基于B样条的常微分方程数值解法的研究

1、中南大学硕士学位论文基于B样条的常微分方程数值解法的研究姓名：黄爱丽申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：韩旭里20081130摘要常微分方程历史悠久，应用广泛。在整个世纪常微分方程的数值求解得到了巨大的发展。特别是随着计算机性能的快速提高以及一些著名的数学软件的不断深化发展，使得更多的新思想得以实现，更多的复杂方法涌现出来，常微分方程求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。本文主要是将样条函数用到求解常微分方程的数值求解问题中来。首先用三次样条用来求解常微分方程初值问题，给出隐式的递推求解公式，并进行了相应的误差分析和稳定性分析。结果表明该方法的局部截断误差为（），整体截断误

2、差为（），并且是稳定的。其次我们分别以准均匀样条函数和多项式为基函数来逼近常微分方程两点边值问题，通过求解相应的方程组得到常微分方程边值问题的数值解。并给出算例，用画出绝对误差的图形，通过实际的例子来比较常微分方程在两组不同的基函数下的误差情况。数值实验的结果表明随着多项式次数的提高或者准均匀样条函数分段的加密，逼近的效果越来越好、精度越来越高。关键词：多项式；准均匀样条；常微分方程；误差分析。，（）（）：；原创性声明本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了己注明的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中

3、南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢中作了说明。作者签名：耋庭砼同期：丝年上百堡日关于学位论文使用授权说明本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定，送交学位论文。对以上规定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。作者签名：迹导师签名越日期：兰堕勉月卫日硕十学位论文第一章绪论选题背景以及研究意义第一章绪论微分方程历史悠久，差不多和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐

4、普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解的问题。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程也用过级数的方法来求解。后来瑞士的数学家雅格布贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。同时，常微分方程的形成和发展也与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。数学的其他分支的新发展都对常微分方程的发展产生了重大的影响，如复变函数、李群、组合拓扑学等等的迅速发展。最为突出的是当代电子计算机的发展更是为常微分方程的理论研究及其应用提供了非常强有力的工具。微分方程的应用也是相当的广泛，早在牛顿研究天体力学和机械力学的时候就利用了微分方程这个工具，从理

5、论上得到了行星运动的规律。后来法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程计算出当时尚未发现的海王星的位置。这些都使得数学家们更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解

6、的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。但是大部分的常微分方程求不出十分精确

7、的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的硕十学位论文第一章绪论初始条件也是近似的，这种近似之、日的影响和变化还必须在理论上加以解决。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。振荡微分方程是指微分方程的解中含有振

8、荡函数的一类特殊的微分方程，它广泛应用于分子动力学、天体力学、量子化学、原子物理及电路仿真系统、柔性系统等方面。对于振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情。近来，利用数值求解解常微分方程的一个整体截断误差公式详细研究了求解线性高振荡微分方程的展开方法。王艳丽，赵平福也对梯形公式求解线性常微分方程的误差进行了研究。、也就线性微分方程以及非线性微分方程的近似解做了一定的研究。由于大部分的常微分方程求不出精确解，而只能得到近似解，将样条函数与微分方程联系起来求方程的近似解也是样条函数的一个重要的应用。样条函数的概念早在年就由舍恩伯格（）提出来了，但是研究样条函数的热潮直到上世纪年代才兴

9、起，到年代便迅速发展起来。样条函数是应用非常广泛的数学工具，当今对它感兴趣的不仅仅是一些数学工作者，而统计计算、最优控制、计算物理、计算机辅助图形设计与制造等方面的工作者也对样条函数很感兴趣。正是由于样条函数在现实生活中的这种广泛应用，我们相信样条函数的方法将成为研究思想活跃、文献增长点高、发展前景诱人的课题领域和主流研究方向之一。综上所述，研究微分方程的数值解的问题是很有必要的。国内外研究现状世纪微分方程求解有两个重大贡献，第一个是年和发表著名的方法，该方法为利用级数构建数值方法开创了先河，同时也成为现在计算机软件系统中的一个重要组成部分。此外，时隔年之后发表文章心，这篇著作可以视为线性单步

