高考数学抽象函数题型汇编

1、抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本 文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题（1） 已知,5）的定义域，求 力由幻的定义域，解法：若/的定义域为a,则，自（叨中口工虱灯&匕：从中解得团的取值范围即为了国切的定义域。例题1：设函数，的定义域为0，1,则（1）函数（/）的定义域为; （2）函数/（J7 2）的定义域为 解析：（1）由已知有口三产工1|,解得,故/（S）的定义域为-L 1（2）由已知，得0MJF-2V1 ,解得4三I三9 ,故2）的定

2、义域为% 9（2） 已知，目:幻的定义域，求的定义域。解法：若力双幻的定义域为此W濯，则由璃£ n三方确定30）的范围即为的定义域。例题2：函数尸二/口以霁+1）的定义域为口,则尸=/行的定义域为 。解析：由0MxM9 ,得l£x+ 1£1口，所以（3） 已知力团:幻的定义域，求,仇（0的定义域。解法：先由丁屋工"定义域求/W定义域，再由， 定义域求得 加定义域。例题3：函数川=/（工+ 1）定义域是-2, 3,则,=/（2月一 1）的定义域是解析：先求/W的定义域，: & + D的定义域是-2，3 , |a -2 <z<3:IWx+

3、l三4 ,即的定义域是一,4再求力区（工）的定义域，g-lW2x-1M4|,，0二工式|（2无-1）的定义域是0, |（4） 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。, I1例题4：函数,0）的定义域是（0, 1,求g（幻=+6/（花-值）（-$ <1三的定义域。P五十4VI fa M 尤 V 1 一叮解析：由已知，有«，即，0 < A-J <1 1口七工工14。.函数的定义域由（-值,1 -/ni+0确定一丁匹".函数且（幻的定义域是（-g1+0a-a <1 +5=1一 口【巩固1】

4、已知函数的定义域是1, 2,求f（x）的定义域。解析：/（一）的定义域是1, 2,是指,所以（一）中的小满足从而函数f（x）的定义域是1,4【巩固2】已知函数的定义域是-1, 2,求函数/口。*2(3-3)的定义域。解析：/(M)的定义域是T, 2,意思是凡被f作用的对象都在-1, 2中，由此可得-x) 尸nlMxM?所以函数G 一3的定义域是1,H241 .【巩固3】f(x)定义域为(0, 1),则y= f(x+a) + f(x a)(|a区一)定义域是_。2.0 ： x a ： 1-a : x ： 1 - a解析：因为x+a及x-a均相当于f(x)中的x,所以« aaa0 ： x

5、 - a ： 1 a : x ： 1 a 11(1)当2 Wa E0 时，则 x w(a, 1+a); (2)当 0 < a W 5 时，则 x w (a, 1 -a)二、 解析式问题1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x的代数式，从而求出f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。x 一 .一例题 5：已知 f () =2x+1，求 f(x).x 1xuu 2 - u2 - x斛析：设=u,贝 Ux=-1- f(u)=2+1= -1- f(x)=x 11 -u1 -u 1 -u1 -x2.凑合法：在已知f(g(x)=h(x)的条件下，把h(x)并凑成

6、以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。1 a 1例题 6：已知 f(x+) =x3 + 二，求 f(x) x x11c 111c解析： f(x+_) =(x+_)(x2 7 +=)= (x+_)(x+_)23)xx xxx-11.23又| x+ 1=| x | 十>1, f(x)=x(x 3) = x 3x, (| x | > 1) x |x|3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。2.例题 7:已知 f (x) 一次头函数，且 f (x+1)+ f (x 1) = x +2x+4，求 f

7、(x).解析：设 f (x) =ax2+bx + c ,则f (x 1) f (x -1)=a(x 1)2 b(x 1) c a(x -1)2 b(x-1) c2(a c) =422= 2ax +2bx+2(a+c) =x +2x+4 比较系数得_,1 .34 2a = 1=a= ,b=1,c = 一 222b =2f(x) =1x2 x 34.利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.例题8：已知y = f (x)为奇函数，当X>0时，f(x)=lg(x+1)，求f(x)解析： f (x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求 x<0时的表达式。,- x&

