第17章 应力状态与强度理论

1、第17章 应力状态与强度理论§17.1 应力状态的概念1.研究一点处应力状态的目的前面各章对杆件的强度分析，主要是研究杆件横截面上的应力分布规律，找出横截面上正应力或切应力最大的点进行强度计算。但杆件的强度破坏也不总是发生在横截面上，也有发生在斜截面上的。如铸铁圆试件的压缩和扭转破坏都是发生在沿轴线约的斜截面上。在第13章中曾经指出，通过受力构件内一点处所取截面的方位不同，截面上应力的大小和方向也是不同的。在实际问题中，构件的受力是很复杂的。例如图17-1所示的承受弯曲和扭转的圆轴，在其横截面上的1、2两点将同时产生最大弯曲正应力和最大扭转切应力。由于在危险点同时存在着这两种应力，显

2、然，我们不能简单地按弯曲正应力建立强度条件，也不能简单地按扭转切应力建立强度条件，而必须考虑这两种应力对材料强度的 综合影响。这就要求我们全面分析危险点 图17-1 组合变形实例处各截面的应力情况。一般来说，通过受力构件内任意一点的各个截面在该点处的应力是不相同的，是随截面的方位而改变的。受力构件内某一点处的各个不同方位截面上的应力情况称为该点的应力状态。研究危险点处应力状态的目的就在于确定在哪个截面上该点处有最大正应力，在哪个截面上该点处有最大切应力，以及它们的数值，为处于复杂受力状态下杆件的强度计算提供依据。 2.研究一点处应力状态的方法 为了研究构件内某点的应力状态，可以在该点截取一个微

3、小的正六面体，当正六面体的边长趋于无穷小时，称为单元体。因为单元体的边长是极其微小的，所以可以认为单元体各个面上的应力是均匀分布的，相对平行面上的应力大小和性质都是相同的。单元体六个面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。如果单元体各面上的应力情况是已知的，则这个单元体称为原始单元体。根据原始单元体各面上的应力，应用截面法即可求出通过该点的任意斜截面上的应力，从而可知道该点的应力状态。下面举例分析受力构件内某一点的应力状态。以直杆拉伸为例，如图17-2所示。为了 图17-2 拉伸杆的应力状态 图17-3 圆轴扭转应力状态分析杆件内任一点的应力状态，假想围绕该点沿杆的横向和纵向截取一单

4、元体，并将其放大，如图17-2所示。单元体的左右两面都是横截面的一部分，面上的应力皆为。单元体的其余四个面都平行于杆件轴线，所以这些面上都没有应力。又如圆轴扭转时，如图17-3所示，欲分析圆轴表面上点的应力状态，围绕着该点的轴向、径向和横向截取一单元体，单元体的左右两面都是横截面的一部分，面上的应力皆为，根据切应力互等定理可知在单元体的上下面上有切应力存在。同样的分析方法可以得到横力弯曲时梁上下边缘处和点的单元体（图17-4）和同时产生弯曲和扭转变形的圆轴上点的单元体（图17-5）。 图17-4 弯曲变形应力状态 图17-5 弯扭组合变形应力状态3.应力状态的分类 从受力构件中某一点处截取任意

5、的单元体，一般来说，其面上既有正应力也有切应力。但是弹性力学的理论证明，在该点处从不同方位截取的诸单元体中，总有一个特殊的单元体，在它相互垂直的三个面上只有正应力而无切应力。像这种切应力为零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，用、表示，并按代数值排列，即。这种在各个面上只有主应力的单元体称为主单元体。按照不等于零的主应力数目将一点处的应力状态分为三类： （1）单向应力状态。只有一个主应力不等于零的应力状态称为单向应力状态。例如轴向拉伸和压缩时杆件上各点的应力状态就属于单向应力状态。 （2）二向应力状态。有两个主应力不等于零的应力状态称为二向应力状态。这是工程实际中最常见的一种应力状态。

6、本章例17-3、17-5等都是二向应力状态。 （3）三向应力状态。三个主应力都不等于零的应力状态称为三向应力状态。 单向应力状态又称简单应力状态，而二向和三向应力状态则称为复杂应力状态，本章只着重二向应力状态的分析，仅简略介绍三向应力状态的某些概念。§17.2 二向应力状态下的应力分析解析法、图解法 应力状态分析的目的是要找出受力构件上某点处的主单元体，求出相应的三个主应力的大小、确定主平面的方位，为组合变形情况下构件的强度计算建立理论基础。应力状态分析的方法有解析法和图解法两种。1.解析法图17-6表示从受力构件中某点处取出的原始单元体，其上作用着已知的应力、和，并设>。其中