10、法的起始，该方法不同于的方法，将方法限制在“单步上，也就是说仅仅利用最近的一个点的信息，为了提高精度，可以在两个点之间进行分割，然后再对分割的硕十学位论文第一章绪论点进行计算。最终的结果是通过对几个点的计算结果进行累积而得到的。在整个世纪常微分方程初值、边值问题得到了长足的发展。主要原因有一下几个，首先随着世纪末和开创性的的提出了线性多步法以及方法问世以来，常微分方程初始问题的近似求解问题就成为一个充满活力的研究课题；其次在世纪中期电子计算机的问世使得数值计算有了相当好的硬件基础，数值分析的实际应用大大的向前迈出了一步；同时在实际问题中出来求解解析方法之外人们更需要利用有效的算法利用有效的算法

11、建立数学模型求得数值解。世纪年代，天体中的二阶常微分方程的轨道问题的计算成为一个热点，很多经典的数值方法也在这个领域内得到广泛的应用，其中最著名的就是的线性多步法。由于的线性多步法的步数超过之后，数值计算表现出很大的不稳定，这也不称为轨道不稳定。人们在关心常微分方程求解的精度问题的同时还开始关注常微分方程的特性问题。年和第一个提出了线性多步法的稳定性的概念。也就是说对于任意步数的数值计算方法在求解周期性振荡常微分方程的初始问题时，其稳定性由步长与问题的频率乘积所属区间的宽度来进行描述。另外世纪年代冯康等人也对微分方程的数值解法做了很深刻的研究口刊。冯康教授于年提出了哈密尔顿算法，即辛几何算法，

12、并从理论和数值试验两个方面论证了辛格式所具有的独特的计算稳健性和长时间的跟踪能力。近来，利用数值求解解常微分方程的一个整体截断误差公式详细研究了求解线性高振荡微分方程的展开方法阳。王艳丽，赵平福也对梯形公式求解线性常微分方程的误差进行了研究。吴相逸等人也对一类高振荡的微分方程的误差进行了分析，他对展开法进行了修正，另外还给出了两个数值方法，一个是基于求积方法的数值解法，另外一个是基于求积方法的数值解法¨。戴勇鸣等物理领域的研究人员也对物理当中的一些较为复杂的常微分方程进行了研究，如周期性振荡方程以及非线性方程，刚性方程等的数值求解。这些方程多为一阶或二阶的常微分方程，形式简单，但却很

13、少能求得解析解，即使数值求解也往往存在着求解精度不高或因方程本身的性质特殊造成数值方法求解的结果不太理想，他着重讨论了非线性非衰减的方程，周期振荡测试方程，方程和刚性问题，并对不同的问题的稳定性，稳定性以及方法的应用进行了详细的研究纠鄹。林然等人也对分数阶常微分方程的高阶多步法和变分数阶扩散方程的数值解法进行了研究。此外，微分方程中较难的偏微分方程的数值解法的发展也是相当的迅速的，至今研究人员们还在不断的探索新的方法来求解偏微分方程，而且偏微分方程的应用也相当的广泛，研究起来具有非常强的现实意义。硕十学位论文第一章绪论此外样条的应用非常广泛，发展十分迅速。本文将样条与常微分方程结合起来，用准均

14、匀的样条函数来逼近微分方程的解，得到了比较好的结果。另外样条的一个重要应用在于计算机辅助几何设计中。最初，样条曲线都是借助于物理样条得到的，放样员把富有弹性的细木条或有机玻璃条，用压铁固定在曲线应该通过的给定型值点处，样条做自然弯曲所绘制出来的曲线就是样条曲线。样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有连续的、曲率变化均匀的特点。一样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是一样条基曲线的线性组合。一样条是不的一种贝泽尔一般化，可以进一步推广为非均匀有理样条曲线（），使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。对于样条曲线的研究主要关注两个问题：问断点的数量和

