3）在ABC中，A为锐角，tan A = 1 3 ，则cot A = _；（4）在ABC中，A为锐角，sin A = 7 4 ，则cos A = _， tan A = _；（5）在ABC中，A为锐角，cos A = 5 13 ，则tan A = _.4、 三角函数常见题型1、求角的正弦值、余弦值例11、 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，为其最小的锐角，求的正弦值和余弦值。Py当两个量之比为m：n时，常设这两个量分别为mk、nk，如这题可以设两直角边长分别为7k、5k。另外，需要判断哪个角是最小的锐角。2、利用平面直角坐标系求锐角的三角函数值例12、 如图，在平面直角坐标系中，点

13、P（3，4）是边上的一点，求sin 的值。利用坐标系得到直角三角形及其三边长。3、利用锐角三角函数求边长或面积例13、 在QxOABC中，C = 90°，AC = 4，sin A = 1 3 ，求AB的长。A根据sin A代表的关系设未知数列方程。例14、 如图，在ABC中，cos B = 2 2 ，sin C = 3 5 ，AC = 5，求ABC的面积。CB作ADBC，根据三角函数值解三角形。4、利用三角函数关系的探求题例15、 对于任意一个锐角，有sin2 cos2 = 1，请利用这一结论求 sin2 1°sin2 2°sin2 89° 的值。 si

14、n 89° = cos(90°89°) = cos 1°， sin2 1°sin2 89° = sin2 1°cos 21° = 1 ， 原式 = 44sin2 45° = 44.5 练习： 1、在RtABC中，C = 90°，若把ABC的各边都扩大为原来的m倍，则cos B的值为（ ）DC A、mcos B B、1 m cos B C、mcosB D、保持原值不变2、在等腰ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，则sin B的值为_；E3、化简：1-sin220° = _；O

15、BA4、如图，AB是O的直径，弦AC、BD相交于点E，则CDAB等于（ ） A、sin A B、cos B C、sinAED D、cosAEDA由相似，CD/AB = DE/AE = cosAEDD5、将cos 21°，cos 37°，sin 41°，cos 46°按照其值的大小由小到大的顺序排列。6、如图，在RtABC中，ACB = 90°，CDAB于点D，AB = 10，CBcosBCD = 3 5 ，求ABC的面积。5、 解直角三角形解直角三角形是指：根据已知条件，求出直角三角形的所有边和角。（1）至少知道几个元素才能解直角三角形？在全等

16、三角形中，我们知道，有三个元素可以确定一个三角形，在直角三角形中，已知一个角是直角，因此，只需两个元素就可以了；（2）需要知道什么元素？已知两个角无法确定三角形的边，因此，我们需要知道一边一角或者两边。AaCBc（3）如何通过已知元素求其他的元素？通过直角三角形的边和角之间的关系：b 角的关系：两锐角互余，AB = 90°； 边的关系：勾股定理，a2b2 = c2 ； 边角关系：三角函数 sin A = a c，sin B = b c，cos A = b c，cos B = a c，tan A = a b，tan B = b a .例16、 根据下列条件解直角三角形：（1）在RtAB

17、C中，C = 90°，a = 5，c = 52；（2）在RtABC中，C = 90°，c = 43，A = 60°；（3）在RtABC中，C = 90°，a = 6，b = 23；B（4）在RtABC中，C = 90°，b = 15，A = 30°。cabAC例17、（1）在RtABC中，C = 90°，a = 5，b = 15，解这个直角三角形；（2）如图，在RtABC中，C = 90°，a = 4，A = 25°，解这个直角三角形，（参考数据：sin 25°0.42，tan 25°

18、0.47，结果精确到0.01）（3）在RtABC中，C = 90°，A = 70°，AB = 5，则直角边AC长为（ ）CA、5sin70° B、5cos70° C、5tan70°6、 解直角三角形的常见题型例18、 如图，在ABC中，B = 45°，ACB = 75°，AC = 2，AB求BC的长。B例19、 如图，在四边形ABCD中，AB = 2，CD = 1，A = 60°，CADD = B = 90°，求此四边形ABCD的面积。求不规则多边形面积的基本思路是“化不规则为规则”，可以用割补法。把多边

19、形变成几个易求的图形的面积的和或差。本题可以用（1）“补法”：延长AD、BC交于点E （2）“割法”：作BEAD于点E，再做CFBE于点F A例20、 如图，在ABC中，C = 150°，AC = 4，CBtan B = 1 8 ，求BC的长。作ADBC，交BC的延长线于点D。例21、 已知等腰三角形的面积为2，腰长为5，底角为，求tan 。本题需分等腰三角形顶角为锐角和钝角两种情况，得2或1/2.POA练习： 1、如图，PA是O的切线，切点为A，PA = 23，APO = 30°，则O的半径长为_；CDBA2、在RtABC中，C = 90°，tan A = 1

