微分几何第四版习题答案梅向明

1、r asin ,bcos ,0rt0,0,1。所以切平面方程为: 1曲面的概念1. 求正螺面r= ucosv,u sinv, bv 的坐标曲线.、 r解 u-曲线为 r =ucosv0,usin v0,bv0= 0,0 , bv0+ u cosv0,sin v0,0，为 曲线的直母线；v-曲线为 r =u0cosv,u0sinv,bv 为圆柱螺线.2.证明双曲抛物面r= a ( u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为 r = a (u+v0) , b (u-v0) ,2uv0= av0, bv0,0+ ua,b,2v0表示过点 av。，bv,0以a,

2、b,2v。为方向向量的直线；v-曲线为 r = a (u+v) , b ( u-v ) ,2 uv = au, b u0,0 +va,-b,2 u0 表示过点(au,b u,0)以a,-b,2 u为方向向量的直线。只有一个切平面 。3 .求球面 F = a cos法线方程为jSoscossin , a cossin ,asin 上任意点的切平面和法线方程,a sinsin,a cos ,r= acos sin,a cos cosa coscosy a cossinz asi na sin cosa sinsina cos0a cossina coscos0sin + zsi n-a = 0co

3、sya cos sinza sincos24.求椭圆柱面X2ay2b1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面x任意点的切平面方程为,0即 xcos cos + ycos解r= a sin cosr asin ,bcos ,0rt0,0,1。所以切平面方程为:2解椭圆柱面务a2y_b21的参数方程为 x = cos , y = asin, z = t 2 曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面 r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的第一基本形式.解rua, b,2v, rva, b,2u, E ru2a2b24v2,F rurva2b24uv,G rv2a2b24u2

4、,二 I =(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv (a2b24u2)dv2。2.求正螺面 r = ucosv,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂 直。解rucos v, sinv,0, rv usinv,ucosv, b，Eru21，Frurv0，G rv2u2b2，I =du2(u2b2)dv2，tF=0，.坐标曲线互相垂直。3.在第一基本形式为 I =du2sinh2udv2的曲面上，求方程为 u = v 的曲线的弧 长。解 由条件ds2du2sinh2udv2,沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=c

5、osh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 w 至U v2的弧长x a cosy bsinz tasin bcos 00，即 x bcos + y asin a b = 00 0 1此方程与 t 无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。35.证明曲面r u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。x y uv33z3。u v a于是，四面体的体积为：3证ru1,0,加u v与三坐标轴的交点分别为13a39V63|u|3|v| 2auv3，rv0,1,二。切平面方程为:u

6、v(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3是常数。空)uv为 | v coshvdv| |sinhv2sinhv1|。yo，其切向量rx=1 , 0, ayo，设两曲线 x = x与 y =yo的夹角为，则有cos6. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程.解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交轨线的方向为Su:Sv ,则有EduSu + F(duSv + dvSu)+ G d vSv = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的正交轨 线的微分方程为 ESu + FSv = 0 .同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 FSu + GSv = 0 .7. 在曲面

7、上一点，含 du ,dv 的二次方程 Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2=0,确定两个切方向(du : dv )和(Su :Sv),证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0.4.设曲面的第一基本形式为 I =du2(u2a2)dv2，求它上面两条曲线 u + v =0 ,u - v = 0 的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。即等距不变量，而求等距不变量只须解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E 1 ,Fv0,G u2a2，曲线 u + v = 0 与 u - v = 0 的交点为 u = 0, v = 0

8、,交点处的第一类基本量为 E 1，Fv0,G a2。曲线 u + v = 0的方向为 du = -dv , uv = 0 的方向为Su=Sv ,设两曲线的夹角为，则有cosEdu u Gdv u.Edu2Gdv2、E u2G v21 a21 a25.求曲面 z = axy 上坐标曲线 x = xo,y =y的交角.解曲面的向量表示为 r =x,y,axy.坐标曲线 x = xo的向量表示为r = xo,y,axoY ，其切向量 ry=0，1，ax。;坐标曲线 y =y0的向量表示为 r =x ,yo,axrxryIH 12a Xoyoa2x：,12 2a yo2Q 理+ R=0 ,设其二根屯，

9、丄，则虫=旦dvdv v dv v P证明 因为 du,dv 不同时为零，假定 dv0,则所给二次方程可写成为 P()2+屯+=2Qdv v P又根据二方向垂直的条件知 Edu+ F(巴+上)+ G = 0dv vdv v将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.证 用分别用3、d 表示沿 u曲线，V曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲线Su0,3v=0，沿 v 曲线 u=0,v0.沿二等分角轨线方向 为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得(Edu v Fdv u)2E u2ds2(Fdu v GdvG v2d

10、s2v)2，即(Edu Fdv)2E(Fdu Gdv)2G展开并化简得 E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而 EG-F20,消去 EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为 Edu2=Gdv2.9 .设曲面的第一基本形式为 I =du2(u2a2)dv2，求曲面上三条曲线 u = av, 相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲城的三角形的面积是01S=u2a2du dvaua_ 1a2du dvuaa1a=2 . u2a2du dv=2 (1u). u2a2du0u0aa=f(u23a3a2)2a2a2ln(u u2a2) |a22=a二ln(12)10

