实变函数与泛函分析(郑维行王声望)第四版下册课后习题答案(非完整版)

1、第六章距离空间2. 设jt是距肉空问.aczx.证叫j的一切4点组成的集必为开集.【证】设=为d的内点.仃取xe/，只需证明xslb的点即可.w x ii: a的内点，故必作舟万>0,使开球s(x)ea t现证明 s(x.s)eb.卞实上对于s(x.j)中任一点y,令= -p(x, y)>0,则s(yt4)c s(夕，a , 故v jj d内点，也就足说.v(x,rf)e 从而h为开亂 (或h接说明，因s(x,/y)ft k屮仟 点的邻域，即k:屮仟点均介邻域介4: j中，则中的梅一点为/i的内点，囚此5(x),从iftjfl力幵集.)3. 设义是可分的hl离空f"j.

2、gt(cej) x的一个阉盖，则从gj中能 取出可列个了央组成y的一个覆盖.【证】/i是nf分染，即存在可列子以水x:，“.x,，".&4中mi.假没 g = gc a的一个开蒗盖.没&足以为球心，可以乜含在某一个羧盖开集 内的最大球的半径，即c = sup r: ge c g,«(r, r) c gr. 对于仟忌xj,存在开集ttw-veg.,由于x足g的内点，则存在 ru>0 ,«x,)cg ,由于尺在.4屮稠密，存在k屮的一点尺，有由<，的定义知,5(xo,y卜从而xegn.故g”(?”g"构 成d的-个开覆盖.4. 设

3、x按跑离尸为距离空间，ax |：空.令(x ar).证明足a'卜.的连续函s.【证】任取.tey及£>0，存在.rvej,使得 p(x,xo)< f(x)£.vexhf(y)p(y,x9)p(a>)+p(x，xq)< p(r,y)+/(.v) + r. 即f(y) - /(v) < p(.v, y) + e.由的任意性知/<.v)-/(x)spor,.v) 同理可得/w-/(/)p(x,j).联合上® w式立hp得k(.v)-/(.y)卜p(.t,.v)，故/(xpj连续函数.7.没/(.r)足由hl离空问划距离空ma?

4、|i的连续映射，.4在义屮倜密， 证明f(a)f(x中碉密.【证】11*収则存在aea.使z = /(_0.因为a:x，故存在 xaea .使.v，再根裾/的连纯性将，/(aj->/(a).所以 /()= .,(y).s. m.ca.h小在卜4上具冇iwu阶连续y凾数的全部函数构成的衆. 对于 xyec1 a,bt 令外，=-戶(小这，p规定？证明:(1)ca a.bk照距离个问： 多项式个体按ktpac* a.b中碉密.【证】(1)然满足距?u公川!三个条件，照厂是跏离宇间. 任取xecka,b, 6->0, w?4,(/)cfr, rfl weiestmss ie近定#11，在

5、多项式函数p(r),使，卜(其中a = max lb-a.令_v(r)满足微分方程°i戶=冲)，y(a卜 i(a).y'(小 x."'/ i («) = ./_”卜). »y (f) s:多项式w数.由戶(/)-x=(产”w) 可得max戶-x，)叫-七俨1)(卜戶)(/)卜从而p(x, r) < £.即多项式企体按照p在c4 a,b中视密.10.设x足距离宁间，上的距离，令证明:p也是尤上的距离:(2) (x.p)【证】(1) p满足非负性和对称性足显然的.只费证明三免d、等乂 小，p(x) , py)p(xfy) l

6、+ p(x,z) l + p(z,v)'为此只处e明下而不等人威、7.:1+卜方1+1i，.由于函数<j(x)= hlx间(aoo)卜单渊递增，r.|a + b、a| + |a|，nj以看出卜纠 < h+i*l = . n <_h_. h l + pr + 6| l + |n| + |/>| l + |a| +卜 | l + pr| + |fr| 1 + |a| l + |/»|s/朵从巧的自然映射(fe其变抶).一"面1 + /心，少)另-力而，v)< i吋：有p(v.v)=/>?y<2/hyvv).卜 p(w)刖可得/

