弹性杆动力学模型及其数值方法

1、青岛大学硕士学位论文弹性杆动力学模型及其数值方法姓名:贾美娟申请学位级别:硕士专业:应用数学指导教师:赵维加20090605 第一章预备知识兰/兰j=l彳(纺,仍e一,(仍白=。 c, . 2-7 i =11f彳(纺,仍e一,(仍b=o (1.J 由y&的任意性,即q,乞,勺的任意性,可得出线性方程组彳(纺,纪0=,(仍,(1f(1.2.8三次样条函数:三次样条函数的概念:在区间【口,6】上,给定疗+1个互不相同的节点a=xo<五<<毛宝6(1.2-9函数少=,(x在这些节点的值为厂(=乃,i=o,l,。如果分段表示的函数 s(x满足下列条件(Is(x在予区间【薯,薯

2、+。】上的表达式置(x都是次数不超过3的多项式;(2s(玉=咒;(3s(xC2【口,b】.则称y=厂(x为三次样条插值函数,简称为三次样条。三次样条函数具有良好的数学性质,它是C2类函数,能满足工程设计关于光滑 性的要求,且不论型值点增加多少,在两个相邻节点之间均为分段3次多项式。 7青岛大学硕士学位论文第二章弹性杆动力学模型2.1一阶动力学平衡方程给定惯性坐标系(D一勿f中,把坐标轴分别记为%,%,设弹性杆中心线 r(s,t为弧坐标s和时问t的二元连续函数。记55a a磊瓦i瓦分别是对惯性坐标系和局部坐标系下对弧长s和时间t的导数。在时刻t,任取两点 r(s,t,r(s+As,t记为只,Q,

3、在时间点f+&时,对应两点r(s,t+At, r(s+As,t+At记为P、Q.假设弹性杆不发生扭曲、剪切和拉伸形变时,则向量冠 平行与向量异Q。假设弹性杆尸、Q是发生扭曲、剪切和拉伸形变后的点,则可 以把昂Q到P蚕可以看成儿个步骤,如图2.1.1图2.1.1假设截面是刚性的。先平移瓦孬到面,则PQ=PoPo=纰=e3口As再把截面刚性旋转角p得到新的坐标系记为el,岛,岛,使得硒旋转到砸。 (2.1-1第二章弹性杆动力学模型尸Q2=(%+秒×缸 (2.1.2 由于截面刚性的假设,剪切应变只能发生在(仍f和(参f平面,相应平面的剪切量 分别记为岛,岛。拉伸只发生在f轴,拉伸量

4、记为,则有百亘=(乞岛+,岛×岛+j岛厶=(qP,+乞e2-4-se,厶 (2.1.3 所以冠=,=万丢+趸蚕=(岛巳+e2e:+(1+岛岛g (2.1-4 则(喜。;刀,f,=cel,e2,1+e3,r c2.-一5, 记J:墼盟,则得到F描述了弹性杆的剪切拉伸,称为剪切拉伸变量。设7=掣,=Tar(s,t它们分别是速度和剪切拉伸变量。以,(s,f上任意一点P为原点,在弹性杆的截面 .卜建立截面主轴坐标系(Pd,d:以作为局部坐标系1131,与文献【20】巾的局部坐标不 同,我们取一(s,t,吒(J,f为位于弹性杆截而上的两个相互垂直的单位向量;在弹 性杆不发生拉伸变形的情况下,即

5、当rl=,2=o,3=l时,心(s,t为在点尸处,(J,t 的单位切向量,其中,l,厂2,3是指,的3个分量,下同。记为角速度,Q为弯扭度,则有誓以;誓一畋。设为弹性杆的能量密度函数,则p=等,掰=芸,=蒡,膨=誓p 2百肛面H2而朋。面9青岛大学硕士学位论文分别为动量,角动量,内力和内力矩。将,分解为它=t七s其中乞表不弹性杆的动能密度函数,鬈表不弹性势能密度函数,即乞=要【岛。y.,+.,.国】乞=吉(厂一J。c(,一J。+(Q一臼。D(Q一臼。其中如为线密度,.,为惯量矩阵,C、D为弹性常量矩阵,F4、口。分别为原始剪 切拉伸量和原始弯扭度。设弹性杆各向同性,此时C、D为对角阵,且C=d

