高职数学 案5

1、08-09学年计算机数学基础讲稿第四章一元函数微分学的应用（第讲）概要第十七讲教学内容：不定积分的概念与性质 教学过程：不定积分的概念： 原函数的概念：F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，定义：设f(x)是定义在某区间的已知函数，若有F(x)使得：则称F(x)是f(x)的一个原函数 如：因为(x2)¢=2x,所以x2是2x的一个原函数需要说明的是：如果f(x)的原函数存在就不是唯一的，而是有无穷多个，f(x)的任意两个原函数之间仅 仅只相差一个常数，于是F(x)+C是f(x)的全部原函数的一般表达式如：x2+C是2x的全部原函数2.不定积分的定义：函数f(x)的

2、全体原函数F(x)+C叫做f(x)的不定积分记为：òf(x)dx=F(x)+C（其中为积分号，f(x)ò为被积函数，f(x)dx为被积式，x为积分变量，C积分常数）3.不定积分的几何意义： y=F(x)+C f(x)的一个原函数F(x)的图象是f(x)的一条积分曲线。不定积分 òf(x)dx在几何上就表示全体积分 曲线所组成的曲线族,如图6-1 不定积分的性质：被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外，即第 1 页 共 6 页08-09学年计算机数学基础讲稿； òkf(x)dx=kòf(x)dx （k为常数且k¹0）两个函数代数和

3、的不定积分，等于各函数的不定积分的代数和，即òf(x)±g(x)dx=òf(x)dx±òg(x)dx三、基本积分公式 （13个）：略四小结：在理解不定积分概念的基础上，熟练掌握不定积分的性质和公式.五、作业：思考？思考题函数f(x)=x的原函数有多少？它们之间有关系吗？是非题f(x)的积分曲线族中，在横坐标相同的点处，切线的斜率都相等. （ ）填空题ò0dx=_ .2. 在积分曲线族òedx中，过点(0,2)的曲线是_. 1. x第十八讲教学内容：不定积分的积分方法（一）教学过程：复习：1.原函数的概念;2.不定积分的定义;

4、3.不定积分的性质;4.基本积分公式.二、积分方法：1.直接积分法：主要是利用性质和基本积分公式进行计算核心是针对被积函数的特点将其变形，然后选准公式 例 计算下列不定积分： xx4dx；(2)ò(1)òcos. 221+x2解略2.第一换元积分法凑微分法：若òf(u)du=F(u)+C且 u=j(x)有连续导数，则òfj(x)j¢(x)dx=Fj(x)+C第一换元法的关键是选择适当的j(x)=u，将被积式变形为利于积出来的形式通常在换元过程中，可以不显现新元u，以省去u回代为x的步骤计算下列不定积分: 111e2x(1)ò(2)(3

5、)(4)；òex+e-xòxlnxdx ò1+ex1+ex解:略.三、小结：本节在熟练使用性质和基本积分公式的基础上，重点掌握第一换元法，其关键是选择适当的j(x)=u，将被积式变形为利于积出来的形式.四、作业思考？是非题第 2 页 共 6 页08-09学年计算机数学基础讲稿已知òf(x)dx=F(x)+C 则 òfg(x)dx=Fg(x)+C. （ ）填空题1.F(x)是f(x)的一个原函数，则f(ax+b)dx=_. òf¢(x)dx=_.3 2.òf(x)单选题 lnx. òdx=( ) xf

6、62;(x)ò1+f2(x)dx=_.A 12111lnx+C; B ln2x+C; C lnx2+C; D ln(lnx)+C. 3633第十九讲教学内容：不定积分的积分方法（二）教学过程：复习：已学过的积分方法直接积分法、凑微分法第二换元积分法：j¢(t)dt=F(t)+C时， 若f(x)是连续函数，x=j(t)是单调可导的函数，且j¢(t)¹0，当òfj(t)òf(x)dx=òfj(t)j¢(t)dt=Fj-1(x)+C,其中j-1(x)是x=j(t)的反函数第二换元法的关键是选择适当的x=j(t)，从而使被

