2015年高考数学模拟试题及答案(理科)

1、本试卷分第I卷和第n卷两部分，满分、选择题：本大题共-1i1.复数z=_11i(A)第一象限理科数学150分，考试时间120分钟.12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,在复平面内z所对应的点在(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(A)普(B)4,2丁(C)4、33.下列命题错误的是(D)|(A)命题“若x2-3x+2=0,则X=1”的逆否命题为“若.一2一一一.x=1,则x3x+200”(B)(C)(D)命题p:5xwR,x2+x+1=

2、0,则p:VxwR,x2+x+10若paq为假命题，则p、q均为假命题“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件4.如图,该程序运行后输出的结果为(A)1(B)2(C)4(D)165.设5P,丫为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题:若a_LV,P_LV,则口/P；若maa,naa,m/P,n/P,则a/B；若aMlUa,则lPnp=l,B0=m,丁Aa=n,l/丁，则m/n.其中真命题的个数为(A)1(B)2(C)3(D)6.已知Sn是等差数列an的前n项和，若a2as5+a8=12,则S9等于(A)18(B)36(C)721(D)无法确定7.P是AABC所在平

3、面内一点，若CB=KPA+PB,其中九wR,则P点一定在(A) AABC 内部(B) AC边所在直线上(C) AB边所在直线上(D) BC边所在直线上 .28.抛物线y =-12x的准线与双曲线22-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 93(A) 3,3(B) 2 .3(C) 2(D)、.39.定义行列式运算a1b1a2b2=a1b2 a2b1,将函数f(x)=sin x的图象向左平移t(t 0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为cosxn (A)6Ji (B)3(C)(D)1510.设方程3x=|lg(x)|的两个根为xl则(A) x1 x2 ：二 0(B) XXz 0

4、(Qx1x21(D)0 : X1 x2 ： 111.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.)若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.(A) 300秒(B) 400秒(C)500秒(D) 600秒12.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是(A) 40(B) 48(C)60(D) 68网络月租费本地话费长途话

5、费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动神州行”0.60元/分0.07元/秒二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13 .在棱长为a的正方体ABCD-ABiC1D内任取一点P,则点P到点A的距离小于a的概率为2414 .若等比数列an的首项为一，且a4=J(1+2x)dx,则公比q等于3115 .已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)0,f(3)=0,则不等式xf(x)0,f(x)=ax2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线.(I)求l的方程；(n)若切线1与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，求a的值；(出)证明对任意的a

6、=n(nWN)，函数y=f(x)总有单调递减区间，并求出f(x)单调递减区间的长度的取值范围.(区间x1,x2的长度=x2x1)附：答案及评分标准：一.选择题：BCCCBBBACDBB-1i-(1-i)2.1 .解析：B.z=A_L_1=_(1.1=i1,故选B.1i(1i)(1-i)3c-j,-1-4、32 .解析：C.该几何体为正四棱车K底面边长为2,图为父2=J3,其体积V=-父2父2父J3=.2333 .解析：C.由“且”命题的真假性知，p、q中至少有一个为假命题，则pq为假，故选项C错误.4 .解析：D.每次循环对应的a,b的值依次为_1_2_4_a=1,b=1,b=2,a=1+1=

7、2；a=2,b=2=4,a=2+1=3；a=3,b=4,b=2=16,a=3+1=4.5 .解析：B.根据面面平行的判定可知是假命题；是假命题；是真命题；是真命题人，a，a2a_6 .解析：B.a2+a5+a8=3a5=12,a5=4,S9=父9=x9=36.22Ttttttr7 .解析：B.CB=?，PA+PB口CB+BP=?uPA=CP=?、PA,.C、P、A三点共线.22xyx = 3,双曲线 9328 .解析：A.抛物线y=-12x的准线方程为,3=1的渐近线为y=x,如图，它们相交得3OAB,则A(3,-73),B(3,出),.-.SmAb=1父273x3=373.29.解析：C.f

8、(x)=函数f(x)向sinxcosx=33平移5元6左后为cosx-sinx=2(3cosx-1sinx)=2cos(x).226f(x+)=2cos(x+)=2cos(x+n)=-2cosx,6660 :二 x1x2 ：二 1 .X5二f(x)=2c为明函数.610 .解析：D.如图，易知x2x3=1,x3x1x20,11 .解析：B.设王先生每月拨打长途x秒，拨打本地电话5x秒，根据题意应满足5x 0.60 丘 /口,解得x至400.605x0.36120.06x-0.07x6012.解析：B.只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有ci+C3=10种；若有一