6、iag(4,蜀,c1,D=西昭(4,垦,巴,其中4,骂为截面绕哦轴和以轴的抗剪刚度,G为截面绕以轴的抗拉刚度,4,垦为 截面绕d。轴和d:轴的抗弯刚度,Q为截面绕哝轴的抗扭刚度。.所以有=三几】,】,+,-,缈+(厂一,。c(J一J。+(Q一臼”D-(口一口。(2.16 注意到p=成。】,肌=勘,F=C(F-F。,M=D(QQ。(2.1.7在惯性坐标系(D一勿f中,利用连续性得到 豢:睾 (2.I-8 af孤7方程(2.18在截面主轴坐标系(P一以吐以中的投影为【28】 坚+缈×J:耋+口×】, (2.1-9 Ot Os 。另外在(D一勿f中,由于52以一52dkmm 3t

7、3s利用国和口的定义得到塑型:避型(2.1-10O t dS lO第二章弹性杆动力学模型注意到在(尸一d,以以中,喀是坐标轴,当然此时喀是常向量,故在【P一以吐以上 挚:o,塑:o (2.1-11 Os dt方程(2.1一lo在(P-d,畋以的投影为警×畋+×(Q×畋=等×以+Q×(×以(2.1-12 利用向量积恒等式×(Q×畋+(×畋×Q=(×Q×以 (2.1-13 方程(2.1-12化为争一卦例,k=1,2,3(2.1-14, 注意到以线性无关,故对于任何向量口,都有争一

8、一卦删(2.1-15,即有擎+×Q:挈 (2.1-16 dt ds设弹性杆在力和力矩作用下任意运动,考虑弧坐标分别为s和s+As的尸和,点 之间的微元弧段。设尸点的负截面在t时刻受临近截而作用的内力和内力矩分别为 一F和一M,点的正截而在f+f时刻受临近截而作用的内力和内力矩分别为 F+AF和M+埘,和M均为s和t的二元连续函数。假设弧段上作用的单位长 度分布力g和分布力偶h,将全部作用力对P点简化,jj保留各增量的一阶小量, 根据牛顿力学的动量定理和对质心的动量矩定理,得到【20】肌如铲: (2.1-17af ,l 1” 埘+,×F+厅厶:厶竺dtI一式各项除以纽。令血一

9、0,可得 第三章平衡方程的离散与求解C(s一%(s一。一2(s一%+2(s一%小凼=一等(2当l=刀一l时I谚彩幽=万1eI-N(s一%M(s一%2(2(J一%一(J一%。一+(s一%+2ds h2=一一60I力珈=吾(s一%一(s一%2(J一%+2(J一%一凼=嘉 (3当,=刀+l时f力么出=古e。(s一。一(s一%2(2(s一&一(J一卜+(s一%小2dsh一-_-一60f谚私=吾C”(s一.(s一%2(J一%+2(J一毛H一凼=刍 (4当,=玎一N时l力珈=嘉(一刊2(t+扣“(去一珈1凼+ f一嘉嘉(s一%一2(s一%_(-一去(s一%一凼=一去+嘉 I谚咖=。吉卜洲一一2(一

10、吾÷吾(+秘飞-卜 f一嘉(s一磊(5一毛纠2(一i5F+嘉(t+去(s一%一凼 155h=一一.一一一104h26Jll lO(5当,=刀一1一时r谚彤凼=,r(ss+。一。(SSN+n2(,+去cs一毛(吾一t一(去一砉(s一%出h2=一一27青岛大学硕士学位论文I力酗=嘉(s一曲州(8-SN+n2吾(s一%+2(s一%。凼=嘉(6当,=刀+lN时赛巍成ds=f。(一去(s一。一2(-+詈(J一%¨一古(2(s一%(J一%+.+(J一%+.2出=一尝 f谚私=f(一去(S-Sn+l_N2(+i2(%吾(%+2(叶+I拈29.。 对r纯谚咙丞和r群嫩凼同上面的讨论也有17