15、位置，以及曲线所采用的数学形式。样条是一种广为使用的样条曲线，其突出优点是对局部的修改不会引起样条形状变化的远距离传播，也就是说修改样条的某些部分时，不会过多地影响曲线的其它部分。非均匀有理样条曲线（），是一种用途广泛的样条曲线，它不仅能够用于描述自由曲线和曲面，而且还提供了包括能精确表达圆锥曲线曲面在内各种几何体的统一表达式。自年，公司成功地将模型应用在它的实体造型软件中，已经成为计算机辅助设计及计算机辅助制造的几何造型基础，得到了广泛应用。使用的就是这种数学模型来创建样条曲线，这也是在中进行曲面造型和实体造型的基础。现在，人们不仅仅将有理曲线曲面用于表示和构造二次曲线曲面。对有理曲线曲面的

16、权因子该如何选取往往不很清楚，而且有理形式的计算比非有理形式复杂，但是，由于其构造特性，现在人们已经开始考虑有理和有理样条曲线曲面的应用。另外还有不少学者将样条与其他的方法结合起来研究，如将样条与遗传算法相结合进行最乘拟合等等。样条函数的方法已经成为研究思想活跃、发展前景诱人的课题领域和主流研究方向之一。论文研究内容本文最主要的研究内容是常微分方程初值以及两点边值问题的样条解法。主要从以下几个方面进行了分析：第一章主要介绍了本文的选题背景，以及本文的研究思路和研究内容。第二章首先介绍了常微分方程的一些基本概念、分类以及现有的一些经典的数值解法。主要是介绍了常微分方程初值问题的欧拉法、单步法、法

17、、线性多步法、展开法、预估一校正法，边值问题的打靶法和差分方法等等。硕士学位论文第一章绪论第三章简单介绍了样条函数的基本知识，给出用样条求解常微分方程初值问题的迭代公式，对该迭代公式进行了局部截断误差、整体截断误差分析。此外还对该公式进行了稳定性分析。第四章主要是针对线性振荡微分方程的两点边值问题进行了讨论。分别给出了在两组不同的基函数下的数值解法，并且通过具体的例子对不同基函数下数值方法的绝对误差进行了比较分析。第五章为本文的结论。总结了本文的研究内容并指出本文所讨论课题将来的研究方向。硕士学位论文第二章常微分方程的基本概念与常川的数值解法第二章常微分方程的基本概念与常用的数值解法常微分方程

18、的基本概念微分方程是指联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式，而常微分方程则是微分方程中自变量只有一个的，比较简单的一种。如果自变量的个数为两个或者两个以上的微分方程则称为偏微分方程。但是，在很多情况下通过某些简化，偏微分方程可以转变为常微分方程，这样就使得常微分方程的求解成为数值计算中一个非常重要并且基础的部分。求解常微分方程时，我们通常要求出满足具体问题的特定的解，这就是所谓的定解问题，当定解条件作为初始条件时，相应的定解问题就称为是初值问题。另外一种是边界条件，与边界条件相应的定解问题就称为边值问题。特别指出一下周期性振荡微分方程。周期性振荡方程是指微分方程的近似解析解当中包含（）、

19、（）等周期性函数的一类微分方程。如二阶常微分方程”（）（，），满足边界条件（）（）这个方程的解析解中常常包含（）、（）或者等周期性函数。常微分方程的初值问题与常用的数值解法常微分方程的初值问题在常微分方程中，初值问题是指形如：罢（），哟“（）（）一若（，）发连续足条件，即存在，使得（，）一（，：）。一：，则此问题存在唯一的连续依赖于初始条件的解。但往往其精确解不好求。在实际情况下只需求其数值解就可以了。为此我们引入点列），。，我们考虑等距节点的情形，即取步长为定值。初值问题常见的数值解法常见的初值问题的数值解法有法、法、线性多步法、展开法、预估一校正法等等。其中法是最简单的单步法。其基本思想如

