2011届高三数学一轮复习第四章数系的扩充与复数的引入测试题新人教版

1、用心 爱心 专心1第四章 数系的扩充与复数的引入（时间 120 分钟，满分 150 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)221. 设z= 1 + i(i 是虚数单位)，则z+z=()A. 1 iB. 1+1C.1 iD.1+ i22222(1 i)2解析：+z=+ (1 + i) =+ 1 + i + 2i = 1 + i.z1 + i2答案：D2. 有下列四个命题：1(ab)2=a2b2; |a+b|ab|:|a+b|2=(a+b)2;若a/b,贝 Uab=|a|Ib|.其中真命题的个数是()A.1B.2C

2、.3D.42 2 2 2解析：(ab) = |a| b| cosa,ba|2|b|2=a2b2；2|a+b|与|ab|大小不确定；3正确；24a/b,贝 Ua=b(入 R) ,.ab= b,而 Ia| b| = | 入 | |b| |b| = | 入 |b,不正确.答案：ATI3.设R(2 , 1) ,F2(O,5)，且P在 PQ 的延长线上，使 |pip| = 2|p P2|，则点P为()32A.( 2,11)B.(4, 3)C.(3, 3)D.(2, 7)解析：由题意知PP2=P2P,设Rx,y)，则(一 2,6) = (x,y 5),工x = -2工x二-2,y-5=6 y = 11点P

3、的坐标为(一 2,11).答案：A用心 爱心 专心2=4i+ 2j,OB= 3i+ 4j，则OAB勺面积等于4.设i,j 是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,且0A解析：由已知：A(4,2),巳 3,4).A.15B.10C.7.5D.5OAOBOA| =2 5, |OB|=5.cos_AOBOA OB20_252,5 55 sin AOB55答案：DAD同向的向量是()ababa+bA-PB.C.D.|a|a+|b|b1a|b|a|b|1a+b|1a+bT解析：|a+b|是a+b的单位向量，a+b与向量是AD同向.6.已知向量p= (2 ,x 1) ,

4、q= (x, 3)，且p丄q,若由x的值构成的集合A满足A?x|ax= 2,则实数a构成的集合是2A.0B.3 C.解析：Tp丄q,. 2x3(x1) = 0,即x=3, A= 3.又x|ax= 2?A x|ax= 2= ?或x|ax=2 =3,( )2D.0, 3实数a构成的集合为0, |.答案：D7.设x、y均是实数,xyii是虚数单位,复数 xF +i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的(=12+ 8= 20, |3SOAB5.在厶ABC中,D为BC的中点，已知AB=a,AC=b,则在下列向量中与答案：C用心 爱心 专心4x2y0i50,所

5、以由题意得5即| _2x _y+5二0I 5，x2y 02x y -5cosB0, sinBcosA0,故有pq= (1 + sinA)(1 + sinB) (1 + cosA)(1 + cosB) 0,同时易知p与q方向不相同， 故p与q的夹角是锐角.答案：A解析：因为+i =1+2i52xy+5.5i画出不等式组表示的平面区域即可知应选A.8.设a,b是不其夹角是0，若函数f(x) = (xa+b) (axb)(x R)在(0 ,+)A.|a| |b|，且0是钝角B.|a| |b|，且0是钝角2解析：f(x) = abx+ (D.|2b)x+ab,a| |b|，且0是锐角若函数f(x)在(

6、0,+)上有最大值，则二次函数的图象的开口向下，且对称轴在y轴右侧，即所以a,b的夹角为锐角，且|a| |b|.答案：D-吐： ： ：o a2b2c，班09.(2010 黄冈模拟)已知 AB C是锐角ABC的三个内角,向量p= (1 + sinA,1 + cosA) ,q= (1A.锐角B.钝角C.直角D.不确定10.在厶ABC中, 若对任意t R,恒有| |AC|，则A. / A= 90B. / B= 90解析：如图，设 B tBCD./ A=ZB=ZC=60tBC= BD AD由于上式恒成立，AC丄BC用心 爱心 专心5解析：ACBCCBCA BCJBA二BCAB BA) CBCA二CBQ

7、CA,二C?CBCA=BCBCCA)=BC BA =0,31乙B ,2 C =90 .答案：C11.已知 |OA| = 1,|OB| =3,OAmOAnOB(m n R)，则f等于OB= 0，点C在/AOB内，且/AOC=30,设OC=1A.3B.3C.3解析：法一：如图所示：OC=OM+ON, 设ON=x,则OM=、_3x.D.法二：如图所示，建立直角坐标系则OA= (1 些,OB (0, . 3)OC=mOA+nOB=(m , 3n),m tan30m n= 3答案：BCB,则厶ABC是 ()A.锐角三角形直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形x12.在厶ABC中,B.若用心 爱心 专心6

8、 ABC 为直角三角形答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.请把正确答案填在题中横线上)a i13.已知复数 一 i 的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，则实数a=i-a i解析：已知复数一厂i = 1 (a+ l)i ,由题意知a+ 1= 1,解得a= 2.答案：214._ 已知复数z1= 4+ 2i ,z2=k+i，且Z1 z2是实数，则实数k=_ .解析：z2=k i ,Z1z2= (4 + 2i)(k i) = (4k+ 2) + (2k 4)i , 又Z1z2是实数，则 2k 4= 0,即k= 2.答案：215.已知向量a与b的夹角为 12