8、gt;0,f (-x) =lg(x +1) = lg(1 -x),f(x)为奇函数，lg(1x) = f(x) = f(x)lg(1 x), x - 0. 当 x<0 时 f (x) = lg(1 x)f (x) = W '-lg(1 -x),x <0例题9：f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有 f(x) + g(x) =x -1,求 f(x), g(x).解析：, f(x)为偶函数，g(x)为前函数，f(-x)= f(x), g(-x) = -g(x),不妨用-x代换f (x) + g(x)=1x -1中的x ,1 f(-x)+g(-xxrispf(x)-g(x) =

9、1. .x显见+即可消去g(x),求出函数f (x)=再代入求出g(x)=x -1x -15.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式例题10：设f (x)的定义域为自然数集，且满足条件f (x+1) = f (x) + f (y)+xy ,及f(1)=1，求 f (x)解析： f(x)的定义域为N,取y=1,则有f (x+1)= f(x)+x + 1f (1)=1, ： f(2) = f(1)+2, f(3) = f(2)+3f(n) = f (n1) + n以上各式相加，有 f (n) =1+2+3+ n = n(n-1)f (x)=1x(x+1),xw N22【巩固4

10、】 设函数f(x)存在反函数，g(x) = f(x), h(x)与g(x)的图象关于直线x + y=0对称，则函数h(x) =1 一A. -f (x) B, -f(-x)C. -f (x) D, -f (-x)解析：要求y = h(x)的解析式，实质上就是求y = h(x)图象上任一点P(x0, y0)的横、纵坐标之间的关系。点P(x0, y0)关于直线y=x的对称点(-y0, -x0)适合丫=1(乂)，即一x = g(一y°)。又 g(x) = f -*(x),，一 x0 =f (y°)= yO = f(-x°)= V。=-f (一x0),即 h(x) = f(

11、x),选 Bo【巩固5】设对满足冗¥ 口，兀.1的所有实数X,函数/(X)满足T 1/M+K)=1+兀,求f(x)的解析式。XTT - 1T" - 1解析：在/a)+/()= 十齐中以代换其中x,得：汗X五x-1 齐再在(1)中以-代换X,得x-11 T 2/(-)+/()=-(可x-1X -1(!)一(2) +(可化简得：/二12x( x-1)评析：如果把X和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是X解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个 变量，是实现这种转化的重要策略。三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及

12、运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例题11:已知定义域为尺,的函数f(x),同时满足下列条件：/=1, /(6) = g ；/(工)=/+/()，求f(3) , f(9)的值。解析：取工=2, y = 3,得了= /(2) + /(3)一，1 一 4因为2) = 1, 丁(6)=5，所以(可二-三又取 k = P=3,得，(9)=/(3) + /(3) = -|例题12： 定义在R上的函数f (x)满足：f (

13、x) = f (4 x)且f (2 x) + f (x 2) = 0 , 求f (2000)的值。解析：由 f(2x) + f(x2)=0,以 t=x2代入，有 f(t)=f(t),二f (x)为奇函数且有f (0) = 0 又由f(x 4) = f4-(-x) = f (-x) = -f (x),. f (x 8) = -f(x 4) = f (x)f (x)是周期为8的周期函数， -f (2000) = f (0) = 0【巩固6】已知f (x)的定义域为R+,且f (x + y) = f (x) + f (y)对一切正实数x, y都成立，若f(8)=4,则f(2)=。解析：在条件f (x