11、中情况下不为o,这里不再一一列出。 (三当刀取边界,即丹【l,N,N+I,2N-I】时,和上面同样的思想一一得出其非0项。 记乙(f=屯(t,则(3.1.14、(3.1.15式可分别化为一p粪嘭(,r力彤出N N+pZZ(a。(f×z,(rr欢呜吮凼一一p嘭(,f。力彤出 。(f×z,(fr。欢呜吮凼一,=O I=1k=l 。=c善q(r(碱岳一旃彩晤+r力咖+善N善N(6,(,×(ca。(,r饬7喀7纯荪+岛(f×(cr。r力形出一JoLgOods,刀=o,±l,±所,(3.2.io %(,=。薯岛(,(碱晤一谚形晤+j谚珈+羔1=

12、1兰k:l(%(,×乙(,r织旃谚,凼+N N,善善勿(f×(D以(fIL力么7仡凼+岛(f×(加。Il。饬么幽+丢N善N口,(,×(ca。(,r谚7织瓴出+口小×(or9r谚饯凼+I.谚,凼 当订=2,3,Nl时,把上面结果代入上面两式,再由其中 hi×乃2Kj(1f拧=0,±l,±拂,(3.2-11 (3.2-12第三章平衡方程的离散与求解E 2雕引 一苎芸竽玩厂警坂一斋吃+,丢坛制一(一西31+.168。1h、/hih一丧髓胁.,+i94ho Kd+2633h。K。厅¨+元h2(瓦协,+置屯.,+盖

13、瓦.。吒+等瓦以 +盖眉。+,吼+互4532h0、"K+¨一置+。+,吒+i94h。、"K。一以+,矗。+。+瓦h2(五一置+,五川+了h西3丘.v制口.,一jh而3B+。应胁.,+瓦h2E.,五州+芝4532h。2K,",一面h3(戤椰,+置+,dN+n+j14h2i五+鲁X州+X。I一面h3Kk州+生315k。圹面43h2x氮一瓦h2E+.矗+.=E其巾J为三阶单位矩阵,屁。=qE=E(an.1,a.,a。+,a|Iv+¨,as+n,a,v+。+J,屯.J,屯,巩+J,bN+¨,bN+。,bN+。+J Gh=Gnon。.1,at,

14、aF+l,aNt.1,aN+n,aNt+l,bt.|,bt,b"+l,bN-.1,bN,bNvl, z_.,乙,z月+J,z+。.,ZN+n z+J (3.2-13 (3.2-14用nXm表示一个m阶的向量看作向量的分量,在这个分量下向量是刀阶的。令 K4(n=2,3,N一1为2×3行的行向量,其第"一1个分量为(3.2.13式左边西¨的系数;第刀个分量为西。的系数;第疗+1个分量为的it州系数;其第N+n-1个分量 为(3.213式左边西+“的系数;其第N+n个分量为(3。213武左边应+。的系数; 其第N+n+1个分量为(3.213式左边厅”,的系数

15、;其余分量为0。青岛大学硕士学位论文分别取拧=l,刀=N时得到K¨和KV”。取詹=(眉(J,K,K(r户=(E,E,7吞=(GJ,嘭,G7则(3.2.13式化为玄(五,也,厅2=户当刀=N+I,N+2,2N时同理可推出玄,P和吞。取置=,=G=(耋M:卜L 歹j其中M和K同阶,则(3.2.13和(3.2.14式可化为如下方程组J置(西p舀p,厅州艺2F(3.2-15 IM(之,乞,2:。=G3.3数值结果借助于动力学比拟方法,对于固定的f,把超细长弹性杆的表面看作是一条封闭 的平面曲线点集X。=x(o,t沿着空间曲线(s=r(s,f移动和旋转得到的,即设点 30第三章平衡方程的离散与

16、求解集墨(s=X(s,f是点集K摩经过向起点位置(0=,(o,t平移,旋转以及由c(平移 到(s的复合运动得到,则置(s=4(s(x(o一(o+(s (3.3一I 其中4(s=彳(J,t=(d,(J,td2(s,t嘭(J,啪,4(s是由置。一,:(o所在平面到 X(s一(O所在平面的旋转矩阵。在(3.3-1式中对s微分得到警=苦(耶h(0+相 (3.3-2 注意到欧拉矩阵4(s是正交矩阵,利用彳左乘方程组(3.3-2得到X(O-r(O,f=4(s7(置(曲一C(s” (3.33 将(3.33式代入(3.32式得到求解曲面网线X(曲的微分方程初值问题idX,=警4(s7(墨(s一,:(J”+吹J