20、下。硕士学位论文第二章常微分方程的基本概念与常用的数值解法到我们记（）在；处的值为（；），用均差近似代替（）式中的导数即得盟掣（，（），迎掣州以）令；为（；）的近似值，将上面的公式写成等式整理后得（，），；（）（），（）从处的初值开始按公式（）可以逐步计算出以后各点的值。公式（）也就是显式的欧拉公式，由于（）的右端隐含有待求的函数值，不能逐步的显式计算，所以称公式（）为隐式的欧拉公式或者称为后退的欧拉公式。如果将（）和（）两式作算式平均，就得到梯形公式（）。：（，）（，），（）二另夕，法也是一种单步方法，它的一般思想是利用区间上若干个点的导数值，而不是高阶导数，将它们作线性组合得到平均斜率，将

21、其与解得的展开比较，使得前面若干项吻合，从而得到具有一定阶的方法，在这里只简单给出最经典的四级四阶的法的公式。（）；（，）；（罢，和；（罢，（，）微分方程的初值问题（）的数值解法中除了像法这样的单步法之外还有另外一种类型的解法，即某一步的解的公式不仅仅跟前一步的值有关系，而且还跟前面若干步解的值有关，利用前面多步的信息来预测下一步的值，这就是多步法的基本思想。构造多步法的有很多种途径，常见的有基于数值积分和基于展开这两种方法。多步法同样也有显式的和隐式的两种形式，其硕学位论文第二章常微分方程的基本概念与常，的数值解法中显式的多步法容易计算，但是精度和稳定性相应的就没有隐式的方法好。而隐式的多步

22、法在计算的过程中需要解方程，这就对初值的选取要求特别高，因为如果初值选取不当，计算量会比较大。为解决这个初值的选取问题就产生了预估一校证算法，常见的预估一校正算法有四阶的显隐式预估一校正公式和方法。常微分方程的初值问题与常用的数值解法常微分方程的边值问题在常微分方程中，边值问题是指初始条件为边界条件的一种方程，根据给定条件的不同一共有三种边值问题，这里只简单介绍两点的边值问题：（，。），（）（）口，（），当关于与是线性时，称（）为线性两点边值问题”（）（）（），（）（）口，（），边值问题常见的数值解法常微分方程边值问题（）的常见的数值解法有打靶法和差分方法两种。打靶法的基本原理是将两点边值问题

23、（）转化成下列形式的初值问题：”（，），（）；口，（），（）在这里的。为在处的斜率。令，上述二阶方程可以降为一阶方程组。，（，），（）（），（），因此边值问题就变成了求合适的。，使得上述方程组初值问题的解满足原边值问题的右端边界条件（）一卢，从而得到边值问题的解。这样把一个两点的边值问题转化成了一个求一阶方程组初值问题的数值解的问题。方程组初值问题的所有数值方法在这里都可以使用。问题的关键就是如何去找合适的初始斜率的试探值。硕士学位论文第二章常微分方程的基本概念与常用的数值解法对于给定的，设初值问题（）的解为（，。），是。的隐函数。假设（，。）随。是连续变化的，记为（，），于是我们要找的。就是

24、方程（，）一声的根。可以用迭代法求这个方程的根，比如用割线法来求解就可以得到如下的公式（）。“一面，一【慨（，）一），【，（）这样就可以按打靶法进行求解。先给定两个初始斜率值，。分别作为初值问题（）的初始条件。用一阶方程组的数值方法求解它们，分别得到区间右端点的函数的计算值（，），（，）。如果（，）一声或（，。）一占，则以（，）或（，。）作为边值问题的解。否则就用上述割线法（）求解，再判断它是否满足精度要求（，）一。如此重复，直到某个。满足（，。）一卢，此时得到的（；）和（；）就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。由于这整个过程好比打靶，。作为斜率为子弹的发射，（）为靶心，故称为打靶法。另外