14、+y) = f (x)+f (y)中，令x = y = 4 ,得f(8) = f(4) + f(4)=2f(4)=4,二 f(4) = 2又令 x =y =2 ,得 f (4) = f (2) + f (2) =2 ,二 f (2) = 1 f (1) =1997,求 f (2001)的值。【巩固7】已知f(x)是定义在R上的函数，且满足:f (x+2)1 f (x)=l+ f (x),解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x)是周期函数，显然f(x)#1,于是f (x 2)=1 f (x)1 -f(x)f (x 4)1 f(x 2)1 - f(x 2) 1 f(x)11 - f(x) _1

15、11f (x); _而一 1 - f(x)1所以f(x+8) = -'一=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数, f (x 4)从而 f (2001)= f (8 250 1) = f (1)=1997四、值域问题例题13:设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y,总成立，且存在工i羊 使得了(个)工(河)，求函数”工)的值域。解析：令 K = y = 0 ,得 /(0) =/(0)2 ,即有/(0) = 0 或/(0)= 1。若/(0)=0,则/)=(1+0)二/(五)(0)二0,对任意无e尺均成立，这与存在实数G二打，使得应)手g)成立矛盾，故(O) w 0 ,必有(

16、。)二1。由于，0 + 丁)二(幻，0)对任意筛ywR均成立,因此，对任意 彳三尺，有/W =居吟=©)/($ = /(加之0下面来证明，对任意 ,设存在/ ER ,使得 /(%)=0 ,则 /(0) = f(x0-x0) =口)，(一湎)=Q这与上面已证的矛盾，因此，对任意xeR，(工)。所以. ：评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。【巩固8】已知函数f (x)对任意实数x, y有f (x + y) = f (x) + f (y),且当x > 0时f (x) >0, f (-1) =-2,求 f (x)在-2,

17、1上的值域。解析：设 x1 M x2 且 x1 , x2 W R ,则 x2 - x1A 0 ,由条件当 x>0时，f(x) >0，0 f(x2%)>0又 f(X2)= f(X2 x) +x = f(X2 Xi) + f (Xi) > f (Xi)f (x)为增函数,令 y = -X,则 f (0) = f (X) + f (-X)又令 X = y =0，得 f (0) =0，, f (x) = f(X),故 f (x)为奇函数，二 f(1) =_f (1) =2, f (-2) =2f(-1) = Y二f(x)在2, 1上的值域为4, 2五、求参数范围或解不等式这类参

18、数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉" f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的 作用。例题14:已知f(x)是定义在(1,1)上的偶函数，且在(0, 1)上为增函数，满足f (a -2) - f (4 -a2) <0,试确定a的取值范围。解析：: f(x)是偶函数，且在(0, 1)上是增函数，f (x)在(-1, 0)上是减函数，-1 ：a -2 ：1由2得 y'3 <a < J5。-1 ：4 -a ： 1(1)当 a =2 时，f (a2) = f (4a2)= f (0),不等式不成立。

19、(2)当 J3 <a <2时，M <a-2<0f (a -2) < f (4 -a2) = f (a2 -4) u1<a2-4<0= V3<a <2-2.、a - 2 > a - 4(3)当 2 ca c J5 时，f(a -2):二 f(4-a2)=f (a2-4)已<0<a-2<1«0<a2-4<1= 2<a<75-2.,a 2 < a 4综上所述，所求a的取值范围是(V3, 2)U(2, J5)。例题 15：“乂)是定义在(-00, 1上的减函数，若 f (m2sinx)

20、 w f (m+1+cos2 x)对x乏R恒成立，求实数 m的取值范围。2.八m sin x <3解析：$m 十 1 十cos2 x <322m -sin x 之 m+1 + cos x2对x RR恒成立um - sinx - 3m2 - sinx - m 1 cos2 x22 c m -3<sinx对x w R恒成立2 221 25m -m _1 _ sinx cos x = -(sin x -)-m2 -3 -1-1- 10 . _对x w R恒成立，25x/2 < m <为所求m m -1 之一2工4【巩固9】已知函数f(x)是定义在(，1上的减函数，且对一