7、i均连续，故14.证明宇叫尸足完谷的、可分的距离宁问，1t屮/?(-y)= j .【ii门 我们12知化ft厂按i-而史义的ilp(x.y)是 甘离中间. 完备性:设xjc/'fi苺木列，其屮x=(),别对仃给/;>(),存在/v，当m.n n时，订»j|d"l-ap(* = u，")(w，”ao.故对每个，屮的拱本列. 故收效.现=令.v = (o.卜面iieiioxer, h.rw->.r.汽先对于仃意自然数*邢打(術mv)w定n.令w -> x得淤-么 (n>n), *=| 冉令1400得h )，故夂一弋-«/p,由

8、x = xn-(x-.r)及/"坫一线性空间知xe/ 完缶 性符证.可憾:令£；= u:.y = (/,人.0.0.)，/;为江一自然数，/;均为冇刊数(这见+ 妨设，”性空问)，则e。为r 一个nr数子尖.下面证明e。在r中绸密.|rmzx/ £ >o9 n 先存介:,zll<7j-fill而对于4(4r»b2t-sm)必在c2，r;，使卜i厶巧 1? a点 j。= (%，q，人，0.0,.)e kt 使 p(x, v)<z.,r可分得证.16. 设久是距离宇间，ax.如果.4按照y的阼离是充备的，iif明/!是 y中的 苦究备的距离

9、空m,的，则/按照y的礼离是a&的距角空间.【证】仟取.re/!，则存j,使由丁收敛点列是/i屮基木列，芯/!完备.wlxj收敛到4中一点，由极限唯一性知rd, u|u处闭集.反过来，aax是免，则/中任总填本列收敛j中.即d完备.17. 设7?足实数域，在/?上定义距离a（v）=k-e>i»则/?按p:是一个距离空问fl i不w济.【证】巧满足距离二个条件显然.下曲距说明/?按*小完格.=-n ,则=0.jim a.vj = jim eaifvj 圮/?屮的 chaachy 列，而利fes, a e /?, tflimp2(.v.v) = lim |f -e '

10、;即不收敛.18. 设y是距离宁间.abx.若足第一类v的集.w1.4也是第一 类彻的钜.77/4 类叩的史，则也足第-类中的突. 【证】若类型的笫，wb=ur ,其屮1屮的稀疏笫.而 n-la二 d，则/=/fn=u（/in） a-l而ac也是a中mi说央，从而j也是筇一芡型的央.心.4垃浓类也的集.s必垃弟一类型的衆.古_若2?垃泊一类型的集. 由上而结论j也足第一类叩的集，得出矛js.19. 设;t足距离卞间，4cx足闭集.如果/圮第二类¥集，则.4包含1 中的某个闭球.【证】囚数a二类型染，则/非稀硫奂，bu/在jt的足个开免g中稠密，co g（za = a . g为丌染，则

11、存在开球s（x0,r）c:g .又闭球5 x0. .v(xfl,r)cgc j,故ax的某个闭球.20. 设x足究抓此呙空pi，非空开疋，则g足笫二类瞾®. 【证】m为c7足跑离空问屮彬空开铤，_存在一包含于(7的闭球s,由于 y完备，故.s完备.由贝尔(baire)定狎，s玷第-类把免.冉由ik题结论.g s第二类型災.21. 设x足宂缶跑尚空叫，aaxitui列子萊.问/足杏必为第一类型铤？ 如果足，试给予证剛，如果4、足，试平出例【解】d不为第-类型災.例如，在u:i>x = 0.l.2. . 上定义跖离如 k：p(x.v) = |x->*| (x，.vel).e然

12、技照p，x的毎个单元素集既是开集也是闭化.a*足宂备*<、|川，故它的毎 个中元素a免都足第一炎m的染.故y s第炎型的认.22.没兄是宂格41离空间，/；(77 = 1,2,-)y.jx中的一列闭集，满足厂,，并且毎一个 fn0 , limj(/:；) = o，dfn')表 /j< 7： w a 径.w d(fn) =sup p(x, r),则p *0,带例说明条件lim'：/(f ) = 0不能去抻.【址】(分此题和书中定规3.2的内容抵本一样)4、妨k/-=>e=>,则 nj取 xnefn- (n = 1,2."),符 x 屮一点列xw,