17、 (3.3-4 lK(o=置。从而我ff"-I得到五(曲,模拟出弹性杆。下面是一些数值结果为:6.2图3.3.1当f=0时杆的姿态 46.2图3.3.2当t=4杆的姿态 42之 与 书七4 2乏 七 七缶 致谢 致谢 本文是在我的导师赵维加教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。在此我要对赵 老师致以诚挚的谢意。在论文的写作过程中，赵老师给了我许多的帮助和关怀。赵 老师学识渊博、治学严谨、平易近人。赵老师的悉心指导，不仅使我学到了扎实的 专业知识，在怎样处人处事等方面也收益很多。同时他对工作的积极热情、认真负 责、有条不紊、实事求是的态度，给我留下了深刻的印象，使我受益匪浅。在此我 谨向赵

18、老师表示衷心的感谢和深深的敬意。 同时，我要感谢我们学院给我们授课的各位老师，正是由于他们的传道、授业、 解惑，让我学到了专业知识，并从他们身上学到了如何求知治学、如何为人处事。 另外，衷心感谢我的同窗同学们和学长学妹们，在我毕业论文写作中，与他们 的探讨交流使我受益颇多，尤其是黄健飞，杨斌，在本文的写作过程中一直提供无 私的帮助和支持，我再次深表谢意。 最后，感谢一直支持我家人，特别是百忙之中评阅论文的专家、教授。 弹性杆动力学模型及其数值方法 作者： 学位授予单位： 贾美娟 青岛大学 相似文献(10条 1.会议论文 薛纭.翁德玮.陈立群 超细长弹性杆精确模型的几何描述 2008 以DNA等

19、生物大分子链为背景的弹性细杆力学受到关注，基于Kirchhoff动力学比拟，连续的弹性杆离散化，动力学的概念和方法得以充分应用，形 成以时间和弧坐标为双自变量的弹性杆动力学。对于考虑拉/压、剪切、扭转和弯曲变形的精确模型，给出基本假定，用映射的概念刻画了这一离散化模 型，描述了弹性杆的位形和运动，给出了杆的运动方程，用截面的位移表示了杆的变形，导出了存在拉/压变形时弯扭度和角速度的关系；定义了截面的 虚位移，表示为弧坐标和时间变分均为零的变分法则，在微分和变分运算次序可以交换的前提下，导出了截面虚角位移的导数与截面弯扭度以及角速度 变分的关系。为建立超细长弹性杆精确模型动力学的分析力学方法准备

20、几何基础。 2.期刊论文 贾美娟.赵维加.黄健飞.JIA Mei-juang.ZHAO Wei-jia.HUANG Jian-fei 一类弹性杆动力学方程及其数 值仿真 -巢湖学院学报2008,10(6 从弹性杆的能量函数出发,建立了弹性杆在受分布外力作用下的动力学模型.模型考虑了弹性杆运动中的扭曲、拉伸和剪切作用,是动力学模型的推广 .建立了模型求解的数值分析方法并给出了数值结果和相应的分析 3.学位论文 黄健飞 弹性杆拟动力学模型和动力学模型的研究 2009 弹性杆是一种重要的力学模型，许多工程构件和生物体如海底电缆、纤维、生物和有机物大分子等，在一定条件下都可以模型化为弹性细杆讨论。 近

21、40年来，随着生物和遗传工程的发展，人们发现：DNA是具有弹性特性的长链，可以利用弹性细杆模型进行动力学分析。因此，人们将弹性力学的方法 和分子生物学的知识相结合对DNA进行了研究，取得了大量成果。 本文研究了弹性杆的数学建模和数值仿真问题。内容包括弹性杆的曲面模型、Kirchhoff弹性杆的拟Hamilton方程及其辛算法、弹性杆动力学方程解 的存在性及数值模拟，具体工作为： (1基于弹性杆的Kirchhoff假设并使用Kirchhoff比拟，从新的角度提出了超细长弹性杆曲面模型的微分方程组。 (2引入欧拉参数给出了超细长弹性杆的Kirchhoff模型的拟动力学方程组。现有的结果中，这种模型