21、切实数 x,不等式 f (k -sinx) > f (k2 -sin2 x)恒成立，求 k 的值 22k -sin x < 1解析：由单调性，脱去函数记号，得k -sin x 三 k2 -sin2 x2 22k £1 十sin x (1)一 211 2k - k 十 一 之(sin x -)、42由题意知两式对一切 xwR 恒成立匚2 2、,、k £(1 十 sin x)min =1, 211/ .1、29 二 k 一 -1k -k 4 -(sinx-2)max =4【巩固10】已知函数f (x)对任意x, y w R有f (x) + f (y) =2+ f (

22、x+ y),当x>0时，f(x)>2, f (3) =5,求不等式 f (a2 2a2) <3 的解集。解析：设 Xi、x? W R 且 x1Mx2 则 x2 - x1A 01 2f (x2 - x1) > 2 ,即 f (x2 - x1) - 2 > 0f(X2) = f(X2-X1)X1= f(X2-X1)f(X1)-2f(X1),f (X2)f (X1)故f (x)为增函数，又 f (3) = f(2 1) = f(2) f (1) -2 =3f(1) -4=522二 f(1)=3,. f (a2 -2a -2) <3= f (1),即 a2 2a2&

23、lt;1,. 1 <a<3因此不等式f(a2 -2a -2) <3的解集为a|1<a<3。六、 单调性问题 例题16： 设f(x)定义于实数集上，当 天口时，(幻)1,且对于任意实数x、y, 有*或+y)=,求证：/母)在r上为增函数。证明：在/0+b)二/(力。0中取了 二)匚0,得/(。)=/(0)产 若(0) = 0 ,令工0,用=0 ,则/。)=0 ,与/(幻1矛盾所以(Q)#o,即有(0) 二 1当天 口时，/W 10；当冗口时，一兀0, 丁(一力 1 0而/。/(»=/=1,所以，。)二 又当式=。时，/(0) = 1 o ,所以对任意芥三R

24、 ,恒有了。) 0设一 8工I <心<+oa , WJ心一工>0, 丁6 - 占):1=/I或1 + 0? -/)=/g/g- x。>八/),y-/w在r上为增函数例题17:已知偶函数 “Y、在m +*、上是减函数，问在,. z上是增函是f(x)(0,十叼f(x)(-00, 0)减函数，并证明你的结论。证明：如图所示，易知f (x)在(3, 0)上是增函数，证明如下：任取 x1 ：x20= -x1-x20因为f (x)在(0, +8)上是减函数，所以f(x1) M f(x2)。又 f(x)是偶函数，所以 f(-x1)= f(x1), f (x2)= f(x2),从而f(

25、Xi)<f(X2),故f(x)在(g, 0)上是增函数。【巩固11】如果奇函数f (x)在区间3, 7上是增函数且有最小值为 5,那么f(x)在区间-7, -3上是A.增函数且最小值为 -5B.增函数且最大值为 -5C.减函数且最小值为 -5D.减函数且最大值为 -5解析：画出满足题意的示意图1,易知选Bo7、 奇偶性问题例题18:已知函数/W(x 凡K工0)对任意不等于零的实数 朴 句都有了51勺)=/(瓦)+(勺)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：取 = -1 向:1 得:=,所以/二。又取勺=出=-1得：二了 (-1),所以丁 LD = 0再取工I=七通=-1则/(一口=/(一1

26、)+/0),即/(一0 二/(乃因为,(X)为非零函数，所以为偶函数。【巩固12 若函数y= "乂)(”乂)=0)与y=-f(x)的图象关于原点对称， 求证：函数y= f(x)是偶函数。证明：设y = f (x)图象上任意一点为 P ( x0, y0): y = f (x)与y = - f (x)的图象关于原点对称，二P(xo, yo)关于原点的对称点(x0, 一 丫。)在丫 = 一 f(x)的图象上，y。二 一f (xo)yo = f (xo)又 yo =f (xo),二 f (xo) = f (xo)即对于函数定义域上的任意 x都有f (-x) = f (x),所以y = f (