13、因 h ww 时，么， 此ih永”介a，huw条件d(fj-o , xj hl x屮得姊木列.由y的完缶性，设 lim=ey .下面证idj.ren/；. 实上对任一自然数/n , n>m时， «h"*r艚顧應f,a 为闭集，ixef,nt 从而 xea/：.4:1取而«¥ = 12."在上面定义距= (m.ncx).则x完缶.pi令/-；=n.rr + l,.则弋s闭尖，r满足包介关系，们足不满足条件) = 0.筋证 0尺=0.23.证明推紧集的w包足紧集.【证】设/!足距离宁问/上的准紧钜.若xjczj.则存在yhaa满足由.4准紧，

14、凡存在了列|凡收敛，w存在 ，有lirna=>0.显然 少0 e人而卜介在收敛于1的r列，即】紧.26. 证明:如果尸，g是距离空中的紧集,则存在x0/- p(乓,6)=水，y<j，其中p(f_,)= inf p(x.y).并证明:若咐，/；) = 0,则巧门/>0. 【址】山卜确界的定义.必存在.veff ynef.r使 p(/-,f)=lirnp(,j.w为尸，尽为y中的紧柒，必存在子序列h使 wb y,-ef2, m 山p(x.y)的连续性，叩得p(.) = p(v0,y(,).若戶(ai，o0，即存在 vo，toe > 有 /7(xo-.vq) = ()，即 x

15、o = >0，则 xoeclf,巧门尽 *0.27. 如果尸，6足跑离空问a中的子菜，其中一个足闭集另一个足紧果. 证明：如果p(f；，6) = 0，i則厂r#0.【证】ti p(?；,e) = 0 ,即存 a 点列xj g b , yef2 , fi* =0 .由6是紧集，mij > fr在收敛子列y,没limy. = y0, yqf2- ihj，)o)p(，凡)+ p(j、，)-> 0.uplimx =y0.又 f 是闭染，故 y0 e f，所以 flf, # 0.34. 设r为完备距离空问x刊自身的映射，如果p(rx,ry % = inf sup?< 1，-.，小

16、，y) 则7*存在唯的不疏【证】由a。定义知，存在/7。，_ p(x.y)记上确界为汐,则对任怠h ptxja-yop(x.y).則厂"力一縮映射.乂空问欠完备.山定狎6.2知7存在唯一小动点.35. ftx足以p为北呙的紧空问，t h x mj它自身的映射，若对仃:何 x. v e x. i!5 a # > ih,有ptx,ty)<px.y)t則r有咐一的不动点.【证】唯一性易证.下证存在性.定义(x) = p(x,7x)則诊是y上的迮续凼数，ititx紧，炉在x /|4小值，isx0gx是足小点，即 (xg) = minp(.r,7：v),若.y0*7v0，则炉(7x

17、>) = p(h，广'0)<p().h)u)，小(ft矛盾，故.v。=tx#t 的不动 a.第七章巴拿赫空间与希尔伯特空间5、设尸为一切杳界数列组成的集,残性运兑与厂的相同，在厂屮定义范数如下， ljl = sup| ifiljv|=er.证明r按照i |足不可分的巴穿鈐空m.证 打w验2|.|满足范覆，我们证明/'.各性.口 :人足厂屮基木列.儿屮 夂，以”1，广1，则任给人 < ()存h，關n吋，有个ude#木数叽id<=iimfl对甸个i有1jn样-r1卜，同定/!，令 w->cofy- <|<右0 = 1,2,-),且id 作r

18、-f.l+d从而可w.r = k:，. ek ji xh -x | -»0(w -> »).下ffi证明r 足不可分的.ca- = |=0cklrmllla：不可fi,且vx,yeat,x* v ll，j，|.r-.v| = l. iw分，则存a%yj在广屮猶.以欠屮劾屮心.去为伸 f1 jt球.这种丌珅所州成的类+可&.*73 = -则扭个球屮yk屮的a*.!，从个夂冋0个f冋的开球，小妨设mlw于s(x,|),5(yj). 'x.yek,xyt 則1=i lx - >ll h - h ii+ii .、 -少 ii 名 f trfi.故广不nr

