第25讲 辅助圆

1、第二十五讲 辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1利用圆的定义添补辅助圆；2作三角形的外接圆；3运用四点共圆的判定方法：(1若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆(2同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆(3若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆 (4若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA

2、83;PBPC·PD，则它的四个顶点共圆【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 (全国初中数学联赛题思路点拨 连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明PDFPFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键注：圆具有丰富的性质：(1圆的对称性；(2等圆或同圆中不同名称量的转化； (3与圆相关的角；(4圆中比例线段适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆” 【例2】 如图，若

3、PA=PB，APB=2ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( A6 B7 C12 D16(“TI”杯全国初中数学竞赛题思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法【例3】 如图，在ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆 思路点拨 先作出ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等【例4】 如图，P是O外一点，PA切O于A，PBC是O的割线，ADPO于D求证：思路点拨 因

4、所证比例线段不是对应边，故不能通过判定PBD与PCD相似证明PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务【例5】如图，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135°，G为ABC内的一点，且GB=GC，BGC3A，连结HG，求证：HG平分BHF思路点拨 经计算可得A=45°，ABE，BFH皆为等腰

5、直角三角形，只需证GHB=GHF=22.5° 由BGC=3A=135°=GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解学力训练1如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为 (北京市竞赛题2如图，在ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点Pl、P2，P100，记（i=1，2，100），则= 3设ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、B、C、D、

6、E、F、H中某四点可以确定的圆共有( A3个 B4个 C5个 D6个 (2000年太原市竞赛题4如图，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，则ACB是BAC的( A倍 B是倍 C D 5如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件的BPC=90°的点P的个数为( A0 B1 C2 1 D不小于3的整数(全国初中数学联赛题6如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，SABC= 18，SDEC=2，则COSC等于( A3 B C D7如图；已知H是ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是DEF的内心8如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TDAB，TEAC求证：(1AHD=AHE；(2 (陕西省竞赛题9如图，已知在凸四边形ABCDE中，BAE=3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=求证：BAC=CAD=DAK，(全国初中数学联赛题10如图，P是O外一点，PA和PB是O的切线，A，B为切点，P O