11、 .求球面 r = a cos sin,a cossin ,as的面积0v =1线围解r= a sin cos , a sin sin , a cos ，r= a cos sin ,acos cos ,0=a2,F=r r= 0 , G = r2=a2cos2.球面的面积为:22d.一 a4cos2d 2 a2 2cos d 2 a2sin |24 a2.2 022证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v 和旋转曲面 r =tcos ,tsin , . t21(t1,02 )之间可建立等距映射=arctgu + v , t= u21 .分析 根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等

12、距映射=arctgu + v ,t= -u21 ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式.证明 螺面的第一基本形式为 l=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一基本形t2.-式为 l=(1牙)dt2t2d,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v , t =；u21 ,t21则其第一基本形式为：u 121222222=(21)du亍du 2dudv (u 1)dv=2du+2 dudv+(u+1)dv= I .u1 u 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面 r =coshucosv,cos

13、husinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解ru=sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu=coshucosv,coshus inv, 0,ruv=-s in hus inv,sin hucosv,0,rw=-coshucosv,-coshusinv,0,E = cosh u,Fm m=0,G rv=cosh u.所以 I = cosh2udu2+ cosh2udv2.n = _j=r= cosh u cos v, cosh u sin v, sinhusin v,VEGF2cosh uE = r211.所以螺面和旋转曲面之间可建

14、立等距映射=arctgu + v , t =. u21 . coshu 彳c coshu 彳L= - 1, M=0, N= -=1 .sinh21一 sinh21所以 II = -du2+dv2。2.计算抛物面在原点的2x35x；4x1x22x|第一基本形式,第二基本形式.5解 曲面的向量表示为 rx1,x2，-x22x1x2x；,rx11,0,5x12x2(0,0)1,0,0,rx2 0,1,2x12x2(0,0)0,1,0,rx1X10,0,5,GX20,0,2,X2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 , 1=dx；dx；, 1

15、1=5dx；4dx1dx22dx|.3. 证明对于正螺面 r =ucosv,u sinv,bv,- gu,vx处处有 EN-2FM+GL=0解rucos v,si n v,0, rv u si nv,ucosv,b,ruu=0,0,0,G rv2u2b2, L= 0, M = -b, N = 0 . 所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2b214. 求出抛物面 z -(ax2by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.解rxUQax。)1,0,0,ry0,1,by(,。)0,1,0,口0,0,a, q0,0,0 ryy0,0,b,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b

16、,沿方向 dx:dy 的法曲率 kn5.已知平面到单位球面(S)的中心距离为 d(0d1),求 与(S)交线的曲率与法曲率解 设平面 与(S)的交线为(C),则(C)的半径为.1 d2,即(C)的曲率为1 -k .-,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于丿 1 d2,所以(C)的1 d2ruv=-uucosv,cosv,0, rw=-ucosv,-us inv, 0,Eru2rvadx2bdy2dx2dy2法曲率为knk .1d26. 利用法曲率公式 kn+，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成 比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为

17、球面 半径 R的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向 du:dv本量成比例。7 求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线证明对于正螺面r=ucosv,usinv,bv，rucos v,si n v,0,v u si nv,ucosv,b，ruu=0,0,0 ，rw=-ucosv,-usi nv,0L= (HG) =0,N=-(ru,rv,rvv)=0 .所以 u 族曲线和 v 族曲线都是渐近线。而 u 族曲EG F2.EG F2线是直线，v 族曲线是螺旋线。8.求曲面z xy2的渐近线.解曲面的向量表示为r x,y,xy2,rx1,0, y2, ry0,1,

18、2xy, q 0,0,0,rx21 4y4,F rxg 2xy2,G r：1 4x2y2.9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法 向量所确定的平面，与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上 是渐近线kn2 2丄 Ldu 2Mdudv NdvI Edu22Fdudv Gdv21或-R，所以 i E(R)，即第一、第二类基rxy0,0,2y, ryy0,0,2x, EL 0，M、1 4xy2y4，N4x2x224y y渐近线的微分方程为Ldx22MdxdyNdy2,即4ydxdy

19、 2xdy20,一族为 dy=0,即y & , Ci为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即In x2yc2,或 x2yc,c 为常数.rsr(s) t&(s)rt(rr) (1 t)rtr，rt方法二：任取曲线：rr(s)，它的主法线曲面为S:r r(s,t)r(s)rt (s)，(1 t )r0012 2 2y ,F ax,Ga2x2丄0, Ma1 a2x2宁 f,N=0. a ydy21 a2x2dxdy2 2 2a x ya22 2 2a x a ydx22a x=0 得(1 a22 2y )dx (1a2x2)dy2,积分得两族曲率线为 ln(ax 1a2x2)ln(ay , 1 a

