十无穷数常数项数的概念与性质

1、章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质教学目标:1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念 2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件课时安排：2课时重点：1、掌握级数收敛的充要和必要条件;2、掌握收敛级数的性质； 难点：级数概念及其敛散性 教学法：讲授法一、问题的引出：1、用正多边形的面积逼近园的面积;.s - A6.s q A§+ A12s q A§+ A12 + A24 + .常数项无穷级数定义1、定义：设U1 ,U2 ,.是常数列，算式厲十®+ + %+称为级数Q0记为v un ,N三1称''为一般项或通项5

2、 / 52、部分和与部分数列 部分和：前几项的和; 部分和数列：）Un = Sn - Sn- 1S *17 + TZ9十十71十 - :¥？ un = lim Snn= 1n3、敛散定义（充要条件） 设v un若lim Sn，称7 un收敛，否则称发散。（判别敛散的方法）N =1N丄 若收敛，如何求和。（收敛，求和的方法）（求数列的极限） ¥lim Sn S = ? unn = 14、例子.例1.¥设? Un前n项部分的和为Sn =- n=1n +1问：.收敛否？ .若收敛，和为多少？ .写出（求出）该级数.（收敛）1 ）u n = Sn -Sn - 1n(n+

3、1)邋Unn = 1n= 1例2.判别¥?n= 1n ( n + 1)是否收敛，若收敛，求和。（用定义）。解：1）.Sn+ n(n + 1)= (1-1)+(1 -1 11)+ -+(12 ).¥例3. ?n= 1nlim = 1 = SriTco收敛。32 敛否，若收敛求和。n3 + 3n2 + 2n¥ 1解: ?3 o 2 on= 1 n3 + 3n2 + 2n¥1运?12臌(n 1(n + 1)( n + 2) ?¥例4.讨论几何级数（等比级数）? a.qn的敛散性.n= 0解：1) . Sn = a + aq + .aqn-1a(1-

4、qn)1- qnn=/ - <7l< /l> 12). lim Sn = lim三、收敛级数的性质.a(1-qn) :一a一 lim (1 - qn)1 - q n1-qJQ= 1Sn = n a too且：=- 1奇偶不同-(qh )、邋Un与 k坠n（kn= 1n=10）敛散性相同若邋Un =s,则k f!n=k s.n = 1n= 12、若:少?邋 Un=S , Vn =S.则？(Un ? Vn ) S? S.n= 1n= 1n = 1(wn = ( u1 + v1) + ( u2 + v2) + . + ( un + vn) = sn + sn.取极限)3、一个级数去

5、掉或添上有限项不改变敛散性，但是收敛时，其和是改变的4、若原级数收敛，则任意加括号后形成的新级数仍然收敛。 解释：¥Un +? Un =山 + U2 + .n= 1¥新 :?n= 15、例子例j若邋Unn= 1VnU1 + (U2 + U3)(U4 + U5 + U6 + U7 ) +=2,求(2 Unn= 1 2¥ 1解：？ (；Unn= 1 21 1 2n )= 2 1J=02例2.求?n= An ( n + 1)i+ 2n解：原式=5?邋n= 11n(n+ 1)n=12n5?11= 6)=.)09 / 5例3.下列命题正确的是（D）。A. 发散级数加括号后仍

6、发散。B. 若加括号后的级数收敛，则原级数收敛C. 两发散级数之和一定发散。D. 若级数加括号后发散，则原函数发散。 四、级数收敛的必要条件.lim un 0n1、结论(Theorem),? un收敛n = 1简证： un = Sn - Sn- 1.? Un收敛？ lim SnnS则limnSn- 1 =lim = 0.nriTGO2、必要条件的应用.¥ 1? 敛否？（lim1 =0不定）n = 1 nnn¥n.? n敛否？（lim=1散)n?1n + 1nn + 1 .可以用级数收敛的必要条件求某数列的极限.lim un如:1）.要求,用以前的方法无法求出2）.但邋Un收

7、敛性易观察得到（即 收敛）n= 1n =limUn = 0n3、例子.例1:若?骣-1 收敛，求1 lim= ?n=1桫UnnUn解：原级数收敛t limn0Tlimnunt lim Un = 1 n小结.1、由定义.若ilim un 0时，则级数发散”2 、当 r，"3、按基本性质审敛。四、级数收敛的必要条件.1、结论（定理）：¥T lim Un = 0 n? Un收敛n = 1简证：1）.UnSn-S2).3).¥? Un n= 1则：limnlim Sn = SnUn = 0limnSn- 12、必要条件的应用.1).若 lim un 1n¥T ? Un发散。n= 12).若 lim unn¥不一定推出? Un发散。n= 13).可以利用级数收敛的必要条件求某数列的极限如：要求lim Un用以前的方法无法求，n¥¥但发现