19、分.6. 没<?为一切收敛数列组成的笫,线性运j?与f屮相冋，在h'定义范数于下:l-rll=supl !l屮.r = g，各，么，卜c. iif明c按照|. |是n!分的巴 【证】 完&性：®xj ac屮任一s本列.其屮，=<，则任给f>0存在v，当w，n>iv时，h|f_ok-ll<su=i 二)，故iim4广存fc.记为彖0 = 1.2.>，因为o |< -c|+1<7 -ci+f.由此立即叫知lim在.tt.r = gc.在弟一个小等式屮今m->oo?j rr->«k ,卜 0 = 1.2,

20、-.).所以|.、-小0.可分性：id e =w，r，." w为仃一自然数，/;.r均为数，则£vcc,且可致.下曲证明eotcc«|'ffi任取x =；r；c. bijlimf存在，故对讧给 ' #費-t)的占>0存在n及ft进致r，使為i>n时，ft|-扣对im必存在有理数，;人，.使< -r<i： (z = l,2,-令.v = k,q，/，r，r，"j，则 ye£；,且p(x,y)<£.由s的(tjs性，e,在c屮网密，故c可分.7. 设r为一w收敛于零的数列珩成的®，线

21、性运在c/p定义范数于下 hl=sup|. «屮又=化名，证明么技照|.|e可分的巴辛赫空问.【iif】 木题方法m第 6 拽，对十4分u宙取 ec =,/;.0.().) "e，v,，'.ey ，然dil明 在c0中柏來11-没厂玷跋范线tl空w. keexeek.证叨：77在尺屮儿岽少使ftjl-v -y = disf(x,k).【e】 由dist(x.k)定义，存在at屮点列满足lim|x-yw| = /5r(r,/f).而久是紧钜，即kj存在收敛f列yfli jetlim =vek则-y =!?卜凡.卜圳(at).ci13. see：巴辛林宁m.点= w&l

22、t;qu,杜屮似><)£常数.ul-明:存在xee,使得x = £r(,ilh<af.由丁=木列，而 £*浴，r'j#/l：ae£.髓16-没：，/，久，足系列w范戌性空叫.令fs小润圮下述4、荠a的元索 叉=又”心,".又，.椒“”)的个体：silp|kll<od-i 孓 jvw令|x|=sup|xj|.证明在£足走义的线性运似7, £桉照|.|足it財-.'、:id.如jr liw<®所而人都121*韋«宁问，则£也记巴坌林窄)ef. <x

23、足数，定义【：1】x = (xl.x2 x- l y = (yny2c vx +> = (+y2>x2+y2>- .xm+yrp - ),fzx = <ax,，a.v”" a.v.*)，易证尺按此运j?封即性空f"j.易证|，|定范数.卜tt:明乙均无备，则e jiffr.设? =«(.<，.> jje+菡木列，腑拘个” (|<-<|卜|，-1/|卜0 '，；-> 00于是对w定中的基木列，即存在x. e lklimx：=xn .令x = (rnj2,-x,-).卜对仃 £c>0.行在/

24、v.时，利坷个|«沖卜在 |<-<|<£ 屮令/->»,有 |xi-xfl|<£.同时sup > | < sup (|x: |+- x，|) < slip |.< 卜 < l<n<«l<«l<rv«c可知xe£.此外还有此即? -x ->0.0 ->«>).完格性得证.17.设f 范线性空m. i足闭t空问，证明£迕£屮k«l. 【证】 反证法.假设/、小在尺屮桃疏，即存在尸

25、的开梁c, gcz = l. tt5(a0,r)5cr 屮-个ji球，则s(.r0,r)c£,从而s(0,r) = s(xo,r)-aoc£.此外.由充/esz引理，存在ye. |y0| = i使符3tj任&xel -r0 s(0,r)g £ r 矛pi.j.t 也遍 ir1, aijy0l.而 j 少。=j20.证明内积zew屮.内枳与其引峙的范数ff如下s小关系:若足实数域iw,(八少)=士 0卜+y|: - h - )1:，cj) = dl+)f - h -)，+ /|jf+(y|：-/|.v- of).本拽"miui训|.r| =uy)代

