2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(二)

1、WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（二）注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第 卷一、选择题：共12 小题，每小题5 分，共60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 x log 21. 已知集合 A( x1) 0

2、，则CRA（）A. (,1B. 2,),1C. (,1) (2,)D. (2,)【答案】D x log22 ，则 CR【解析 】由集合 A ( x1)0 x 1 xA x x 1 或 x 2 .2. 若复数 z 满足13 ，则复平面内(23i )z表示z 的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】13 ，1313(23i )(23i) z z23i ，23i(23i )(23i)则复平面内表z 的点 (2,3) 位于第四象示限 .3. 函数 f ( x) 1 e xx1 的图象大致为（）22- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑

3、A.B.C.D.【答案】C【解析 】函数 f1e xx1是偶函数，排除选( x)项B；22时，函数 f1 exx 1 ，可得 f ( x)1ex当 x 0( x)1 ，222当 0x ln 2 时， f( x)0 ，函数是减函数，当 xln 2 时，函数是增函数，排A，D，故选除选项4.在 ABC 中， B90， AB(1,2) ， AC (3,B.A. 12C. 3C.)，（）D. 4【答案】A，【解析 】 ABC 中， B 90 AB(1,2) ，AC(3,) ，BC AC AB2,(2)，又 B 90 ，ABABC 中， a ，5. 在 边， (aBC ，AB BC 0 ，即 2 2(

4、2)0 ，解得1 .b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对b c)(ac b)2ab ，则角 C 的正弦值为（）132DA.B.C. 1222【答案】D2ab ，可得b 2 c2【解析 】由 (a b c)( a c b) a20 ，- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑根据余弦定理a2 b2c2cosC0 ，得2abB (0,) ， sin C1.1 x ，则它的离心率6. 双曲线ny 21 0 ）的一条渐近线方程y 为（mx 2（ mn为）2B 55D.5A. 5.C. 5或5或222【答案】C【解析 】 双曲线（ m）的一条渐近线方程y1 x，mx 2ny

5、 2 1 n0 为2b2b，双曲线的离心率e c1()5或 5.或1 为b 2aa2aa27. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为1，则判断框中可以填入的条件是（）A. n999B. n999C. n999D. n999【答案】C【解析 】该程序框图的功能12n的是计算lgS 2 lglg2 lg( n 1) 值 .23n1要使输出的 S 的值1，则 21) 1 ，即 n 999. 故中应填 n为lg( n999 .- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑8. 已知单位圆有一条AB ，动P 在圆内，则使直径点得 APAB 2 的概率为（）1122A.B.C.D.2444

6、- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑【答案】A【解析 】由 AP AB2 可知， AP 在 AB 向量上的投影为1，所以 P 点所在位置为半个圆，面积占整11，所以概率为.个圆的229. 长方体ABCD， AB4，AD2 ，5 ，则异面直A1 B1 与 AC1ABCDAA1线所1111成角的余弦值为（）2B341A.C.D.5552【答案】C/ / A 1B1 ，异面直A1 B1 与 AC1 所成的角即为 C1 D1 与 AC1【解析】 所成C D1线的角1AC1D 1 .在 Rt AC D中，AC142 22( 5)2C1D14 AC15 ， cos D1C1 D

7、14 .1 1AC1510. 将函数 fsincos 2x图象上所有点向左个单位长度，得到函2x3g ( x)(x)平移数8的图象，则 g( x) 图象的一个对称中心是（）A. ( ,0)B. ( ,0)C. ( ,0)D. ( ,0)3462【答案】D【解析】将函数 f ( x)sin 2 x cos2x2(2 sin 2x2 cos2 x)2 sin(2 x) 图224象上3 个单位长度，得到函g (x)2sin(2所有点向左平x2sin 2x 的图移数) 象，8- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑k1 ，可得 g (x) 图象的一个对称中心,0) .令 2x k

8、，求得 x， kZ ，令 k为 (2211. 已知 f ( x) 是定义在R 上偶函数，对任意xR 都有 f (x3)f ( x) 且 f ( 1)4 ，- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑则 f(2020)的值为（）A.2B. 3C. 4D. 5【答案 】C【解析 】，知函f为周期函数，且由数周期，f ( x 3)f ( x)( x)T 3则 ff (3 673 1)f (1)f (1) 4.(2020)12. 过抛物线 C ：2 py0 ）的焦点 F 的直线交该抛物x2（ p线于A、B两点，BF ， O 为坐标原点，AF若4AF则（）OF5A.B. 3C. 4D.