27、x)是偶函数。8、 周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f (x )满足对定义域内任一实数 x (其中a为常数)，1. f(x)=f(x+a ),则y=f(x )是以T = a为周期的周期函数；2. f (x+a )=-f (x ),则£仅)是以丁 =2a为周期的周期函数；13. f(x+a)=±,则f(x洲以T =2a为周期的周期函数；f x4. f (x+a尸f (x a),则f(x)是以T =2a为周期的周期函数；5. f(x+a) =1- f(x),则f(x)是以T =2a为周期的周期函数.1 f(x)6 . f (x + a) = -1

28、 f(x)，则f (x )是以T = 4a为周期的周期函数.1 f(x)7 . f(x+a) J f(x),则f(x)是以T =4a为周期的周期函数. 1-f(x)8 . 函数y = f (x)满足f (a +x) = f (a -x) ( a >。)，若f (x)为奇函数，则其周期为T =4a,若f(x)为偶函数，则其周期为 T=2a.9 .函数y = f (x) (xw R )的图象关于直线x=a和x = b(a<b)都对称，则函数 f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数；10 .函数y = f (x) (xw R)的图象关于两点 A( a, y0B(b,y0 )(a <

29、; b)都对称，则函数f (x)是以2(b-a )为周期的周期函数；11 .函数y = f (x) (xw R )的图象关于 A(a,y0)和直线x = b(a<b)都对称，则函数f (x)是以4(b-a)为周期的周期函数；例题19：设f (x)定义在R上且对任意的x有f (x) = f (x + 1) - f (x+2),求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x+T) = f(x) (T为非零常数)则f(x)为周期函数，且周期为 To证明： f (x) = f (x 1) - f (x

30、2)(1).f (x 1) = f (x 2) - f (x 3)(2)+(2)得 f(x)=-f(x+3)(3)由(3)得 f (x 3) =-f(x 6)(4)由(3)和(4)得 f (x) = f (x+6)。上式对任意xWR都成立，因此f(x)是周期函数，且周期为6。例题20：设函数f(x)的定义域为 R且对任意的x, y有f (x + y) +f (x y) =2f(x) -f (y),并存在正实数 c, f(|) = 0。试问 f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。HT解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y = cosx满足题设条件，且co

31、;=0,2猜测f(x)是以2c为周期的周期函数。ccccccf(x c)勺 f(x )- =2f(x =)f(=) =0222222.f (x c) = -f (x)f (x 2c) = -f (x c) = f (x)故f (x)是周期函数，2c是它的一个周期。【巩固13】 设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称。对任意一 1xi, x2 0,都有 f (x1+x?) = f (x1)f 诲)。证明 f(x)是周期函数。2证明：依题设y = f(x)关于直线x = 1对称，故f(x)= f(2x), xwR又由f(x)是偶函数知f(x) = f(x), xWR二 f(x)

32、 = f (2x), xWR,将上式中x以 x代换，得 f(x)=f(x + 2), x= R这表明f (x)是R上的周期函数，且 2是它的一个周期f(x)是偶函数的实质是 f(x)的图象关于直线 x = 0对称又f(x)的图象关于x = 1对称，可得f(x)是周期函数，且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 x = a(a#0)对称，证明f (x)是周期函数，且2a是它的一个周期。证明：f(x)关于直线 x=a 对称: f (x) = f (2ax), x = R又由 f(x)是偶函数知 f(x) = f(x), x WR,. f

33、 (x)= f(2a x), xR将上式中x以x代换，得f (x) = f (2a+x), xWR二f(x)是R上的周期函数，且2a是它的一个周期思考二：设f(x)是定义在 R上的函数，其图象关于直线x=a和x = b(a#b)对称。证明f(x)是周期函数，且 2(ba)是它的一个周期。证明：: f (x)关于直线x=a和x =b对称.f(x) = f (2a-x), x R, f(x) = f (2b-x), x R,. f (2a - x) = f (2b - x), x R将上式的x以x代换得f (2a+x) = f (2b+x), xwR二 fx+2(b-a) = f(x-2a) +2