7、和是外法线平行于轴的截面（称为截面）上的正应力和切应力；而和是外法线平行于轴的截面（称为截面）上的正应力和 图17-6 二向应力状态分析（a）二向应力状态 （b）二向应力状态用平面图形来表示（c）截面法 （d）截面法所取的研究对象切应力。由于此单元体前后面上没有应力，所以可以用17-7图的平面图形来表示。现在用截面法来确定单元体的斜截面上的应力。斜截面的外法线与轴间的夹角用表示，以后简称此截面为截面，如图19-7所示。在截面上的正应力与切应力分别用与表示。 假想沿截面将单元体分成两部分，并取其左边部分为研究对象，如图19-7所示。通过平衡关系可以求出截面的正应力和切应力： (17-1) (17

8、-2)利用式(17-1)和(17-2)进行计算时，应注意符号规定：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力则以对单元体内任意一点之距为顺时针转向者为正，反之为负。角则规定从轴沿逆时针转到截面外法线时，为正，反之为负。在计算时应注意按规定的正负号将、和的代数值代入上面两公式。 由这两个公式可以看出，斜截面上的正应力和切应力是随截面的方位而改变的。因此，在谈到应力时，应该指明是哪一点处，在何方位截面上的应力。 2.图解法（应力圆法） 式（17-1）和（17-2）表明斜截面上正应力和切应力都是的函数，若消去参变量，便可得到和的关系式。为此，将式(17-1)改写，并分别将其等号两边平方，得 (1)将式(

9、17-2)也两边平方，得 (2)将式(1)与式(2)相加，得 (3)可以看出，上式是以和为变量的圆的方程。若以横坐标表示，纵坐标表示，则上式所表示的和之间的关系，是以为圆心，以为半径的一个圆。此圆称为应力圆或莫尔圆。上述推导过程表明，圆周上一点的坐标就代表单元体的某一截面的应力情况。因此，应力圆上的点与单元体的斜截面有着一一对应的关系，应力圆表达了一点处的应力状态。 显然，可用应力圆来寻求单元体斜截面上的应力。这种方法就是图解法。 下面以图17-6所示的单元体为例，说明图解法的步骤和方法。（1）画应力圆。 取直角坐标系。选定适当的比例尺，找到与截面对应的点位于，与截面对应的点位于。在确定点和点

10、时，应根据、和的代数值在坐标系中量取。连接点和点，交横轴于点，以点为圆心，以或为半径，即可作出该单元体的应力圆，如图17-7所示。 图17-7 用图解法求任意斜截面上的应力（2）求截面上的应力和。将半径沿方位角的转向旋转2至处，所得点的纵、横坐标、即分别代表截面的切应力与正应力，兹证明如下。 设将用表示，则 同理可证在用应力圆分析应力时，应注意：单元体上两个截面间的夹角若为，则在应力圆上相应两点间的圆弧所对的圆心角为，而且两者转向相同。例17-1 已知应力状态如图17-8所示，试用解析法和图解法求截面上的正应力与切应力。图17-8 二向应力状态分析（a）应力状态 （b）应力圆解：解析法 由图可

11、知，与截面的应力分别为而截面的方位角则为将上述数据分别代入式、，于是 图解法 首先，建立坐标系，按选定的比例尺，由坐标 与分别确定点和点，然后把点和点连接起来，与横轴交于点，以点为圆心，为半径，即得相应的应力圆。为了确定斜截面上的应力，将半径沿顺时针方向旋转至处，所得点即为截面的对应点。按选定的比例尺，量得（压应力），由此得截面的正应力与切应力分别为3.主应力与主平面 任意一个二向应力状态单元体都可画出其相应的应力圆，如图17-9所示。因为应力圆的圆心在轴上，所以应力圆与轴必有两个交点和，、两点的横坐标为应力圆上各点的横坐标的极值，而其纵坐标皆为零，即在单元体内与此两点对应的平面上正应力为极值