9、 54【答案 】A2 py ，则 F (0, p ) ，所以【解析 】由题意得OFp ，x222p设直线 AB 的方程为kxx2 ，y，设 A(x 1, y1 ) ， B(x 2, y 2 ) ，且 x 12因为 4AFBF ，所4AF BF ，则 x 24x1，以p2 ，整理得2 pkx p 2 0，所以 x1 x22 pk ， x1x2 p 2，由 ykx x2x22 py3AB 的方程3p，即直线联立可得k为 yx，4423pyx2 ，整理得 243 px 2p 2又x20 ，- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑x22 pyppp解得 x2 p 或 x，故 A(

10、, ) ， B( 2 p, 2p)，228所以根据抛物线的定义pp5AF5AFp ，所.可知以828OF4- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑第 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13. 已知某大学由大一 500 人，大二 750 人，大三 850 人 . 为该大学学生的身体健康状况，该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人人 .数是【答案 】 1

11、40【解析 】根据题意可得抽501样比为，7501511则这次抽样调查抽取的人数(500750850)2100140 .是1515xy814. 若变量 x ， y 满足约束条件xy 4，则 z x2 y 的最大值为 .x0, y 0【答案 】 16x y8【解析 】由约束条件4作出可行域如图所x y示：x 0, y01zz x 2 y 可化为 y2x. 当直线过点 C (0,8)时， z 取最大值， 即 z max 2 816 .- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑223，则 cos2.15.已知sin cos2- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 -

12、可编辑4【答案 】5【解析 】由已知得cos 21 ，解得 cos1 ， cos22cos 21 1 .sin 2222 ，则该正八面体的外接球的表面16. 已知一个正八面体的所有棱长均为积为.【答案】42 ，外接球的直径为正八面体的体对角【解析 】 正八面体的所有棱长线长2 ，均为R 1 ，故外接球的表所以球的半面积为S4R24 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （ 12 分）已知正项等比数列 a n 满足12 ， 2a2 3S1S3 S114 .（ 1）求数列 a n 的通项公式；（2）记1log 2 a2 a 1 log a2 n

13、，求数列 b n 的前 n 项和bnTn .21【答案】2n ；（ 2）n.1 ） anTn（2n1【解析】1 ）设数列 a 的公比为 q ，由，由题意n0得 a1q+a 1q212 ，（已知 q2a13aq141所以 7q 25q 182 . 因此数列 a n 的通项公式2 n .0 ，解得 q2 ， a1为 a n（2）由1 ）知， b n111 (11 ) ，（log 2 a2 a 1 log 2 a2 n 1(2 n1)(2 n1) 2 2n1 2n1 Tn1 (1 1 1 111 ) 1 (11 )n.- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑22335n12n

14、122n12n118. （ 12 分）经调查， 3 个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑n?xi y inxy88其中：1i?2bn， a?y bx ，xi17232 ， xi y i 47384 .2n 2i 1i 1xixi 1（1）请画出上表数据的散点图；?.（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘 y 关于 x 的线性回归?法求出方程?（ ?，ybxa a?b 的值精确到 0.01 ）（3）若规定，一个人的收

15、缩压为标准值的1.06倍，则为血压正常人群；收缩0.9压为标准值的 1.06 1.12 倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中1.121.20 度高血压人群；收缩压为标准值的. 一位收缩压为1.20 倍及以上，则为高度高血压人群180mmHg的 70 岁的老人，属于哪类人群？【答案 】（ 1）见解析；（ 2）见解析；（3 ）见解析 .【解析 】（ 1）画出散点图如图：-WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑2832384248525862（2） x45 ，8- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑114 118122127129 135140147y129

16、 ，88xi yinxy?i 147384 845129118 b80.91 ，2217232845129xinxi 1?a?ybx 1290.9145 88.05.回归直线方程为 y?0.91x 88.05 .（3）根据回归直线方程的预测，年龄为岁的老人标准收缩压0.91 7088.05151.7570约为（ mmHg ）， 1801.19 ，收缩压为 180mmHg的 70 岁老人为中度高血压人群 .151.7519.分）已知椭y21(a b0) ，其短轴4 ，离心率为 e 1 ，双（ 12圆 E ： x2为曲线a2b2x2y20 ）的渐近线为x ，离心率为 e2，且 e11（ m 0 ，

