证券组合前沿的数值计算1

1、数学规划综合性设计性实验二证券组合的有效前沿的数值计算实验目的：1、了解马柯维茨均值-方差模型的方法；2、掌握运用Excel或其他数学软件、根据多种股票的历史数据估计股票的期望收益率和协方差矩阵的方法；3、掌握用Lingo软件求解二次规划的方法；4、掌握用Lingo软件数值计算投资组合有效前沿的方法；5、用Lingo软件通过数值计算，比较是允许卖空和不允许卖空条件对投资组合有效前沿的影响。实验问题：附录中给出了五种股票在2002年3月1日至2007年2月1日期间，在20个交易日内的收益率历史数据。请利用这些数据，用取定组合的不同期望收益率水平然后求解背景材料中的规划或的方法，计算下列条件下时期

2、长度为20天的马柯维茨的均值-方差单期模型的有效前沿面：1、 允许卖空；2、 不允许卖空；3、 有限允许卖空（1） 限度是不超过10；（2） 限度是不超过15；（3） 限度是不超过20；并比较你所得到的结果，看看能否得出进一步的结论，并给出相应的解释。实验步骤：第一步，利用Excel或其他数学软件，估计五种股票的期望收益率和协方差矩阵；第二步，建立均值-方差模型；第三步，利用Lingo软件计算不同期望收益率水平下的最优组合权向量；第四步，在标准差-均值平面内作出所得到的有效前沿面上的点；第五步，结果的进一步分析。背景材料一、投资组合简介人们投资与金融资产 金融资产包括政府和企业债券、股票、期权

3、等。具体的解释请自行查阅相关金融资料。的目的是为了获得更大的未来收益。但是，由于经济系统中存在大量的不确定影响因素，供选择的金融资产的未来收益是不确定的，收益率的高低取决于各种条件的具体实现，这样，收益和不确定性（理论上称这种不确定性为风险）紧密相关的。为了减少不利情况出现时的损失，人们在追求收益最大化的同时，也要追求所面临风险的最小化。在长期的投资实践中，人们发现：投资越分散，总的投资风险会越小。对于金融资产投资亦如此，投资者手中持有的不同风险的金融资产越多，他所面临的风险就越低。一个合理的投资策略是把总投资额按照一定的比例分散投资到若干备选金融资产上去，我们称这样的一个投资方案为一个投资组

4、合。怎样选择投资组合，使之具有最大的未来收益率最大和最小的风险就形成了所谓的投资组合问题。但是，稍加思考我们就会发现遇到了新的问题：既然投资组合的未来收益具有不确定性，那么，应该怎样度量一个投资组合的未来收益和风险呢？对于投资组合的未来收益，金融界一致同意用投资组合的期望收益来度量，而投资组合的风险的度量问题一直是金融学领域的一个研究热点。尽管学者们已经提出大量的风险度量方法，但是，至今没有找到一个完美的，或者说是一致接受的风险度量方法。马柯维茨（Markowitz）于1952开创性地提出了解决投资组合问题的第一个模型，这个模型被称为均值-方差模型，这个模型奠定了现代金融学的基础。二、市场不包

5、含无风险马柯维茨均值-方差模型简介（一）基本假设：1、 考虑一个单期投资决策问题，即在时刻0作出投资决策，在时刻1得到投资收益；2、 市场中有种收益率（随机变量）分别为的风险资产（），它们的期望收益和协方差矩阵为这里，。记 （1）3、 ，是正定矩阵。4、 影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险，且投资风险用投资收益率的方差或标准方差表示5、 投资者都遵守占优原则：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益水平下，选择风险较低的证券。6、 资产交易无摩擦，即无交易费用、无税收、无买卖价差，资产可以任意分割；市场中有充分多的投资者，且每位投资者的投资行为对市场价格无影响，即投资者都是价格的

6、接受者；7、 不允许卖空，即投资者只能卖出他拥有的资产。注意：假设7的替代形式是：允许卖空，即投资者可以在时刻0卖出他没有的某种或多种资产，然后在时刻1从市场上买入相同数量的同总资产冲平他在时刻0卖出的资产。（二）模型与主要结论用表示投资者投资在资产上的份额，例如表示投资者把总投资的10的份额投资在资产上。这样，我们就可以用一个权重向量表示一种投资组合。易见，权向量为的组合的随机收益率为（2）根据概率论的相关知识不难得组合的期望收益率和方差分别为（3）（4）根据假设6，我们引入如下定义：定义1 称一个证券组合是有效前沿组合，如果在期望收益率等于组合的期望收益率的所有组合中，的方差最小。有效前沿

7、组合全体构成的集合成为有效前沿，记为。不难证明如下结论定理1 组合是一个有效前沿组合的充分必要条件是：存在，使得组合的权向量是下列二次规划问题的解：（1）不允许卖空时（注：这里，）（2）允许卖空时定理2 如果市场是允许卖空的，则对任意一个有效组合（其权向量为），均有（5）其中，和分别由（3）和（4）式给出，如图1所示，这是在标准差-均值平面上的一条双曲线的右边一枝的上半部分，我们称之为有效前沿面。这条双曲线其渐进线方程为图1 平面上的有效组合前沿面可行组合有效组合前沿注：对于不允许卖空的市场，有效前沿的相应结果要复杂一些，这里就不给出相应的结论。 让期望收益水平取一个值，求解相应的规划，就可以