7、积式变形为利于求出积分的形式通常有根式代换、三角代换等注意：第二换元法积出结果后，应该回代 计算不定积分òdxx(1+x) 解：用根式代换令：x=t x=t6， dx=6t5dtòdx6t5dtt21=6=6(1-)dt 3222òòòt(1+t)1+t1+tx(1+x)=6(t-arctant)+c=6(x-x)+C.例2计算不定积分解: 略例3计算不定积分òòx2a-xdxa+x2222dx(a>0)解: 方法一:用三角代换，但步骤较多，主要步骤如下：令 x=atant,dx=asec2tdt ，则有òd

8、xa2+x2=òsectdt=lnsect+tant+C=lnx+a2+x2+C。方法二: òdxa+x22=ò1x+a+x1a2+x22×x+a2+x2a+x22dx=ò1x+a+x22×(1+xa+x22)dx =òx+d(x+a2+x2)=lnx+a2+x2+c. 2第 3 页 共 6 页08-09学年计算机数学基础讲稿例4计算不定积分òx12a+x22(a>0)解:方法一: 倒代换，令 x= ,则11æ1ö=-2÷dt òx2a2+x2ò1a2+1&#

9、231;ètøtt1=-22a=-ò(at22+1da2t2+1 )(-12)11221a2+x22at+1+C=-2+C a2xa方法二: 三角代换 令x=atant112=asectdt 22òx2a2+x2òatant×asect( =1cost1=sin-2td(sint) dt2ò2ò2aasint22111a+x=2×+C=-2×+C asintxa三、小结：第二换元法常见的类型有根式代换，三角代换，倒代换；注意选择适当的代换类型.四.作业：思考？第二十讲教学内容： 不定积分的积分方

10、法（三）教学过程：复习引入：已学过的积分方法直接积分法、凑微分法、第二换元积分法分部积分法：设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，根据乘积微分公式可推导出分部积分公式为：òudv=uv-òvdu使用步骤为：凑微分：将左边的被积式凑成udv；使用公式；将右边的òvdu进行积分常见的有三种：被积函数为幂函数xn与指数函数或幂函数xn与正弦函数、余弦函数的乘积，可令xn=u；被积函数为幂函数xn与对数函数、反三角函数的乘积，可选对数函数或反三角函数为u；被积函数为指数函数与三角函数的乘积，则需要两次使用分部积分公式例1 计算不定积分eòxdx.解: 令

11、x=t,x=t2,dx=2tdt，xttttedx=2tedt=2td(e)=2te-2eòòòòdt=2tet-2et+c=ex2x-2+C.3例2计算不定积分xlnxdx. ()òæx4öx4x4x413x414÷()=lnx-lnx=lnx-xdx解: òxlnxdx=òlnxdç=lnx-x+C. òòç4÷4444416èø3例3 计算不定积分xarctanxdx. ò第 4 页 共 6 页08-09学年计

12、算机数学基础讲稿æx2öx2x2解: òxarctanxdx=òarctanxdçç2÷÷=2arctanx-ò2(arctanx) èøx2+1xx21x2x211+x2-1=arctanx-ò=arctanx-dx=arctanx-+C. 221+x222ò1+x222例4 计算不定积分òsinxdx.解: 令x=t,x=t2,dx=2tdt,òsinxdx=2òtsintdt=2òtd(-cost)dt=-2tcost+

13、2òcostdt=-2tcost+2sint+C=-2xcosx+2sinx+C2例5 计算不定积分òxsecxdx.解: . òxsec2xdx=òxd(tanx)=xtanx-òtanxdx1(cosx)=xtanx+lncosx+c. cosx-x例6 计算不定积分òecosxdx. =xtanx+ò解: -x-x-x-xecosxdx=ed(sinx)=esinx-sinxd(e) òòò=e-xsinx+òe-xsinxdx,而 -x-x-x-xesinxdx=ed(-cos

14、x)=-ecosx-cosxd(e) òòò=-e-xcosx-òe-xcosxdx,所以 eò-xcosxdx=e-xsinx-e-xcosx-òe-xcosxdx ,1-xe(sinx-cosx)+C. 2-xxdx=所以 òecos例7 计算不定积分òarcsinxearcsinx-x2dx.解: òarcsinx×earcsinx-x2=òarcsinx×earcsinxd(arcsinx)=òarcsinxd(earcsinx)=arcsinx×earcsinx-òearcsinxd(arcsinx)=arcsinx×earcsinx-earcsinx+C.小结：本节讲述了不定积分的四种积分方法直接积分法、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法和分部积分法，另外，还有查表积分法，这