17、 nye21.mn（ 1）求椭圆 E 的方程；（2）设椭圆 E 的右焦点为F ，过点 G (4,0)作斜率不为0 的直线交椭圆E 于 M，N 两点，设直线 FM 和 FN 的斜率为k 1 ， k 2 ，试判断k 1 k2 是否为定值，若是定值，求出该定值；- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑若不是定值，请说明理由.【答案 】（ 1）1 ；（2）见解x2y 2 析 .84【解析 】（ 1）由题意可1，双曲线的离心率2知： 2b4 ， b 2 ， ne21 n，mm- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑则椭圆的离心率e12 ，椭圆的离心率 e 1c

18、1b 22 ，则 a 2 2 .为2aa22椭圆的标准方x2y21 .程：84（2）设直线 MN 的方程y k (x4)为 yk (x4)( k0) ，x22 y28消去 y 整理得： (1 2k 2) x 2 16 k 2 x 32k 280，设 M ( x1, y1 )， N (x2 ,y2 ) ，则1x16k2，1x232k28，x2x2k 212k 21y1y2k(x 14)k( x 24)k1k2x1 2 x 22x12x226( xk(x14)( x22)(x 24)( x 12)k 2x1 x21x2 ) 16( x1 2)( x22)(x12)( x 22)16k 232k 2

19、8将1x2，1x2xx，2k 212k 21代入上式得 2x 16( x1 x2 ) 160 ，即 k10 .x2k220. （ 12分）在四棱锥ABCD 中，底面四边BCP形ABCD 中， AD / /BC ， AD，ADDC ;PAD 中 PAPD ，APD60 ，平面PAD平面 PCD .（1）证明：AB平面 PCD ；（2）若 AB4， Q 为线段 PB 的中点，求三棱锥Q PCD 的体积 .- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑【答案】（ 1）见解析；（ 2）VQ PCD【解析 】（ 1）由 AD / / BC，AD由 PAD 中PA PD ，APD83.3B

20、C，ADBC 可知，四边形为ABCD 为正方形，所以PAD 为等边三角形 . 取 PD 得中点60 为O ，- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑PAD 为等边三角形，所连接 AO ，因为以AO PD，又因为平面 PAD ，平面平面 PCD ，所以AOPADAO平面 PCD ，平面 PCD ，所以CD ，因为底面 ABCD 为正方形，因为 CDAO所以CD AD，AD A ，所以 CD平面 PAD ，因为 AB / /CD，所以因为 AOAB平面 PAD .（2）由（ 1 ）得 AO平面，所以 A 到平面 PCD 的距离PCDdAO 23，因为底面 ABCD 为正方形，

21、AB/CD ，所以又因为平面 PCD ，所以 AB / / 平面ABPCD ，所以 A ， B 两点到平面 PCD 的距离相等，均为d ，又 Q 为线段 PB 的中点，所以dQ 到平面 PCD 的距离 h3 ，2由（ 1）知，CD平面 PAD ，因为PD平面 PAD ，所以 CDPD ，P所以CD1Sh114 43 83 .VQPCD332321.分）已知函数 fxexa x22.718为自然对数的底（ 12( x)1， a1 ，e数 .2（1）当 a0 时，判断 f ( x) 零点个数并求出零点（2）若函数 f (x) 存在两个不同的极值点x 1 ， x 2，求实数 a 的取值范围 .【答案

22、 】（ 1） f ( x)只有一个零点，0 ；（2）a1 .零点为0【解析 】（ 1）由题知：1 exax ，令 g( x) 1exax ， ga ex ，f ( x)( x)0 ， g ( x)0 ，所以 f ( x),) 上单调递当 a在 (减，因f (0)0 ，所以 f ( x)在 (,0)上单调递增，) 单调递为在(0,减，所f ( x)f (0)0 ，故 f (x) 只有一个零点，零点以为 0 .（2）由（ 1 ）知： a0 不合题意，当 0a1 时，因为x (,ln a) ， g ( x)0 ； (ln a,) ， g ( x)0 ；- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑又因为f (0)0 ，所以f (ln a)0 ；- 学习资料分享 -WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑1又因为 f (0 ，因为函1 ， (a)01)e a数(a) ln a11a 1，aaaa2a2a(0,1) ，1 ,ln a)，满足 f所(a)(1)10，及 1ln a ，所以存在0以x1( (x1)，aa, x1 ) ，(x1,0) ， f所以 x (f(x)0 ； x( x