26、入验证.从略.22. 空 m.对 w，若 h+ ).，= m:+|-if 则.t 丄 y. 内积iw.这个纳论足杏仍成立？如果不成立，utteiek成立的免分必®条件.【w 】 在文内识郊"i屮.？?|x + .v|=|4+|.vf w (x + y.x + y) = (x,x) + ( y，y) 则(x. x) + (x, y) + (y, x) + (> y) = (x, x) + (y),从 ifu h (a,j) = 0，即 j 丄少.狞是fepj积空闯纺论4、成/.此时汉ftke<r，少> = ()如在c4kx=l + f,夕= 1-/. lk”

27、lf=iwf+11少f<ii(a) = (1 + /xi + /)o.力will lm(x，>> = 0也成、，.可以验ifk”f=l<+w2, wiw+im1fivalwhil屮.(x，>0 = 0的-个允分必要条件.23. 设u &-个内积空m. x.ycu .则x丄_>，的充分必fi篆fl边利讧何致lk+a*m.【证】必性利川斜边人十茛角边显然.卜址充分性.?7|x + «3/|2>|x|2. ri y*u,则取tr= (a. ) 可fifl，l'= 5（x，y） + a（j/，x） + |a|:|jf =如，0，1、0

28、故必 fi （x.y） = 0.从|ftu 丄 y .24. 设（/足内枳空叫，x.yeu ,则x丄y的充分必要条件足吋任何数att |.v + tfp| = |x-«|.【证】 必耍性显然.下证充分性.|.r + a.v| = |x - ay |. ,:ij（x + ayf x+ay） = （x-ay, x - ay）分别fuz = l,a = /r叫得（x,y）的实部虚郃均为0,即（x，y） = 0.25设1/是希wa待空问，.w是（/的了宏，证明y足包介a/的范小闭t5m. 【证】（1）正交补均为闭了5间，从而（m丄）j是闭了空间_（2）vxe a/.则 x 丄 a/1，从而

29、v.ve 4/1,-fj（x,） = 0.故.refw1）* 即.wc（.w 丄）（3）iil.v u fellv m闭了 £问.v-a.v1） （a/1）下证a*z（.vx）.对rkaaep1）1，根卜?i分对a作在w 了个m的i卜:女 分解:x = .v+z，ye nc（n zen 从而汝z = 0，这样x = yen, up/vj.v1）.闵此v=）（v-） z（4/x）'.注：hilbert空叫屮的闭了空问的止交补的正交仆即为k木身.26.的了屮问.& 丄l = lil1 （bu/jl的ft栳和）.uijw l au的w rfuj的充e条件足均为u 酬 f宁问

30、.【证】 必®性：设乙为闭了宁m.-00）.则xel.u对一切yea2 ft所以 x e a/ , a =© a, 14 re a 由 a,丄 m.wjea,.人，力w f 中m.hj狎可iieltii闭f宁问.fc分件：&l.l均为闭了空(hj. bul.lc£8vxez,在 a 列乙，sj. xw->x(zr->x), rij(?w,| 为 £ 屮的* 木列.令 xffl> =,其屮 x；w> e li9x e l2.利川fl和的叫证卜|x2<-)j 5/别为£.，屮的琢本列.山于£ra.j5

31、jft.从 而 a,4> ->,v)el'，£,(«->x)令x" = x( + aj因为|/、- x'll = |x；fl，一 j, | + |xf-x,|->0 (” -> cd)根祀w限的啡一性n|知，x=xr = +x3e/.即乙&wf空问.28-证明内积空间屮的讧何规范正交系都足线性无又的.【证】设e,，e2.人玷規范正交系|-<jh4个元今et + k.ez + + 人餺 < =0，_«，心$">厂?式网i川:内松，得匆=().故c”.人浅朴h 从而此h . w