8、得到允许卖空条件下有效前沿面上的一个点，当期望收益水平取一序列不同的点时，分别求解相应的规划，就可以得到允许卖空条件下有效前沿面上的一序列点。用这种方法，我们就可以勾画出有效前沿面。对于不允许卖空的市场，用类似的方法也可以大致地勾画出有效前沿面的轮廓。值得注意的是，上面介绍的卖空是无限制的，在实际操作和管理中还会遇到允许有限卖空和允许部分卖空的情形，例如，允许无限制卖空第一种资产、第二种资产的卖空限度为不超过总投资额的20，其余资产不允许卖空。对于这种情况，我们只需要修改模型的最后一个约束条件，即把修改为：附录: 五种资产20个交易日的收益率历史数据DateIBMMSFTAAPLDGXBACD

9、ateIBMMSFTAAPLDGXBAC2/1/2007-0.152%-0.972%-1.155%1.105%0.494%8/2/2004-2.532%-3.908%6.679%4.290%5.821%1/3/20072.055%3.349%1.049%-0.794%-1.517%7/1/2004-1.227%-0.241%-0.615%-3.216%0.472%12/1/20065.696%1.703%-7.441%-0.320%-0.854%6/1/2004-0.488%8.884%15.966%-1.396%2.776%11/1/2006-0.120%2.621%13.049%6.910

10、%1.013%5/3/20040.679%0.395%8.844%2.151%3.285%10/2/200612.673%4.952%5.326%-18.543%0.547%4/1/2004-4.001%4.788%-4.660%2.022%-0.609%9/1/20061.193%6.443%13.456%-4.856%4.083%3/1/2004-4.825%-6.015%13.043%-0.049%-0.166%8/1/20065.025%7.200%-0.162%6.928%0.971%1/2/20047.062%1.049%5.519%16.517%1.294%7/3/20060.7

11、63%3.241%18.666%0.486%7.135%12/1/20032.364%6.429%2.297%0.196%7.730%6/1/2006-3.856%2.890%-4.183%7.502%-0.633%11/3/20031.378%-1.625%-8.654%7.867%-0.393%5/1/2006-2.611%-5.860%-15.087%0.018%-2.026%10/1/20031.302%-5.440%10.425%11.542%-2.959%4/3/2006-0.160%-11.223%12.229%8.855%9.608%9/2/20037.705%4.787%-8

12、.400%1.057%-0.525%3/1/20062.780%1.242%-8.425%-2.972%0.410%8/1/20031.137%0.437%7.306%0.411%-4.028%2/1/2006-1.050%-4.216%-9.297%6.948%3.680%7/1/2003-1.522%3.017%10.598%-6.320%4.502%1/3/2006-1.101%7.642%5.035%-3.802%-4.160%6/2/2003-6.284%4.174%6.125%0.678%7.410%12/1/2005-7.535%-5.533%6.001%2.780%0.568%

13、5/1/20033.882%-3.747%26.301%6.064%0.189%11/1/20058.835%8.036%17.764%7.237%6.027%4/1/20038.246%5.627%0.566%0.103%10.805%10/3/20052.070%-0.119%7.424%-7.420%3.908%3/3/20030.614%2.143%-5.859%13.111%-2.548%9/1/2005-0.493%-6.020%14.331%1.112%-2.157%2/3/2003-0.120%0.195%4.596%-1.903%-1.175%8/1/2005-3.170%7

14、.211%9.941%-2.638%-0.147%1/2/20030.901%-8.199%0.279%-5.468%0.710%7/1/200512.471%3.122%15.865%-3.459%-4.421%12/2/2002-10.835%-10.397%-7.613%1.981%0.203%6/1/2005-1.785%-3.718%-7.420%1.466%-0.558%11/1/200210.313%7.882%-3.487%-12.600%0.374%5/2/2005-0.818%2.307%10.261%-0.766%2.847%10/1/200235.368%22.234%

15、10.759%3.759%9.412%4/1/2005-16.418%4.659%-13.463%0.810%2.126%9/3/2002-22.639%-10.854%-1.762%9.748%-8.134%3/1/2005-1.294%-3.946%-7.111%5.776%-4.548%8/1/20027.311%2.268%-3.277%-7.184%5.366%2/1/2005-0.714%-3.947%16.671%4.300%0.586%7/1/2002-2.223%-12.278%-13.883%-29.805%-5.480%1/3/2005-5.235%-1.653%19.410%-0.106%-1.319%6/3/2002-10.506%7.461%-23.948%-1.569%-6.433%12/1/20044.605%-0.345%-3.967%1.929%2.564%5/1/2002-3.754%-2.571%-4.036%-4.878%4.597%11/1/2