两直线的位置关系

1、两直线的位置关系第四课时点到直线的距离公式教学目标： 1. 理解点到直线距离公式的推导;2.熟练掌握点到直线的距离公式;3.会用点到直线距离公式求解两平行线距离教学重点 :点到直线距离公式教学难点 :点到直线距离公式的理解与应用教学过程.一、复习引入前面我们一起研究学习了两直线的平行、 垂直的充要条件， 两直线的夹角公式， 两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法。这一节 , 我们来研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线距离。二、探索研究1. 提出问题在平面直角坐标系中 , 如果已知某点 P 的坐标为 (x 0,y 0), 直线 l 的方程是 AxBy C 0, 怎

2、样由点的坐标和直线的方程直接求点P 的直线 l 的距离呢 ?2. 解决方案 :方案一 :根据定义 , 点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线段的长 ( 如右图 ).设点 P 到直线 l 的垂线段为PQ,垂足为 Q,由 PQ l 可知直线 PQ的斜率为B/A(A 0), 根据点斜式可写出直线PQ的方程 , 并由 l 与 PQ的方程求出点 Q的坐标 ; 由此根据两点距离公式求出|PQ|, 得到点 P 到直线 l 的距离 d.师：此方法虽思路自然，但运算较繁.下面介绍另一种求法.方案二 :设 A0,B 0, 这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交 , 过点 P 作 x 轴的平行线

3、 , 交 l 于点 R(x1,y 0); 作 y 轴的平行线 , 交 l 于点 S(x 0,y 2), 由由三角形面积公式可知:所以,.可证 , 当 A=0 或 B=0 时 , 以上公式仍适用, 于是得到点到直线的距离公式: .三、反思应用例 1求点 P（ -1 ， 2）到下列直线的距离： 2xy 10 0 3x 2解：（ 1）根据点到直线的距离公式得（ 2）因为直线平行于 y 轴，所以说明（ 1）直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；（ 2）体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.例 2. 求平行线2x 7y 6 0 和 2x7y 80 的距离 .解 : 在直线 2x 7y

4、 6 0 上任取一点 , 例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直线 2x 7y 8 0的距离就是两平行线间的距离.因此:.小结 ：求两平行线距离的方法转化为点到直线的距离的方法. （化归为点点距离）变：求与平行线2x 7y6 0 和 2x 7y8 0 等距离的直线方程。分析：画图，设所求直线方程为2x 7y m0，则 8 m m（ 6），即 m 1所求直线方程为2x 7y1 0例 3：（ 1）求过点 P(-1,2)且与原点的距离为的直线方程分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式，求出斜率k。解：设直线方程为：y 2 k(x+1) ，即 kx y k 2 0解之得 k 1 或 k

5、 7故所求直线方程为y 2 2(x+1) 或 y 2 7(x+1)即： x y 1 0 或 7x y 5 0（ 2）求过点P（ 1,2 ）且被两平行直线4x+3y+1=0 与 4x+3y+6=0 截得的线段长为线方程 .分析：画图，由图形求得两平行直线间的距离为 1，则所求直线与两平行直线的夹角为45°，再由夹角公式求得所求直线的斜率k7 或 k 1/7 。解：两平行直线间的距离为的直所求直线被两平行直线截得的线段长为所求直线与两平行直线的夹角为45°设所求直线的斜率为k，则解之得： k 7 或 k 1/7所求直线过点P（ 1,2 ）直线方程为y 2 7(x 1) 或 y2

6、 (x即： x 7y 15 0 或 7x y 5 0课堂练习课本 P53 练习 1,2,3. 1)/7例 4 求过点 P(0,2) 且与点 A(1,1),B( 3,1)等距离的直线l 的方程。分析：画图，知符合条件的直线有两条，一条直线过AB的中点，另一条直线平行于直线 AB。解：当直线 l 过 AB的中点时，直线l 与点 A、 B 等距离， AB的中点是 ( 1,1)，又直线 l过点 P(0,2)直线 l 的方程是 y x2当直线 l AB 时，直线 l 与点 A、 B等距离，直线 AB 的斜率为0，直线 l 的斜率为0，故方程为 y2综上，满足条件的直线l 的方程是 x y 20 或 y2。例 5已知 a2sin + acos 1 0， b2sin + bcos 1 0(a b) ，求证：无论a、 b取何实数，坐标原点到经过两点(a 2,a),(b2 ,b) 的直线的距离为定值。分析：由 a2sin + acos 1 0， b2sin + bcos 1 0(a b) 知，经过两点22xsin + ycos 1 0，原点到这条直线的距离为d=1。(a ,a),(b,b) 的