勾股定理的证明

1、勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）ab做8个全等的直角三角形,ba设它们的两条直角边长分别为a、b，a、斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相2 2 1 2 1a2 b2 4 ab = c2 4 ab 士-, 口22，整理得a2 b2二 c2【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上v RtA HAE 坐 RtA EBF, / AHE

2、 = / BEFv / AEH + / AHE = 90o,B、F、C三点在一条直线上,A a Eb B/ AEH + / BEF = 90o./ HEF = 180o 90o= 90o四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.RtA GDH 坐 RtA HAE,/ HGD = / EHA / HGD + / GHD = 90o,/ EHA + / GHD = 90o.又 T / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.C2 ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于（a + b）.RtA DAH 坐 RtA ABE,/ HAD + / HA

3、D = 90o,/ EAB + / HAD = 90o,ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.EF = FG =GH 二HE = ba ,/ HEF = 90oEFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于（b_a）2.1 2 24 ab b a c2a2 b2【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于-ab把这两个直角三角形拼成如图所示形ca状，使A、E、B三点在一条直线上v RtA EAD 坐 RtA CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, /

4、AED + / BEC = 90o/ DEC = 180o 90o= 90o. DEC是一个等腰直角三角形,1 c 它的面积等于2又 v / DAE = 90o, / EBC = 90o,AD / BC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于111a b 2 = 2 abc222 2a2 b2二 c2【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b , 斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.D、E、F在一条直线上，且RtA GEF幻 RtA EBD, / EGF = / BED ,Fbav / E

5、GF + / GEF = 90°GcE / BED + / GEF = 90°Pb二 / BEG =180o90o= 90o.门bCccHD又 v AB = BE = EG = GA = c ,a baa ABEG是一个边长为c的正方形.AcB / ABC + / CBE = 90ov RtA ABC 坐 RtA EBD, / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90o.即 / CBD= 90o.又 v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形同理，HPFG是一个边长为b的正方形设多边形GH

6、CBE的面积为S,则2 2 1a b = S 2 ab,22 1 c2 二S 2 ab2a2b2【证法6】(项明达证明)a、b做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP/ BC,交AC于点P.F作FN丄PQ,垂足为N.过点B作BM丄PQ,垂足为M ;再过点V / BCA = 90o, QP / BC,FcA / MPC = 90o,PbV BM 丄 PQ,cMc / BMP = 90o,Na1 Jr BCPM是一个矩形，即/ MBC=90 o.QcBV / QBM + / MBA =/ QBA =90o,/ ABC + / MBA =:/ MBC =90o,bC / QBM =/ ABC ,Ea又T