20、2 ，a、b、c为对应的三边长，且ab = 37，则a、b、c的长分别是_；3、如图，在ABC中，ACB = 90°，A = 30°，AB = 8，D为ABDA延长线上一点，且CDB = 45，求CD和BD的长。4、如图，在ABC中，C = 90°，D为BC上一点，ADBCDAC = 30°，BD = 2，AB = 23，求AC的长。5、如图，在四边形ABCD中，B = D = 90°，BCA = 150°，AB = 5，CD = 15，求AD、BC。视线铅垂线7、 用锐角三角函数解决问题为仰角为俯角物体B底面水平线水平线物体B观测点

21、A视线观测点P仰角俯角水平线观测点A北北偏西45°北偏东60°i = hlhl60°45°东西60°45°南偏东60°南偏西45°南 坡度i = tan = h l ，叫做坡角；Ai越大，tan 就越大，斜坡就越陡；反之，斜坡就越缓。 方向角例22、 小明和小华看到一颗大树，如图，BM为小华，CN为小明，AE为大树，MNE为底面，B、C为小明和小华的观测点眼睛，C小明：我站在此处看树顶仰角为45°，NMEDB小华：我站在此处看树顶仰角为60°，小华小明小明：我们的身高都是1.6米，ACB小华：我

22、们相距20米。请根据他们的对话，计算大树的高度。（31.732，结果精确到0.1米）例23、 如图，已知小山BC的高为h，为了测得山顶上的铁塔AB的高x，在平地上选择一个观测点P，在P点处测得B点的仰角为，A点的仰角为，（讲解）（1）试用、和h的关系式表示铁塔的高x；P（2）当 = 30°， = 60°，h为68m时，求铁塔的高度。B例24、 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD = 4米，坡度为1：3，小明在斜坡上的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上。（1）求斜坡CD 的高度DE

23、；D（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）。延长BD交AE延长线于F，易得BFA = 45°，DE = EFECA= 2，EC = 23. 设AC为x，则AB = 3x，AF = 223x，练习：（1） （2）P例25、 （2016山东临沂中考）如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔CBAP南偏西45°方向上的B处？（31.732，结果精确到0.1）CP练习：1、如图，直升飞机在跨海大桥AB的上方的P点处，此时飞机离地面的高度是a米，且A、B、O三点在一条直线上，从点P测得点A 俯角为，点B的俯角为，BA求大桥

24、AB的长。8、 三角函数与圆的综合题三角函数与几何图形综合题的思路：先把三角函数转化为线段比，再利用相似、圆等几何性质。例26、 首先，ODAE。FODFAE，得FC = 2，例27、 连OB，易得OPBOPA， OBP = 90°，sin OPA = OA/OP， BD/PA = 2/1 = BD/PB， CD/CO = 2/1，设CO = r，则CD = 2r，又BO = r， BD = 22r， 因此，PA = 2r， OP =3r，例28、 ABD = CBD， AEB = BCD；因此，sinAEB = sinBCD = BD/BC总结：根据“等角的三角函数值相等”，可以把

25、一个角的三角函数转化成另一个相等且容易计算的角的三角形函数。例29、 由BEFACF，面积比 = 相似比的平方，需求相似比，又cosBFA = BF/AF = 相似比 例30、首先，cos C = cos A，由DF = 3，易得BE = 3·4/5 = 12/5，再得CE = 16/5 = DE，设半径为r，则AB = 2r，由cos A可得BF = 3r/2，AF = 5r/2， AD = 5r/23. DE = 3r/29/5， 解方程，可得 r = 10/3. 还有更简单的方法：连DB，DBF = A，由cosA，得BF = 5， AB = 5·4/3 = 20/3

26、 连接DB构造出含DF的直角三角形。练习：（1） （2）（2）连OD、OE，易得ODCE，OEBE。因此，OEB =CBD， BO/BE = 2/3， BE = 9。9、 构造直角三角形使用三角函数例31、（1）（2）（3）例32、（1）在RtABC中，C = 90°，如果sin A = 4 5 ，则tan B = _；（2）已知等腰三角形的底为4，腰为6，则顶角的正切值是_；（3）（4）例33、（1）（2）（3）练习：（1） （2）（3） （4）课后巩固习题1. 如图(1)，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，AB=8,则的值为 ( ) 图52. 如图(2)，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点 落在处，已知，则点的坐标是（ ）（1） （2） (3) (4) (5)3. 如图(3)，在等腰直角三角形中，为上一点，若 ，则的