12、，而切应力为零。 因此与两点所对应的两个平面为两个主平面，其上的极值正应力分别为两个主应力。其值为 图17-9 二向应力状态分析（a）应力圆 （b）主单元体 （17-3）上式就是计算单元体主应力的公式。求得与后，与已知的第三个主平面上的主应力比较，就不难排列出单元体的三个主应力的顺序了。对于本例，已知的第三个主平面为与纸面平行的平面，其上主应力，因此三个主应力的排列顺序依次为主平面的方位也可从应力圆上确定。如前所述，应力圆上的点对应着垂直于轴的平面，点对应着主应力所在的平面，而，为上述两平面的法线间的夹角，即轴与间的夹角。由于在应力圆上从点转到点的转角是顺时针方向，按照对角的正负号规定，角应为

13、负值。据此，由应力圆可得 （17-4） 由于在应力圆上、两点的夹角为，因此这两点所对应的两个主平面是互相垂直的。现将本例的主单元体绘于图17-9中。 必须指出，满足式(17-4)的角度有两个，即和，它表明两个主应力是互相垂直的。至于这两个角度，哪一个与对应，哪一个与对应，利用应力圆极易判断。 4.极值切应力及其所在截面 从应力圆上，可直接得到最大切应力和最小切应力分别为 （17-5）其所在截面也相互垂直，并与主平面成。 例17-2 从构件中取出一单元体，各截面的应力如图17-10所示，试用解析法和图解法确定主应力的大小和方位，并画出主单元体。 解：解析法该单元体为二向应力状态，已知一个主应力为

14、零，另外两个主应力可由式求得图17-10 二向应力状态分析（a）主单元体 （b）应力圆 因此三个主应力为， ， 主平面的方位角可由式求得所以（逆时针）另一个主平面与之垂直，即 从原单元体轴顺时针转过，得所在主平面，再转得所在主平面，得到图所示的主单元体。 图解法在坐标系内，按选定的比例尺，由坐标与分别确定点和点，以为直径画圆即得相应的应力圆。应力圆与坐标轴相交于点和点，按选定的比例尺，量得，（压应力），所以， ， 从应力圆中量得，由于自半径至的转向为顺时针方向，因此，主应力的方位角为同样的方法可得到主单元体。例17-3 试用图解法分析圆轴扭转时塑性材料和脆性材料的破坏现象。解：圆轴扭转时，最大

15、切应力发生在圆轴的外表层，且。在圆轴表面K点取一单元体，如图17-11所示，其应力状态如图17-11所示，各面上只有切应力作用，称 图17-11 扭转破坏分析为纯剪切状态。 （a）圆轴表面上一点的应力状态 （b）主单元体在坐标系内，按选定的 （c）应力圆 （d）塑性材料扭转破坏面比例尺，由坐标与 （e）脆性材料扭转破坏面分别确定点和点，以为直径画圆即得相应的应力圆，如图17-11所示。由应力圆可得，主平面的方位角，由轴到主平面外法线按顺时针旋转，得到主单元体如图17-11所示。对于塑性材料（如低碳钢）制成的圆轴，由于塑性材料的抗剪强度低于抗拉强度，扭转时沿横截面破坏，如图17-11所示；对于脆

16、性材料（如铸铁）制成的圆轴，由于脆性材料的抗拉强度较低，扭转时沿与轴线方向破坏，如图17-11所示。§17.3 三向应力状态简介 广义胡克定律 1.三向应力状态简介三向应力状态的分析较为复杂，本节只研究三向应力状态下单元体内的最大正应力与最大切应力。假设从受力构件内某点处取出一个主单元体，其上主应力，如图17-12所示。首先研究与主应力平行的任意斜截面上的应力，如图17-12所示，由于主应力所在的两平面上的力互相平衡，所以此斜截面上的应力仅与和有关，因而平行于的各斜截面上的应力简化成只受和作用的二向应力状态，其各斜截面上的应力可由和所确定的应力圆上相应点的坐标来表示，如图17-12所

17、示。同理，平行于的平面上的应力，由和所确定的应力圆上相应点的坐标来表示。图17-12 三向应力状态分析（a）三向应力状态 （b）与主应力平行的任意斜截面上的应力（c）三向应力状态下的应力圆平行于的平面上的应力，由和所确定的应力圆上相应点的坐标来表示。对于与三个主应力均不平行的的任意斜截面上的应力，在直角坐标系中的对应点必定在三个应力圆所围成的阴影区域内。因此，在三向应力状态下，一点处的最大和最小正应力为， （17-6）最大切应力为 （17-7）位于与和均成的斜截面。 由上述分析可知，、均发生在与平行的截面内。式（17-6）和（17-7）同样适用于二向应力状态和单向应力状态。 2.广义胡克定律