9、0,若向量c=a+b,且c丄a,则目=Ib|1解析：由题意知ab= |a|b|cos120 = Ia|b|.又Tca,. (a+b) a= 0,a2+ab= 0,21 即|a| =ab= ?|a|b|,1答案：16.(2009 四川高考)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f: V, aV,记a的象 为f(a).若映射f:VV满足：对所有a、bV及任意实数入、卩都有f(入a+卩b)=入f(a)+卩f(b)，则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：1设f是平面M上的线性变换，a、bV,贝U f(a+b) =f(a) +f(b);2若e是平面M上的单位向量，对aV,设f(a) =a+e,则

10、f是平面M上的线性变换;3对aV,设f(a) =a,则f是平面M上的线性变换；4设f是平面M上的线性变换，aV,则对任意实数k均有f(ka) =kf(a).其中的真命题是 _ (写出所有真命题的编号).|a|b|12.用心 爱心 专心7解析：当 入=卩=1 时，f(a+b) =f(a) +f(b)成立.用心 爱心 专心82f(a)=a+e,.f(入a+ 卩b)=入a+口b+e.入f(a)+f(b)=入(a+e) + 卩(b+e)=入a+卩b+ (入 + 卩)e.f(入a+ 卩b)丰入f(a) +卩f(b). f不是平面M上的线性变换.3Tf(a) =-a,：f(入a+卩b)=入a卩b,入f(a

11、)=入a,口f(b) = 口b.f(入a+ 卩b)=入f(a) + 卩f(b).f是平面M上的线性变换4f是M上的线性变换，当入=k,(1= 0 时，有f(入a+口b) =f(ka) =kf(a) +0f(b) =kf(a).答案：三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)设a= ( 1,1) ,b= (4,3) ,c= (5 , 2),(1) 求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；求c在a方向上的投影.解：(1)Ta= ( 1,1) ,b= (4,3)，且1X3 工 1X4,a与b不共线.又ab= 1x4

12、+1x3=1,|a|=2,|b|=5, ab 12：C0Sa,b=面帀=5 二=-荷(2)Tac= 1X5+1X(2)=7,18.(本小题满分 12 分)已知|a| = 1, |b| = 2,n(1)若a与b的夹角为 3，求 Ia+b| ；若ab与a垂直，求a与b的夹角.解：(1)|a+b|2= |a|2+ 2a- b+ |b|2=1+2X1X. 2xcos 3+23=3 + 2.|a+b| =3 +、2.(2)Tab与a垂直， (ab) a= 0.c在a方向上的投影为ac 7?ar=一 2用心 爱心 专心92 2|a| ab= 0,.ab= |a| .设a与b的夹角为0.用心 爱心 专心10

13、|a|2=1=Ia|b| 仆：2 2.n所以向量a与b的夹角为石19. (本小题满分 12 分)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量n= (a,b) ,n=(sin B, si nA) ,p= (b 2,a 2).(1)若 m/n,求证：ABC为等腰三角形；n若 mlp，边长c= 2，角C=，求ABC勺面积.3解：(1)证明：Tm/n,.as in A=bsi n B,其中只是厶ABC外接圆半径，a=b.ABC为等腰三角形.(2)由题意可知 m-p= 0,即卩a(b 2) +b(a 2) = 0.a+b=ab.由余弦定理可知，4 =a2+b2ab= (a+b)2 3ab,2

14、即(ab) 3ab4= 0.ab= 4(舍去ab= 1),11n厂S=rabsinC=2x4Xsin =3.223(1)求 cos(a3)的值;2-二 cos0abIa|b|20.(本小题满分 12 分)已知复数z1= cosa+ isina,Z2= cos3+ isin|Z1Z2|=5 5.n右一V 3 V0an5 ，且 sin3= 13 求sina的值.解：(1) /Z1Z2= (cosa cos3) + i(sina sin3),(cosa cos3)2+(sin- 2sin3)=2 ,55用心 爱心 专心11cos(a 3)=0.用心 爱心 专心123V n.由(1)得 COs(a3)

15、=54512sin(a 3)= 5.又sin3=也COs3=石sina =sin(a 3)+ 3=sin(a 3)cos3 +cos(a 3)sin34123533=5x匕+5x (帀)=6521.(本小题满分 12 分)已知 A 1,0) ,B(0,2) ,C- 3,1), (1)求D点坐标;I x + 2v = 4即(x 1)2二y2=10.x =2或 y =1. D 点坐标为(一 2,3)或(2,1)./D点在第二象限，D( 2,3).TTAD= ( 1,3). /AC= ( 2,1), 设AC则(2,1) =m(1,2) +n( 1,3),一2 = m n,=23 n.AC= AB+A

16、D./ 3AB+AC= 3(1,2) + ( 2,1) = (1,7),m+ 14= 0. m= 14.解:T T T AB,AD表AC；AB+AC与AE垂直，求(1)设D(x,y) ,AB= (1,2) ,AD= (x+ 1,若D点在第二象限，用AE= (m,2)，若 3AE坐标.y).由题得AB12y22 2= (x=1) =y =10,AE= (m,2),-(3IB+AC) AEx 2,y = 3m = -1I n =1.+nAD,用心 爱心 专心13AE= ( 14,2).22.已知ABC勺面积S满足 3wSw3,且ABBC=6,AB与BC的夹角为0(1)求0的取值范围；求函数 f (0) = sin0+ 2sin0cos0+ 3cos十得S= 2tan0，即 3tan0