高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算知识导航北师大版选修1-2讲义

1、2.2 复数的乘法与除法自主整理1. 复数的加法、减法运算:(a+bi±(c+di=_.2. 复数的乘法运算:(a+bi(c+di=_.3. 两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫作互为_,用_表示.4. 设z=a+bi,则z =_,zz =_.5. 满足(c+di(x+yi=a+bi的复数x+yi叫作_,记作_或_.高手笔记1. 复数的加、减、乘、除运算后, 所得的结果仍为复数.2. 复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3. 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律, 即对任何z 1、z 2、z 3C 有z 1·z2=z2·z1,

2、(z1·z2·z3=z1·(z2·z3,z 1(z2+z3=z1z 2+z1z 3.在复数范围内, 实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立, 即对任意复数z 、z 1、z 2和正整m n m+nm n mn n n n 数m 、n 有z ·z=z,(z =z,(z1z 2 =z1·z2.4. 若z=z,则z 为实数; 若z+z=0(z0,则z 为纯虚数.5. 根据复数所满足的运算律, 可知i 4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,(1+i=2i,(1-i=-2i,221+i =i, 1-i231-i 122=-

3、i.若设=-+i, 则1+=0,=, =, =1. 221+i名师解惑理解复数的除法运算的转化.剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算, 但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦. 我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式, 然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数, 使分母“实数化”,最后再化简. 复数的除法与分母“有理化”的方法相类似. 学习时, 注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i+(3-i-(5-3i.分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i+(3-i-(5-3i=(6+3-5+(6-1+3i=4+8i.绿色通道复数的加、减法运算, 就是把实部与实部、

4、虚部与虚部分别相加减, 实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1. 已知z 1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z 1对应的点位于( A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:B【例2】已知x 、yR , 且x y 5=+, 求x 、y 的值. 1+i 1+2i 1+3i分析:复数通分太麻烦, 可将每个分母的复数化为实数, 再进行计算.解:x y 5=+可写成 1+i 1+2i 1+3ix (1-i y (1-2i 5(1-3i +=, 25105x(1-i+2y(1-2i=5-15i,(5x+2y-(5x+4yi=5-15i,5x +2y =5

5、,5x +4y =15.x =-1, y =5. 绿色通道本题为复数的除法运算, 将每个分式的分母同乘分母的共轭复数, 再由复数相等的定义, 转化为实数方程组.变式训练2. 求4-3i 4+3i +的值. 4+3i 4-3i(4-3i 2+(4+3i 214解:原式=. 2525【例3】计算i 2 006+(2+2i -(8250 . 1-i2分析:利用i 的幂的周期性,(1±i=±2i便可简便地求出结果.解:原式=i501×4+2+(4i-(4225 -2i=-1+256-i=255-i.绿色通道注意复数计算中常用的整体.变式训练(-1+3i 33. 计算. (

6、1+i 61332(-+i 822解:原式=i. 8i 3(1+i 23【例4】设|z|=1且z±i,证明z 是实数. 1+z 2分析:(1z为复数可设出z=x+yi(x、yR , 再进行运算、判断;(2由|z|=1转为z z =1,即1z =z , 进一步化简.证法一:设z=x+yi(x、yR . 则z x +yi x +yi (x +yi (1+1+z 2=1+(x +yi 2=1+x 2-y 2+2xyi =x 2-y 2-2xyi (1+x 2-y 2 2+4x 2y 2 x (1+x 2-y 2 +2xy 2-2x 2yi +y (1+x 2=-y 2 i(1+x 2-y

7、2 2+4x 2y 2 =(x +x 3+xy 2 +(y -x 2y -y 3 i(1+x 2-y 2 2+4x 2y 2.|z|=1,x2+y2=1.y-x 2y-y 3=y(1-x2-y 2=0. z1+z 2=2x (1+x 2-y 2 +4x 2y 2R . 证法二:|z|=1,zz =1.1z =z . z 111+z 2=1=.+z z +zz设z=a+bi,则z+z =2aR . z1+z 2为实数.变式训练4. 已知x 、y 为共轭复数, 且(x+y2-3xyi=4-6i,求x 、y 及|x|+|y|. 解:设x=a+bi,则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2.(x+y2-3xyi=4-6i,4a2-3(a2+b2i=4-6i.4a 2=4,a +b =-6.-3(22a 2=1,b 2=1.a =1, a =1, a =-1, ab =1