25、一种方法是差分方法，它是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程离散化为线性的或者非线性的方程组（即差分方程）来求解。差分方法的基本思想是将一个微积分问题转化成代数问题，从而达到解微分方程的目的。基本步骤如下：（）将微分方程的自变量的连续区域进行离散化；（）利用差分公式计算各个格点上的各阶导数：（）将各阶导数的差分表达式代入微分方程从而得到最后的迭代公式；（）利用求得的迭代公式进行计算。考虑线性边值问题（）的差分法。将区间，分成等分，子区间的长度（），分点。（，）由（。）；墅掣型（）；”（照吐掣幽（）。忽略余项，将差商分别代入（。）式中节点。处的一阶和二阶导数从而实现离散化。设

26、（），（），（），用近似表示（）建立差分方程！，！：挚。訾。；，硕十学位论文第二章常微分方样的基本概念与常川的数值解法关：。的线性方程组，（一）（一）（），一利用边界条件。口，。，将他们分别代入上面的和一的两个方程中，整理后得到关于。，：，。的方程组（）。（）（）一（一）口，（一）（一）（），（），（一。）。一（。）。一（。一）卢方程组（）是一个三对角方程组。若（），且步长满足，则方程组（）的系数矩阵是严格对角占优的，此时方程组（）的解存在并且唯一，用追赶法求此方程组时一定是数值稳定的，用迭代法求解此方程组时一定是收敛的。若，（），则由常微分方程的理论得出，两点的边值问题（）的解存在唯一。设。

27、是差分问题（）的解，而（）是边值问题（）的解（）在节点。的值，（），则截断误差有下列估计式（。）一尘鱼云兰羔二，其中）（）。因此，当呻。的时候，差分方程的解收敛到微分方程边值问题的解。除了上面讨论的线性的两点边值外，还存在非线性的情形。将非线性的边值问题离散化之后得到的方程组还是非线性的。下面简单介绍一下用有限差分的方法求解非线性的边值问题的数值解。区间划分与离散化方法同线性的情形，于是可以得。处的差分方程：！；！，：；挚，。（，学），利用边界条件口，。卢，将他们分别代）；￥一的两个方程中，并将已知量移到方程的右边，整理后得到关于。，：，。的方程组硕十学位论文第二章常微分方程的基本概念与常用的

28、数值解法解。（，）口，（，：！挚）：，；，一，¨（巾¨，訾）够可以用非线性方程组迭代法来求解上面的方程组，从而求的边值问题的数值本章小结本章主要介绍了常微分方程的一些基本概念，然后再分别介绍了根据初始给定的定解条件的不同，分别介绍了常微分方程的两类问题，即初值问题和边值问题。另外还介绍了这两类问题中已有的数值方法，如初值问题的法、法、线性多步法、展开法、预估一校正法等等，边值问题的打靶法和差分方法。总体感觉边值问题要比初值问题稍微复杂一点，如打靶法就是把边值问题转化为初值问题，然后再通过求解满足一定条件的初值问题方程组来求解的。硕十学位论文第二章样条求解初值问题的误著分析第

29、三章样条求解初值问题的误差分析样条函数的基本知识样条方法是计算机辅助几何设计中的一个关于形状描述的基本方法，它兼具了方法的所有优点，同时又克服了方法只能整体表示而不具有局部性质的缺点。有关样条的理论早在年就由舍恩伯格（）提出，但是这篇论文直到年发表。年，德布尔（）与考克斯（）分别独立发表了有关样条计算的标准算法比吨。年戈登（）与罩森费尔德（）研究方法的基础上将样条引入到计算机辅助几何设计里来的性。样条有多种等价的定义，在理论上较多地应用截尾幂函数的差商定义。另外还有著名的德布尔一考克斯的递推公式的递推定义。小墨翻委；。（）；旦；小。（）土吐（）（）一规定旦：样条函数具有如下几个方面的性质：（）