34、b = f(x-2a)+2a = f(x), x R二f(x)是R上的周期函数，且2(b-a)是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数” ，f(x)还是不是周期函数？我们得到思考三：设f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线 x = 1对称。证明f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。，证明：:£他)关于乂=1 对称，二 f (x) = f (2x), xWR又由 f(x)是奇函数知 f(x) = f(x), xw R,二 f(2-x) = -f(-x), xw R将上式的x以x代换，得f(2+x) = f (x), xWRf(x 4) = f2 (x 2) = -

35、 f (x 2) = -f (x) = f(x), x R二f(x)是R上的周期函数，且4是它的一个周期f(x)是奇函数的实质是 f(x)的图象关于原点(0, 0)中心对称，又f(x)的图象关于直线x = 1对称，可得f(x)是周期函数，且 4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到思考四：设f (x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a, 0)中心对称，且其图象关于直线x=b(b#a)对称。证明f(x)是周期函数，且 4(ba)是它的一个周期。证明：f(x)关于点 M(a, 0)对称，f (2ax) = f(x), x= R; f(x)关于直线x=b对称，f(x) = f(2b-x),

36、 x R,. f (2b-x) =-f (2a-x), x R将上式中的x以x代换，得f (2b x) = - f (2a x), x Rf x 4(b - a) = f2b (x 2b-4a) = f2a (x 2b -4a)=-f2b (x -2a) = f2a (x 2a) = f (x), x R二f(x)是R上的周期函数，且4(b-a)是它的一个周期由上我们发现，定义在R上的函数f(x),其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f (x)是R上的周期函数。进一步我们想到，定义在R上的函数f(x),其图象如果有两个对称中心，那么f (x)是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思

37、考五：设f(x)是定义在R上的函数，其图象关于点 M(a, 0)和N(b, 0) (a#b)对称。证明f(x)是周期函数，且 2(ba)是它的一个周期。证明：f(x)关于 M(a, 0), N(b, 0)对称二 f (2a -x) = f (x), x WRf (2bx) = -f (x), xWR二 f (2a -x) = f (2b -x), x w R将上式中的-x以x代换，得f (2a x) = f (2b x), x Rfx +2(ba) = f2b + (x-2a) = f2a +(x2a) = f(x), x£ R二f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期九、

38、对称性问题(1)对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完 全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)常函数；一次函数；二次函数；反比例函数；指数函数；对数函数：嘉函数： 正弦函数；正弦型函数y =Asin(eox+。)既是轴对称又是中心对称；余弦函数；(11)正切函数：耐克函数；三次函数：显然三次函数中的奇

39、函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。(14)绝对值函数：这里主要说的是y = f (| x|)和y =| f (x) |两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如 y =l ln x|就没有对称性，而 y =|sinx|却仍然是轴对称。Q5)形如y =axb(c0,ad #bc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x=-dcx dc(由分母为零确定)和直线y=,(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(-d，7)0cc c(2)抽像函数的对称性1、函数y = f (x)图像

40、本身的对称性(自对称问题)(1)轴对称 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称 u f (a + x) = f (a - x) u f (x) = f (2a - x):二 f (-x) = f (2a x) f (a+x) = f (b-x) = y = f (x)的图像关于直线 x = (a + x)+(b - x) = a + b 对称.22特别地，函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x).(2)中心对称 y = f (x)的 图像关 于 点(a，b)对称 u f (a + x) + f (a - x) = 2b uf(x) f(2a

41、-x) -2bu f (x) + f (2a+x) =2b f (a+x) + f (bx) = 2c u y = f(x)的图像关于点(a*b ,c)对称.2特别地，函数y = f (x)的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是f (x) + f (x) = 0 .(3)对称性与周期性之间的联系若函数f(x)既关于直线x = a对称，又关于直线 x =b对称(a # b),则函数f(x)关 于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为b-a ；且函数f(x)为周期函数，周期T =2b a ；特别地：若y = f(x)是偶函数，图像又关于直线x = a对称，则f(x)是周期为2 a的周 期函数；若函数