20、2y2) c.r r在曲线上，t=0 ,rsrtr,曲面的单位法向量n=s二r，即nr，所VEG F2以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线.10.证明在曲面 z=f(x)+g(y)上曲线族 x=常数,y=常数构成共轭网.证 曲面的向量表示为 r =x,y, f(x)+g(y),x= 常数,y=常数是两族坐标曲线。X1Q f，ry0,1,g. L 0,0, f , L 0,0,0,打0,0, g ,因为M；xy-以- 0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族=常数，y=常数构成共VEG F2轭网。11.确定螺旋面 r =ucosv,u sinv,bv上的曲率线.解rucos v,sin v,0, rv

21、 u sin v, u cosv, b，ruu=0,0,0 ，rvv=-ucosv,-usinv,012.求双曲面 z=axy 上的曲率线._Qruv=-si nv,cosv,0,Eg1，FN=0,曲率线的微分方程为：0，Grv2u2b2，b_b2dv210dudv0bu2b2du2u2b200,即 dv12 b2du,积分得两族曲率线方程:v ln(uu2b2)G 和 v ln(. u2b2u) c2.13. 求曲面 r a(u v)，b(u v),-UV上的曲率线的方程.2.2 2 2 . 2 2.2 2解Ea b V,F旦V,Ga b U,L 0,444abM= _2一 ,N=0.代入曲

22、率线的微分方程得所求曲率线的方程是：. EG F2(a2b2u2)dv2(a2b2v2)du2,积分得：ln(ua2b2u2) ln(v -a2b2v2) c .14.给出曲面上一曲率线 L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角，求证 L 是一平面曲线.证法一：因 L 是曲率线,所以沿 L 有dnndr,又沿 L 有？n=常数,求微商得n 一 n 0,而 n / dn / dr 与 正交，所以n 0,即- n =0,则有 =0,或 n =0 .若=0,则 L 是平面曲线；若 n =0 , L 又是曲面的渐近线，则沿 L ,n=0 , 这时 dn=0, n为常向量，而当 L 是渐

23、近线时， =n ,所以 为常向量，L 是一平面 曲线.证法二：若n，则因 n dr IIr，所以 n II ，所以 dn II &,由伏雷r rr内公式知 dn 11()而 L 是曲率线，所以沿 L 有 dn I，所以有=0,从而曲线为平面曲线；若 不垂直于 n，则有？n=常数,求微商得& n一& 0,因为 L 是曲率线，所以沿 L 有 dn II dr ，所以r& 0，所以n 0，即- n =0，若=0，则问题得证；否则 n=0，则因 nr0，有 n II ， dn IIdr|(-) Ir，矛盾。15. 如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证 曲线的密切平面与曲面的切

24、平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。216 .求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为r=ucosv,u sinv,bv.解rucos v,sin v,0, rv u sin v, u cosv,b,ruu=0,0,0,2rw=-ucosv,-usinv,0,% =-sinv,cosv,0,E几1,Fi% g 0Grv2u2b2, L= 0, M =b,N = 0, 代入主曲率公式.u2b217.确定抛物面 z=a(x2y2)在(0，0)点的主曲率.解 曲面方程即ryy0,0, 2a,r x, y,a(x2y2),L 1,0,2ax仁0,1,2ay,rxx0,

25、0, 2a,rXy0,0,0,0,0, 2a。在(0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以N-4aN+4a2=0，两主曲率分别为1= 2 a ,2= 2 a .18.证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.(EG-F2)(LG-2FM+EN+ LN- M2= 0 得2 _N=y(u所以主曲率为aa122)222 uaua证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1、2，任给一方向及与其正交的方向2+2，则这两方向的法曲率分别为n()1cos22sin2n(2)1cos2(2)2sin2(2)4 n22cos2，即n()n(2)12为常数。19

26、.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.证由n 1cos22sin2得 tg21,即渐进方向为iarctg ,2=-arctg .又-2+1=2i为常数,所以为i为常数,即为常数.20. 求证正螺面的平均曲率为零.证由第 3 题或第 16 题可知.21. 求双曲面 z=axy 在点 x=y=O 的平均曲率和高斯曲率.证 在点 x=y=O ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=O,H=-LG 2FM2NE0,2(EG F2)2LN M2r=-aEG F222.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证法一：由H=2=0有1=2=0或1=-20.n( )1cos22sin2

27、=0 ,即对于任意的若1=-20,则 K=1 20 ,即 LN-M2 0 ,G 0 ,所以 LN 0。若LN M2=0，贝 U L = M = N = 0 曲面上的点是平点，若LN M2 a 0 , b+acos 0,所以 LN - M2的符号与 cos 的符号一致,当 0W2和 y 0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环 面外侧的点为椭圆点；当-2 牛，曲面上的点为双曲点，即圆环面内侧的点为双曲 点；当=2或时，LN - M2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物/22点。25. 若曲面的第一基本形式表示为I2(u,v)(du2dv2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面r g(t)cos ,g(t)sin ,f(t)上存在等温网。证 旋转曲面r g(t)