9、个小孩，则有c2(c4+cf+c：)=28种；若有两个小孩，则有12C4+C4=10种.故不同的乘车万法种数为10+28+10=48种.填空题3T13;14.3;15.x0x3或3x0；16.128.6冗13 .解析：1.易知，在正方体内到点A的距离小于a的点分布在以A为球心，以a为半径的球的43a故所求概率即为体积之比33a14 .解析：3.a4=f(1+2x)dx=(x+x2)4=4+42(1+12)=18；a1=2,1133_a4=a1q得公比q=3.15 .解析：x|0x3或3x0.根据题意，函数f(x)的图象如图，可得xf(x)0的解集为x10cx3或一3x0.16 .解析：128.

10、分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为16的有15项.而8是分子、分母之和为17的第8项.故共有151M15+8=128项.92三.解答题17.（本题小满分12分）已知角 A、B、C是AABC的三个内角,a、b、c是各角的对边，若向量 m= 1 cos（A+B）, cosA- BI2n=5,cos9Mmn=9.828(i)求tanAtanB的值；absinC1Vl曰_u/土(n)求2r的最大值.ab-cAB、,5A-B.9斛：(I)由m=(1-cos(A+B),cos),n=(一,cos),且mn=一，2828即51-cos(AB)cos2B=9.2828.4cos(A-B)=5cos(

11、A+B),4分分分分分即cosAcosB=9sinAsinB,tanAtanB=一.69absinCabsinC1,八(n)由余弦定理得2-=tanC,8ab-c2abcosC2tanAtanB993而tan(AB)(tanAtanB)-2tanAtanB=一，1-tanAtanB884一_一一3即tan(A+B)有取小值一.10431又tanC=tan(A+B),.tanC有最大值(当且仅当tanA=tanB=时取等号)，43所以产孑2的最大值为一3.12a2b2-c2818.（本题小满分12分）正AABC的边长为4,CD是AB边上的高，E、F分另I是AC和BC的中点（如图（1）.现将AAB

12、C乜替CD翻折成直二面角A-DC-B（如图（2）.在图形（2）中：（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（II）求二面角E-DF-C的余弦值；（出）在线段BC上是否存在一点P,使AP_LDE?ffi明你的结论图（2）解法(I)如图(2):在&ABC中，由E吩别是ACBC勺中点，得EF/AB，又AB值平面DEFEFU平面DEF.AB平面DEF.3分(n)ADCD,BD1CD,.ZADB是二面角ACDB的平面角.4分AD_LBD,AD_L平面BCD取CD勺中点M则EM/AD，EML平面BCD过MMMDFF点N,连结EN则ENLDEZMNE是二面角E-DFC勺平面角.6分3.21在

13、RUEMN中，EM=1,MN，.cos/MNE=8分271_(山)在线段BCk取点P,使BP=，BC,过PfPQLCDF点Q.PQ，平面ACD11分312,3.3DQ=DC=RtMDQ中，tanZDAQ=.在等边AADE中，333/DAQ=30：AQ_LDE,AP_LDE.12分解法二：(n)以点D为坐标原点，以直线DRDC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2M3,0),E(07,1),F(1,m,0)4分.平面CDF勺法向量DA=(0,0,2).设平面ED曲法向量为n=(x,y,z).则JDFn二0,即；xjV3y=0取n=(3,

14、-V3,3)6分、DEn=01J3y+z=0一一DAn-21、21cos=-=.二面角E-DEC勺平面角的余弦值为.8分|DA|n|77(山)在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为丫=-V3x+2网,设P(x,2，3J3x,0),则AP=(x,2x/3-V3x,-2).10分411,AP_LDEnAPDE=0=x=4=BP=1BC33在线段BCk存在点P,使AP!DE-12分.19.（本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为-.2（I）求张明进入下一轮

15、的概率；（n）设张明在本次面试中答题的个数为之，试写出之的分布列，并求 之的数学期望分分分分分当之=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错.1 ,1 ,14道您被淘汰.P(t=4)=() +(一)=；2281,1解法一：（I）张明答4道题进入下一轮的概率为（）4=，；1216答5道题进入下一轮的概率为C3J）31=1;22228答6道题进入下一轮的概率为C*1）3d）21=3；322232答7道题进入下一轮的概率为C1）3-）3-1=;522232-11551张明进入下一轮的概率为P12=1.616832322（n）依题意，之的可能取值为4,5,6,7.31311313111类似有P(t=5

