圆锥曲线椭圆,双曲线,抛物线定义方程与性质知识总结

1、椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点 已、F2的距离之和等于常数 （大于F,F2 ）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点 M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数 e（0 ： e ： 1）， 则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数 e叫做椭圆的离心率。说明：若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段 F1F2。若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程X2 V22 + 1（a Ab >0）中 ab心在原点，焦点在 X轴上2

2、2打 +=1（ab> 0）ab中心在原点，焦点在 y轴上图形也、111J. I*rrJrz/ JJ1-1 1蔚1 “1*范围x Ea,|y WbX Eb,|y| 兰 a顶点A （-a,0 卜 A （a,0 ）E（0,-b 卜 B2（0, b）A（0, a 卜 A2（0, a ）Bd-b,0 卜 B2（b,0）对称轴x轴、V轴； 长轴长2a，短轴长2b ； 焦点在长轴上x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b ； 焦点在长轴上焦占八'、八、FJ-c,0 卜 F2（c,0）F'O,-c 卜 F2（0, c）焦距F1F2c（>0）RF2 = 2c（c > 0）离心率e=

3、c（0 ce c1）ace = （0 v e <1）a准线2孕aX 土c2孕a y 士c参数方程 与普通方程a2 b jx = a ly = t1的参数方程为2°s（日为参数） ）sin 日2 2气+令=1的参数方程为 a2 b2y = acos&g*车舲、 y（日为参数）& = bsi门廿3.焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在 x轴上时，设Fl、F2分别是椭圆的左、右焦点，P x0, y0是椭圆上任一点，贝 V PF|=a+eX， PF2= -exo。推导过程：由第二定义得=e ( 4为点P到左准线的距离)，di(

4、a2 )贝U PF=ec1 =e x0 十一 =e« + a = a +ex)；同理得 PF2| =a ex)。简记为：左“ + ”右“”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。2 2 2 2笃2=1 ；若焦点在y轴上，则为*7笃h。有时为了运算方便，设 a ba b22mx ny 1(m0,m = n)。双曲线的定义、方程和性质知识要点：1.定义(1) 第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定长2a (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线。说明： |PFi|-|PF2|=2a (2a<|FiF2|)是双曲线；若2a=|FiF2|，轨迹

5、是以Fi、F2为端点的射线；2a>|FiF2|时无轨迹。 设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上， 则|MFi|>|MF2|, |MFi|-|MF2|=2a； 若M在双曲线的左支上，则|MFi|<|MF2|, |MFi|-|MF2|=-2a，故|MFi|-|MF2|= ±a，这是与椭 圆不同的地方。L叫相应的准线。(2) 第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线 L的距离之比是常数 e (e>i) 的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线4 / 52 .双曲线的方程及几何性质标准方程2 2,_爲=1(a>0,b>_0)a b2 2y x

6、2 子=1(a >0,b aO)图形N'i/i/ 1zKi)焦占八'、八、F1 (-c, 0), F2 (c, 0)F1 (0, -c), F2 (0, c)顶点A1 (a, 0), A2 (-a, 0)A1 (0, a), A2 (0, -a)对称轴实轴2a，虚轴2b,实轴在 x轴上，2 2.2c =a +b实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上，2 2.2c =a +b离心率c | MF2 | e a | MD |c | MF2 | e a | MD |准线方程a2a211 x , I? x cc准线间距离为迁ca2a2"yc Jy-。 准线间距离为愛 c渐近线方

7、程, y=o a ba bx + y=0,x_=0b ab a3.几个概念（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为 2。（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴2 2 2 2双曲线，例：x2 一 y2 =1的共轴双曲线是x2 一 y2 = 一1。a ba b 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛

8、物线的焦点，定直线I为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为 M ; 定点F （即焦点）；一定直线I （即准线）；一定值1 （即动点M到定点F的距离与它到定直线I的距离之比1）3 / 5 定义中的隐含条件：焦点 F不在准线丨上。若F在丨上，抛物线退化为过 F且垂直于 l的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线丨的距离之比为常数 e的点的轨迹，当0 ： e :：: 1时，表示椭圆；当e 1时，表示双曲线；当 e =1时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，

9、与抛物线的定义联系起来，通 过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1.抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2 四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此 抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2 2px p 0 ,x2 =： 2py p 0，其中： 参数p的几何意义：焦参数 p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，张口越大；卫等于焦点到抛物线顶点的距离。2 标准方程的特点：方程的左边是某变量

10、的平方项， 右边是另一变量的一次项， 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向， 即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是 x ,若x的一次项前符号为正， 则开口向右，若x的 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为 y轴时，方程中的一次项变量就是 y ,当y的 一次项前符号为正，则开口向上，若 y的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数 p，因此要做到“先定位，

11、再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y2二ax或x2二ay，这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2=2px(p>0)性质焦占八'、八、范围对称性顶点离心率准线通径F '"p,0 112,丿x色0关于x 轴对称原点e = 1x 22p1注： 焦点的非零坐标是一次项系数的 丄；4 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点,数形结合，掌握方程与有关

12、特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1 直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如 ax2 bx c = 0 (*)的式子： 当a =0时，(*)式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物 线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； 当a式0时，若> 0= (*)式方程有两组不同的实数解 = 直线与抛物线相交；若厶=0二(*)式方程有两组相同的实数解 u 直线与抛物线相切； 若< 0= (*)式方程无实数解二直线与抛物线相离.2 直线与抛物线相交的弦长问题2 弦长公式：设直线交抛物线于A

13、(xi,yi )B(x2,y2 )，则AB =<1+kAB ，XaXb或AB若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理:9 / 5MF =±x。十卫，抛物线2焦点F对A、B在准线上射影的张角为90° ；抛物线y2 h2px p 0上一点 M x0, y0的焦半径长是x2=z2py(p:>0 上一点 M(x0,y0 的焦半径长是 MF =±y0+E2六、抛物线焦点弦的几个常用结论设AB为过抛物线y2 = 2px p 0焦点的弦，设A x1, y1 ,B x2, y2 ,直线AB的倾斜 角为r，则2p2 NX?, y2 二-p ;4 AB = 2p =为 +X2 + p ;sin廿 以AB为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