18、图17-13是从受力物体中某点处取出的主单元体，设其上作用着已知的主应力、。该单元体在受力后，在各个方向的长度都要发生变化，沿三个主应力方向的线应变称为主应变，并分别用、表示。假如材料是各向同性的，且在线弹性范围内工作，同时变形是微小的，那么，可以用叠加法求得。 图17-13 三向应力状态之分解（a）三向应力状态下的主单元体 （b）作用下的单向应力状态（c）作用下的单向应力状态 （d）作用下的单向应力状态在单独作用下，单元体沿方向的线应变为。在与单独作用下，它们分别使单元体在的方向产生收缩。对于各向同性材料，与在方向引起的线应变分别为、。将它们叠加起来，即得三个主应力共同作用下在方向的主应变同

19、理可求得主应变和。现将结果汇集如下： （17-8） 上式表达了在复杂应力状态下主应变与主应力的关系，称为广义胡克定律。式中主应力为代数值，拉应力为正，压应力为负。若求出的主应变为正值则表示伸长，反之则表示缩短。该式同样也适用于二向应力状态和单向应力状态。在弹性范围内，切应力对与其垂直的线应变没有影响，所以当单元体的各个面上除正应力外还有切应力时，沿、和方向的线应变、和与、和的关系仍可由式（17-8）求得，此时只需将该式中的字符下标1、2、3分别用、和代替即可。§17.4 强度理论概述1.强度理论的概念 前几章中，轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲的强度条件，可用或形式表示，许用应力或是通过

20、实验测出失效（断裂或屈服）时的极限应力，再除以安全因数后得出的，可见基本变形的强度条件是以实验为基础的。 但在工程实际中，构件的受力情况是多种多样的，危险点通常处于复杂应力状态。材料的失效与三个主应力不同比例的组合有关，而由于受力情况的多样性，三个主应力不同比例的组合可能有无穷多组，从而需要进行无数次的试验。因此，要想直接通过材料试验的方法来建立复杂应力状态下的强度条件是不现实的。于是人们不得不从考察材料的破坏原因着手，研究在复杂应力状态下的强度条件。在长期的生产实践和大量的试验中发现在常温静载下，材料的破坏主要有塑性屈服和脆性断裂两种形式。塑性屈服是指材料由于出现屈服现象或发生显著塑性变形而

21、产生的破坏。例如低碳钢试件拉伸屈服时在与轴线约成的方向出现滑移线，这与最大切应力有关。脆性断裂是指不出现显著塑性变形的情况下突然断裂的破坏。例如灰铸铁拉伸时沿拉应力最大的横截面断裂，而无明显的塑性变形。 上述情况表明，在复杂应力状态下，尽管主应力的比值有无穷多种，但是材料的破坏却是有规律的，即某种类型的破坏都是同一因素引起的。据此，人们把在复杂应力状态下观察到的破坏现象同材料在单向应力状态的试验结果进行对比分析，将材料在单向应力状态达到危险状态的某一因素作为衡量材料在复杂应力状态达到危险状态的准则，先后提出了关于材料破坏原因的多种假说，这些假说就称为强度理论。根据不同的强度理论可以建立相应的强

22、度条件，从而为解决复杂应力状态下构件的强度计算问题提供了依据。 2.四种常用的强度理论 如上所述，材料的破坏主要有两种形式，因此相应地存在两类强度理论。一类是脆性断裂的强度理论，其中有最大拉应力理论和最大拉应变理论；另一类是塑性屈服的强度理论，主要是最大切应力理论和形状改变比能理论。（1）最大拉应力理论(第一强度理论) 。这一理论认为，最大拉应力是引起材料脆性断裂的主要原因。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大拉应力达到材料在单向拉伸断裂时的强度极限时，材料就发生脆性断裂破坏。因此材料发生脆性断裂破坏的条件为相应的强度条件为 （17-9）式中表示第一强度理论的相当应力，是单向

23、拉伸断裂时材料的许用应力，为安全因数。试验证明，这一理论对解释材料的断裂破坏比较满意。例如脆性材料在单向、二向和三向拉伸时所发生的断裂，塑性材料在三向拉伸应力状态下所发生的脆性断裂。但这个理论没有考虑到其他两个主应力对断裂破坏的影响；同时，对于压缩应力状态，由于根本不存在拉应力，这个理论就无法应用。 （2）最大拉应变理论（第二强度理论）。这个理论认为，最大拉应变是引起材料脆性断裂的主要原因。也就是说不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大伸长线应变达到材料单向拉伸断裂时线应变的极限值，材料即发生脆性断裂破坏。因此材料发生脆性断裂破坏的条件为 （1）对于铸铁等脆性材料，如果我们近似地认为，从