22、是用Euler角（）为变量描述的。由于当 =时Euler角出现奇点，给数值计算造成困难。我们利用欧拉参数代替Euler角，建立了以欧拉参数为变量的描述超细长弹性杆的拟Hamilton方程 ，并采用辛算法建立了弹性杆长距离保结构计算的数值计算模式并给出了数值结果。 (3根据Lax方程解的存在性，证明了弹性杆动力学方程组解的存在性；在给出了二次型形式的弹性势能函数的情况下，给出动态弹性杆在一段时间 内的数值模拟。 4.会议论文 贾美娟.赵维加.黄健飞 一类弹性杆动力学方程及其数值仿真 2008 从弹性杆的能量函数出发，建立了弹性杆在受分布外力作用下的动力学模型。模型考虑了弹性杆运动中的扭曲、拉伸和

23、剪切作用，是动力学模型的 推广。建立了模型求解的数值分析方法并给出了数值结果和相应的分析。 5.期刊论文 张光辉.赵维加.ZHANG Guang-hui.ZHAO Wei-jia DNA弹性杆模型数值仿真和图形处理的四元数方法 系统仿真学报2007,19(17 超细长弹性杆动力学模型在DNA分子结构模型的平衡、稳定性等问题的研究中有重要的应用.为了便于其数值仿真、图形后处理以及研究表面接触等 问题的处理,需要建立弹性杆的表面模型.利用Kirchhoff弹性杆模型的动力学比拟技巧,建立了由四元数的描述超细长弹性杆曲面的常微分/积分方程组 ,利用Adames方法和递推方法设计了方程的数值解法,并给

24、出了超细长弹性杆的数值仿真和图形处理的计算实例. 6.期刊论文 赵业鑫.王秀娥.ZHAO Ye-xin.WANG Xiu-e Euler弹性杆变形的研究 -中央民族大学学报（自然科学版 ）2005,14(4 研究一端固定一端自由Euler弹性杆在集中外力作用下的变形规律.根据变形弹性杆的几何特征和力学平衡条件,通过建立其变形的动力学模型和运动 学模型,进而讨论模型的数值解、变形杆的形状以及相关的多解性和分岔. 7.期刊论文 黄健飞.赵维加.贾美娟.杨斌.HUANG Jian-fei.ZHAO Wei-jia.JIA Mei-juan.YANG Bin Kirchhoff弹性 杆拟动力学的四元数

25、表示 -青岛大学学报（自然科学版）2008,21(4 研究静力学Kirchhoff弹性杆,Kirchhoff动力学比拟是重要的技巧.拟动力学方程通常是用Euler角表示的,但Euler角在=k处存在奇异性,不适合 数值计算.为了解决这个问题,本文引入四元数并建立了拟动力学模型的拟Lagrange方程和拟Hamilton方程. 8.学位论文 杨斌 弹性杆模型方程的数值谱方法 2009 弹性杆是科学研究和工程开发应用的重要物理模型，近年来在生物学研究中也发挥了重要作用。而数值仿真是弹性杆研究的重要方法之一。本文基 于谱离散方法给出了运动弹性杆的高精度数值算法，主要工作包括 (1弹性杆结构动力学模型的谱离散方法。算法对基于Kirchhoff假设导出的描述弹性杆结构的非线性Schrodinger方程采用复三角谱离散得到高精度 的数值计算方法。与实Galerkin方法比较，这样的离散在相同精度的前提下，大大节省了计算量。 (2基于Kirchhoff假设的弹性杆动力学方程是非线性偏微分/代数方程组。文献中的相应的谱精度算法一般是用来求解边值问题的，通常只用于对空 间变量，时间变量的离散采用Runge-Kutta方法等传统的方法离散，这样离散一般达不到谱精度。本文将空间变量的谱离散方法和时间变量的谱延迟修正 技术相结合，给出了新的数值计算方法。这一算法不但精度达到了谱精度，而且是