42、f(x)既关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称(a#b),则函数f(x)关于无 数个点对称，相邻对称中心的距离为 b-a；且函数f(x)为周期函数，周期T=2b-a； 若函数f(x)既关于直线x = a对称，又关于点(b,0)对称(a * b),则函数f(x)关于 无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为b-a ,相邻对称轴或中心的距离为2 b-a|；且函数f(x)为周期函数，周期T=4b-a。特别地：若y = f (x)是奇函数，图像又关于直线 x = a对称，则f(x)是周期为4 a的周 期函数。2、两个函数图像的对称性(互对称问题)(1)函数y = f (a +x)与y =

43、f (a - x)图像关于直线x = 0对称。(2)函数y = f (x)与y = f (2a -x)图像关于直线x = a对称(3)函数y = f (x)与y = f (2a + x)图像关于直线x = a对称(4)函数y = f (a + x)与y = f (b - x)图像关于直线(a+x) - (b - x) = 0对称即直线b - aX = 2对称(5)函数y = f(x)与y =f(x)图像关于x轴对称。(6)函数y = f (X)与y = f (X)图像关于y轴对称。(7)函数y - f(x)与a-x = f(a - y)图像关于直线x + y a成轴对称。(8)函数y f(x)

44、与x-a = f(y+a)图像关于直线x-y = a成轴对称。 函数y = f (乂)与丫= f,(x)的图像关于直线y = x对称。(10)函数y = f (乂)与丫 = f,(x)的图像关于直线y = -x对称。(11)函数y=f(x)有反函数，则 y= f华+ 乂)和y = f,(a + x)的图像关于直线y =x+a对称。(12)函数y = f(x)与y=2b f(2ax)的图像关于点 (a,b)成中心对称。特别地，函数y = f (x)与y = f (x)图像关于原点对称。例题21： 函数尸=/W满足/W+/(-j) = 2。02 ,求+，-工(2002 -力值。 解析：已知式即在对

45、称关系式 /g +工)+(口一)二2匕中取。=口，b = 2002 ,所以函 数y的图象关于点(0, 2002)对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y =/TQ)的图象关于点(2002, 0)对称。所以一二：二：)一： '，一 将上式中的x用元-1Q0】代换，得了"*) +/-1(2002-/=0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设 a、b均为常数，函数y - /3)对一切实数x都满足/g + x) +/(i x) = 2s ,则函数 少二/Q)的图象关于点(a, b)成中心对称图形。十、 综合问题1)比较函数值大小利用函数的奇偶性、对

46、称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例题22:已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x<0时，f(x)是增函数，若x1 <0 ,x2 A 0,且 |x1|<|x2|,则 f (一x1), f (-x2)的大小关系是 。解析：1x1<0,x2A 0且 |x1|<|x2| ,0 <X1< x2 =x2cxi< 0又 x<0时，f(x)是增函数，, f (x2)< f (xj; f(x)是偶函数，, f (_x1)= f(x1),故 f (-x1)> f (-x2)2)讨论方程根的问题例题23： 已知

47、函数f(x)对一切实数x都满足f(1+x)= f (1-x),并且f(x) = 0有 三个实根，则这三个实根之和是 。分析：由f(1+x) = f(1-x)知直线x = 1是函数f(x)图象的对称轴。又f(x) = 0有三个实根，由对称性知x1 =1必是方程的一个根，其余两根x2, x3关于直线x=1对称，所以 x2 十x3 =2 父1 =2 ,故 x1 +x2 +x3 =3。3)研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。例题24： 若函数y = f (x+2)是偶函数，则y = f (x)的图象关于直线 对称左移2个单位,，一一 一一入 右移2个单位解析：y = f(x)的图象y=f(x+2)的图象，而y = f (x + 2)是偶函数，对称轴是x=0,故y=