24、加载直至破坏，材料服从胡克定律，则有 由广义胡克定律可知 于是式可写成 相应的强度条件为 (17-10)式中表示第二强度理论的相当应力，是单向拉伸断裂时材料的许用应力，为安全因数。 试验表明，第二强度理论对于塑性材料并不适合；对于脆性材料，只有在二向拉伸（压缩）应力状态，且压应力的绝对值较大时，试验与理论结果才比较接近，但也并不完全符合。所以在目前的强度计算中很少应用第二强度理论。 （3）最大切应力理论(第三强度理论)。这一理论认为，最大切应力是引起材料塑性屈服破坏的主要原因。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大切应力达到单向拉伸屈服时的切应力值，材料即发生塑性屈服破坏。因此

25、材料塑性屈服破坏的条件为 在单向拉伸的情况下，当横截面上的拉应力达到屈服极限时，在与轴线成的斜截面上有；在复杂应力状态下的最大切应力为，于是破坏条件可改写为相应的强度条件为 （17-11）式中表示第三强度理论的相当应力，是单向拉伸屈服时材料的许用应力，为安全因数。 试验证明，第三强度理论不仅能说明塑性材料的屈服破坏，而且还能说明脆性材料在单向受压时的剪切破坏，并能解释在三向等值压应力状态下，无论应力增大到何种程度，材料都不会破坏，这是因为它的相当应力总等于零。但是这个理论没有考虑主应力对材料破坏的影响。对于三向等值拉伸应力状态，按照这个理论材料就不会发生破坏，这与事实不符合。所以第三强度理论仍

26、然是有缺陷的。（4）形状改变比能理论(第四强度理论) 物体受力发生弹性变形后，其各质点的相对位置及质点间的相互作用力也都要发生改变，因而在其内部将贮存能量，这种能量称为弹性变形能。变形能包括体积改变能与形状改变能，单位体积内的形状改变能称为形状改变比能。在三向应力状态下，形状改变比能的表达式为（推导从略）第四强度理论认为，形状改变比能是引起材料塑性屈服破坏的主要原因。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要危险点处内部积蓄的形状改变比能达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能值，材料即发生塑性屈服破坏。因此材料塑性屈服破坏的条件为材料在单向拉伸屈服时，因此形状改变比能为于是破坏条件改写为相应的强

27、度条件为 （17-12）式中表示第四强度理论的相当应力，是单向拉伸屈服时材料的许用应力，为安全因数。 试验表明，塑性材料在二向应力状态下，第四强度理论比第三强度理论更符合试验结果，因此在工程中得到广泛应用，例如对螺栓或丝杠的强度计算。3.强度理论的适用范围 材料的失效是一个极其复杂的问题，四种常用的强度理论都是在一定的历史条件下产生的，受到经济发展和科学技术水平的制约，都有一定的局限性。大量的工程实践和试验结果表明，上述四种强度理论的适用范围与材料的类别和应力状态等有关。一般原则如下：（1）脆性材料通常发生脆性断裂破坏，宜采用第一或第二强度理论。（2）塑性材料通常发生塑性屈服破坏，宜采用第三或

28、第四强度理论。（3）在三向拉伸应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料还是脆性材料都将发生脆性断裂破坏，宜采用第一强度理论。（4）在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料还是脆性材料都将发生塑性屈服破坏，宜采用第三或第四强度理论。 应用强度理论解决实际问题的步骤是：（1）分析计算危险点的应力； （2）确定主应力、； （3）根据危险点处的应力状态和构件材料的性质，选用适当的强度理论，应用相应的强度条件进行强度计算。例17-4 转轴边缘上某点处的应力状态如图17-14所示，试用第三和第四强度理论建立相应的强度条件。解：（1）确定该点的主应力由单元体所示的已知应力，利用式可得 图17-14 转轴上某点处的应力状态三个主应力分别为，（2）第三和第四强度理论的强度条件由式（17-11）和（17-12）可得所以强度条件分别为例17-5 按强度理论建立塑性材料许用切应力和许用拉应力之间的关系。解：（1）确定主应力在例17-3中指出，圆轴扭转时，圆轴表面上任一点均处于纯剪切状态，它的三个主应力分别为，（2）第三和第四强度理论的强度条件若用第三强度理论，则强度条件为即 再与纯剪切状态下的强度条件比较，可知若用第