32、k性无又的.29.证明可分尔ftl特个叫屮的规范ie交系jri名tt可列的.【证】 由于a可分的内积空间.从而存江规范正交系即a以,a 二 p、且当<z*/nij. ptf-| = 2. i«r分，设kp£t；的"i数调密了集.则1>(4)h-i _若可数.则全少ft两个+冋元柰么,于某-个丌球 于ft w = |ea-|< |ea -x| +1|' -ej|< 1，抓故全多可数.30.平例说明a积仝m屮充全规范i交系不定足亢ft的.【栌】&1: 4'.记4=0,0,0，1，0. （1 在第zrft）,令由里斯一if

33、rvk < riesz - fischer )定迎知，f'el:. pflr = jpan(fuzh 払照广 的线件运»及内ftb u为内诂然fru屮的规fcif交系.ii f在u屮£完个的.4j 实上，如果xel/.x丄厂，则hukc/定义.存aaa( = 1.2.-,m)ltr = «iz + e«a-取/n>n，得jij0 = (x,e(b) = (aj + v+ x* 因此 k 7 k m*2同样，对于2w. fj 0 = (.v,esr) = a(r). x = 0 .即厂在i/屮宂全.(eft1川1、|+益卜2 *而 z(

34、/>jl:=z 去. *-2 *r'j £|(zj|2*|z|2» 即在点/ 不满足 parseval 等式，itwflu屮个>2完济的规范政系.第八章巴拿赫空间上的有界线性算子1.没a(.)足定义迮«4上的蚋数.令(7x0 =(x e ca,hj)9rjr足山c|a,6|到th2的界线性j?了的充要茶n|j£.证必躲性 t:ca%h-cb,且(7x)(,) = a(f)x(l) (x g cuj).?v令x(0 = l.则i4得ae(ua|充分性 ®a(/)qa，/>l.則山(7x)(f) = a(/)x<r)

35、 (xe(扣>|)，可搿r 玷山 t»|刊jc£i旮的妓件订r.同吋，很w卜1114|7x| = mux |<z(o.v(/) max a(/)| max x(/)| = max11 11 le【川11 m<.*1v z,max a|(vxg).令j</) = 1.则|r|>max|a(r)| x x3.设无5j阵(久x/j = u,3,)sup£|z/,|<oo.在f i定义线性算f:其屮，么，么.)，.)!，.则tiimr r屮的娜t性»子, 口. 11=卿办4【证】7记线性錄aw然.乂|7x =|/| = sup

36、hl = supa sup|aiy|-|x|. 1丨广|9 厂1所以 m|sup£|w方凼，令 1 %>0x =sgna”sgnar2，.sgna;p卜 h»|*sgnay =so ay =0 -1 a，0则？"er, |戶|<1(/ = 1，2.v), kiiocpcrv° =ea)/ssna«*ea2/sgnav*- z=lz=l|7.|卜叫= sup 7>| = sup 1 *«r:* /-i(/ = 1，2,3,llrhsupzkl«1 /-«y、而m 卜 supj|a.1 h5.在 /

37、上定义 uf:<21y=tx'm=k中x=ft，备，么, ，=,而,."，mr是為界钱性算了.目l71 =s|,rk .irkl【证】ti-l屮的线性锌了显然.w为im =玄 wsup|a,|.|a|，所以|t|卜supkl*松垂w方面，令 a = 0,0.，lx)，".)e/，|e.| = l ，则|中料七|，(v/f g v) ''11' i所以 |7 | > sup|aj .从而 |r| = sup|“，. nilh2i7.没/?，e,，e2都是赋范线性空问，t；teb(e、e、，s；seb(e，e') 若7；),5j 分別按一致订了柘扑收敛于r,s,则p,7j按一致?7了扣扑收敛于灯.【w】7；7；?5j分别致了仏仆收arr,5.即 |7；-7-|->ot |.vw-.v|->(),(f7->x)从而|sj>srh|v;-sjms7-5r|球 iiikkumi ->0 (n ->qo)此外也可得到7；+按一sff子拓扑收敛r+s.8.设£,£；挪sk范线性空间，7；,75(&