30、递推性上面的定义（）表明（）规范性罗（）一（）局部支撑性质（包含了非负性）蹦）盛翻裟（）微性在节点区问内部它是无限次可微的，在节点处是次可微的，即它是卜的，这罩的是指节点的重复度。此外样条曲线具有很好的局部性质，也就是说次样条曲线上的参数【；，】的一点（）至多与个控制顶点有关，与其他的控制顶点无关；移动该曲线的第个控制顶点；至多将影响到区间【；，。】上的那部分形状，对曲线的其它部分不产生影响。样条曲线有很多种不同的分类方法。样条曲线按节点矢量中节点的分布情况的不同，可以分为四种不同的类型。它们分别是均匀样条曲线、准均匀样条曲线、分段曲线和一般非均匀样条曲线。均匀样条曲线是其中最简单的一种，在定

31、义域内的每个节点区间上都有相同的图形，其中任意一节点去上上的样条基函数都可以看成是由另一节点硕学位论文第二章样条求解初值问题的误差分析区间的样条基函数平移得到的。正因为这个比较好的性质，我们司以将定义在每个节点区间上用整体的参数表示样条基变换成，】区间上来表示。只需要作参数变换（），其中【，】，。变换之后就使得所有的节点区间上的样条基函数具有相同的统一的数学表达式。即对于节点区间【，】上的个非零的规范样条。（），。（），（）变换成，（），（），】，。（）的一般表达式也由施法中给出，见公式（）。，（）叁善（）：（。）。，【，】，。，（）将公式（）改写成幂基的形式为（）薹，】，其中，昔善（一）：（

32、【矿，进一步的可以改写成矩阵的形式【（），（），（）】【，。】下面给出三次均匀样条基函数的矩阵表示的系数矩阵，。三由于均匀样条基函数在曲线定义域内各节点区间上具有用局部参数表示的统一的表达式，使得计算与处理简单方便。但是它的定义的样条曲线有个缺点，就是没有保留曲线的端点的几何性质，样条曲线的首末端点不再是控制多变形的首末顶点。二次除外，高于二次的均匀样条曲线在端点处不再与控制多变形相切。为了解决这个问题，引入了准均匀样条的概念，使得对曲线的端点的行为有比较好的控制。次准均匀样条曲线的节点矢量中两端节点具有次重复度，所有的内节点均匀分布，由此决定的样条基函数所定义的准均匀样条曲线就具有同次曲线的

33、端点的几何性质。在曲线的定义域内除了两端的个节点区间外，次准均匀样条基函数在其它节点区间上有着与次均匀样条基函数相同的图形。硕十学位论文第三章样条求解初值问题的误差分析样条函数求解初值问题的误差分析我们考虑（）所指的常微分方程的初值问题的方程求解。罢（），唧“（。）初值问题数值解的求解公式将问题（）中的（）用三次样条可展丌为（）一美，（），从而有，（，（）（川荟，（旱）】。（，（）；（）一【，（旱）】。毒【：（羔争一：（羔一争】所以，（，（）（）正苫言啤：（羔争一：（羔一三）】荟，砘：一荟，：所以，（）正）；）丘（）；薹，蟛啡沁知，硕十学位论文第三章样条求解初值问题的误差分析（，（）广（），罗

34、；角；），劈啪灿一否否了并且，对，下式都成立，此外，所以，（，（）。（）一【：（【：（）一：（一丢）】一一“（）叫（）。瞄【（。（，（）一”（）同理可得，暑【（争（）一（单，（一。（，（）一。（）（）一争】（）一圳一）】）一，（至旦三三蔓）。（三旦三堕一）一将（）中各式做如下的组合有（）（）冰；：台有而从一一孓筒，盼一铲筒硕十学位论文第三章样条求解初值问题的误差分析豺蚴（），（）】。旦（二！二！±！二！些±鱼！一警！凼）臼丢（一厂）我们将（）式减去（）式，得（，（）盏，（；）。，（）】一西（一。一。）（）（）（，（）盏，（；）峨。，（¨）】西，（。，（。）一（，（