16、)=C4()1()+C4()1(一)=;2222224P( =6) = C；(1)3 2P( =7) = C6(1)3 2(1)2 1 C53(-)3 1)222221b1_3131 3()-C6()()222212125行;5.1610于是之的分布列为匕4567p1155841616115593、E亡=4父一+5父一+6父+7父=12分84161616解法二：（n）设张明进入下一轮的概率为p1,被淘汰的概率为P2,则E+P2=1,又因为张明答对每一道题的，一，1概率都为一，答错的概率也都为2所以张明进入下一轮的概率为1-一.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即P1=P

17、2.2一.6分220.(本小题满分12分)n数列an满足an=2an2),a3=27.(i)求a1,a2的值;1,（n）已知bn=F（an+t）（nwN）,若数列bn成等差数列，求实数t；2（出）求数列an的前n项和Sn.3解法一：(I)由an=2an+2n+1(nwN,n22),得23=222+2+1=27=a2=9.2a2=2a1+2+1=9=a1=2.3分nn*(n)an=2anj21(nN,n_2)=(an1)=2(an1)2(nN,n_2)an 15a1*_-2n1(nN,n.2)a1an111口与=1(nWN,n2),令bn=/(烝+1)(nwN),则数列bn成等差数列，所以t=1

18、.7分32n112n1(出)bn成等差数列，bn=b1+(n-1)d=一十(n1)=.bn=(an+1)=;222n2得an=(2n+1)2n-1(neN*).8分2.n1Sn=31+52+72+|+(2n+1)2-n2Sn=32+522+723+|+(2n+1)2n-2n-得-Sn=32222222nJ-(2n1)2nn4(1-2nJ)n=32223IM2n-(2n1)2nn=34(12-)-(2n1)2nn1 -2=(-2n1)2nn-1.分.所以Sn=(2n-1)2n-n1(nN*)121*.解法一：(n)bn(an+t)(nuN)且数列bn成等差数列，所以有(bn书bn)(nuN)为常

19、数.2n11*bn1-bn=2701t)-了at)(n-N)1 1*11t1t*=产(2%+2n*+1+t)-1(an+t)(nWN)=1an+1+记-下a0丁N)2 222221-1=1+(n=N),要使(bn由bn)(n=N)为常数.需t=1.7分21.(本题小满分12分)2 x已知A为椭圆-2a+ 4=1(a b 0)上的一个动点，弦 b2分别过焦点Fi、F2,当AC垂直于x轴时，恰好有|AFi |:|AF(I )求椭圆离心率;(n)设 AF1浦F1 B,AF2 =九2 F2C ,试判断心十%是否为定值?若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由b解：(I)当AC1直于x轴时，|

20、 AF 2 |= 土3b,| AF1 |:|AF2 |=3:1,，| AF1| = a4b222=2a,，a=2b,，ba(n)由(i)得椭圆的方程为22x 2y=2b2,焦点坐标为 (b,0), F2(b,0).当弦ACAB勺斜率都存在时,设 A(x0,y0)，B(xi，y/C(x2，y2),则AC所在的直线方程为X0 - b(x-b),代入椭圆方程得(3b2 -2bXo)y2 2byo(x。-b)y-b2y。2 = 0.y0 y2 =22b V。2-3b -2bx03b-2X0同理-1 =3b 2x0当AC1直于x轴时,则2 = 1, 13b 2b,这时 +九2 = 6 ；当AB垂直于x轴

21、时，则九1=1,九2=5,这时+九2=6.12综上可知十%是定值6.22.(本题小满分14分)已知a0,f(x)=ax22x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线.(I)求l的方程；(n)若切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，求a的值；(出)证明对任意的a=n(n=N)，函数y=f(x)总有单调递减区间，并求出f(x)单调递减区间的长度的取值范围.(区间Xi，X2的长度=X2 Xi )21斛：(I) f(x)=ax 2x+1+ln( x +1), f (0) = 1, f (x)=2ax2 十x 1一 2 一 一2ax (2a-2)x-1f (0) =1 ,切点 P(0,1) , l 斜率为-1.，切线l的方程：y = X +1(n)切线l与曲线y = f (x)有且只有一个