35、）】（）将（）作为求积公式重新考虑问题（），则在，上，（，（）（；，（；），）蔷【。（，（；”（，（）】（）此求积公式正好与在；，上将（，（）仅看成的一元函数时用三次埃米特插值所得求积分公式一样，故而由埃米特插值公式可知，（）式的误芝芒月：（聊，）（）篆卿（亭，倍）；叩，亭；从而，）（；）（；，（；）（，（”蔷【“，（）（，（）】硕士学位论文第二章样条求解初值问题的误差分析于是得到用样条改进的求常微分方程数值解的迭代公式（，；）（，¨西【。（，；）（）】（）此公式（）是一个隐式求解公式，可用迭代法来解。隐式求解公式的误差估计引理设，声苫，且实数序列满足递推不等式（口）刁；，则有口（）

36、删。命题用隐式求解公式（）来求解仞值问题时所产生的局部截断误差为（），整体截断误差为（），且是稳定的。证明：当（；）时，可得公式（）的局部截断误差式为；（）一兰（，（；“）（，）卜西（，（）（）；“，（¨【（）一）】西（，）【（）一）】二（，¨一百（，）其中毒。和，都在（）与之间。由上面的式子立刻可得，；“一兰，（，袅。）西（。，）面（芋，停”因此我们得到用（）式求解常微分方程初值问题数值解时产生的局部截断误差为（）。下面讨论（）式的整体截断误差。由上述讨论可以知道，整体截断误差式为玉（）一，（，（”（，）（。，（）（，）】硕十学位论文第三章样条求解初值问题的误差分析一西（

37、；，（；）（）（；，；）。，（）（）】罢（，刚（，凡，）】【，（，）（，）耵于是有，一罢，（，）西；，）】王。兰，（；，口。）一西；，（；，）】考虑一般情形罢（，氏。）西，）】，则有，一令，扣，（）（以）】一彭（，¨“，（；）二（，如）瓦，）！：！：！一一罢（，艮。）西（，。）呜器墨（，嗽订。一，）芸（，）”坜丐一（，），酬：一。瞎¨一罢（，）芸（，）”王。王扣，（）（，氏。）卜爿（，¨，（；）一（，几）西，）硕士学位论文第三章样条求解初值问题的误差分析故有，巾再（，）。一号（，刚等（）（，屈）一（，）。一知。如）缸（，）。去丐蔫磊。一。，（）墨（）王王，耐一）丽

38、（盯一）从而当（）一。时，玉景（一）（）。这说明用（）式求解常微分方程初值问题数值解时产生的整体截断误差为（），比局部截断误差低一阶。另取初值为（），（），则由（）式经过迭代产生两个序列），）与上类似。可以算出（）（）叶。而当时，有耵。令，则有，从而说明由隐式迭代公式（）来求解初值问题（）是稳定的。本章小结这一章我们主要介绍了样条函数的一些基本的理论知识，包括它的定义，性质，分类等等，着重介绍了一下均匀样条函数的表示方法以及准均匀样条函数与均匀样条函数函数的区别。此外还讨论了三次均匀样条函数求解常微硕十学位论文第二章样条求解初值问题的误著分析分方程初值问题，给出了隐式的求解公式（），并对该公式求解边值问题的误差进行了研究，该公式求解微分方程初值问题的整体截断误差位（），局部截断误差为（）。并且由隐式迭代公式（）来求解初值问题（）足稳定的。硕十学位论文第四章一类振荡微分方程在两组不同基下的数值解第四章一类振荡微分方程在两组不同基下的数值多项式以及准均匀样条基函数首先简单介绍本章主要利用的数学工具多项式以及准均匀样条为基函数蝴。次多项式函数的一般形式为（）：（一）”，；一其