第6讲级数理论

1、第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中称为数项（1）的通项数项级数（1）的前项之和，记为，称之为（1）的前项部分和，简称为部分和定义2 若级数（1）的部分和数列收敛于（即），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为若是发散数列，则称级数（1）发散二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：，有2 级数收敛的必要条件：若级数收敛，则3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性4 在收敛级数的项中任意加括号，

2、既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性7 线性运算性质若级数与都收敛，是常数，则收敛，且三 正项级数收敛性判别法1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界2 比较判别法设与是两个正项级数，若存在正整数，当时，都有，则（1）若收敛，则收敛；（2）若发散，则发散3 比较原则的极限形式设和是两个正项级数，且，则（1）当时，和具有相同的敛散性；（2）当时，若收敛，则收敛；（3）当时，若发散，则发散4 设和是两个正项级数，且，有

3、，则（1）若收敛，则收敛；（2）若发散，则发散5 比式判别法（达朗贝尔判别法）设是正项级数，若及常数，有（1）当时，则级数收敛；（2）当时，则发散6 比式判别法极限形式设为正项级数，且，则（1）当时，收敛；（2）当若时，发散；（3）当时失效当比式极限不存在时，我们有设为正项级数（1）若，则级数收敛；（2）若，则级数发散7 根式判别法（柯西判别法）设为正项级数，且存在某正整数及正常数，（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；（2）若对一切，成立不等式，则级数发散8 根式判别法极限形式设为正项级数，且，则（1）当时级数收敛；（2）当时级数发散9 柯西积分判别法设为上非负递减函数，那么正项级数与反常

4、积分同时收敛或同时发散10 拉贝判别法设为正项级数，且存在某正整数及常数，（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；（2）若对一切，成立不等式，则级数发散注 拉贝判别法中（1）可转化为，收敛；（2）可转化为，发散11 拉贝判别法极限形式若，则有（1）当时，收敛；（2）当时，发散四 一般项级数1 莱布尼兹判别法若交错级数，满足下列两个条件：（1）数列单减；（2），则收敛注 若交错级数满足莱布尼兹判别法，则其余项满足2 绝对收敛级数及其性质定义 对于级数，若收敛，则称绝对收敛；若收敛，而发散，则称是条件收敛的显然，若绝对收敛，则一定收敛，反之不真绝对收敛级数的性质：（1）重排性：若绝对收敛，其和为，

5、则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数此说明：绝对收敛级数满足交换律对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann）（2）级数的乘积若和都绝对收敛，其和分别为和，则其乘积按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为（柯西定理）乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法（1）狄利克雷判别法若数列单减收敛于零，的部分和数列有界，则级数收敛注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel判别法亦可由狄

6、利克雷判别法推证（2）阿贝尔判别法：若数列单调有界，收敛，则级数收敛五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数，收敛，发散；（2）级数，时收敛，发散；（3），时收敛，发散II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性（1），；（2），解（1），发散；时，发散；时，收敛，故收敛（2）当时收敛，当时，发散例2 已知收敛（1）判定的敛散性；（2）证明：收敛（武汉大学）解（1），与均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）（2）仿（1），由五（3）知其收敛例3 判断下列级数的敛散性（1）；（东北师大）（2）；（东北师大）（3）；（4），（）（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（

7、11）（）；（12）（）；（为大连理工）（13）；（14）（）；（15）；（16）；（17）（）；（18）（）；（19）（）；（20）；（21）；（22）（）；（23）；（24）；（25）；（大连理工1998）（26）；（中科院2002）（27）（北京大学1999）解（1）由于，其中c为欧拉常数，所以级数收敛（2）由于，由比较原则知其收敛（3） 收敛；（4）发散，收敛；（5）收敛，发散；（6）收敛；或，收敛；或，收敛；（此乃正项级数）（7）收敛；注：利用的Maclaurin展开式估计分子的阶（8） 收敛；（9）收敛；或 （）收敛；（10），而，从而上式极限为零，收敛；（11）当时，（）发散；

8、当时，当充分大时， 收敛或当时，（），即单减由柯西积分判别法知原级数收敛（12）单减，故可用柯西积分判别法，令，易知当时，发散，时亦发散，而时收敛（13）（）收敛；（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：，当绝对收敛，条件收敛，发散注 能否利用收敛？（此法仅用于正项级数）（15）由拉贝判别法知其收敛（16），则当较大时，收敛；（17）根式判别法失效先估计它的阶，（），从而可以估计，于是可讨论的极限，为此故，所以当时收敛，当时发散（18）当时级数显然收敛；当时，故收敛；当时，收敛；当时，收敛（19）， ，所以，由此易得：时收敛，时发散注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数（20），绝对收敛（21）

9、，（）由莱布尼兹判别法，收敛，而发散，故原级数发散（22）当，发散，绝对收敛，当时，由狄利克雷判别法知其收敛事实上，有界（23）法一：，于是原级数可表为，收敛法二：记，则，于是，收敛（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数注意到通项中共有项，其中前项之和和后项之和分别夹在与之间，因此由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛（25）当时，则当时收敛，时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分的敛散性由无穷积分立得当时发散，时收敛，事实上，当时，（充分大）当时，（26）由 及发散知级数发散（27）由于单调有界，收敛，由阿贝尔判别

10、法知其收敛思考题1 判别下列级数的敛散性：（1）；（复旦大学1997）（2）；（复旦大学1998）（3）；（复旦大学1999）（4）；（复旦大学1999）（5）；武汉理工大学2004）（6）（南京理工2004）提示：（1）分子有理化，发散；（2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）（5）由级数收敛的必要条件知当时发散；当由比式判别法知其收敛；（6）利用的Taylor公式讨论例4 讨论级数的敛散性分析：，柯西准则，发散；，柯西积分判别法，收敛；，比较判别法，发散例5 证明（1）若级

11、数收敛，则收敛；（淮北煤师院2004）（2）若，则发散，而收敛；（南开大学2001）（3）若是收敛的正项级数，则当时，级数收敛（中科院2002）分析：（1）；（2），发散，而收敛；（3）同（1）或：由Cauchy不等式；知其部分和有界，从而收敛例6（兰州大学2000）设是单调递减数列，试证明：（1）若，则收敛；（2）若，则发散证（1）由单调有界定理知，再由极限的柯西收敛准则知：，当，有，又单调递减，所以，当时，有，由级数的柯西收敛准则知其收敛（2）由于，令得上式右端的极限为，由柯西准则知发散例7（华东师大1997）设级数收敛试就为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数 也收敛证 当为正项级

12、数时，由比较判别法知 收敛 当为一般项级数时，由阿贝尔判别法知它是收敛的思考题2（华东师大1998）已知为发散的一般项级数，试证明也是发散级数提示：用反证法假设收敛，则，由阿贝尔判别法知收敛，矛盾例8（北京工业大学2000）设和正项数列单调减少，且级数发散令，试问级数是否收敛，并说明理由证 级数收敛这是因为：由级数发散和正项数列单调减少知，且由单调有界定理知，于是，由比较原则知收敛例9（北方交通大学1999）已知讨论级数的敛散性解 由单调性假设知存在极限，则，由柯西根式判别法知，当时收敛，当时发散，当时，例10（中国矿大北研部）设，级数试证：（1）发散；（武汉大学）（2）收敛（东北师大）证 （

13、1），于是而，故，从而当充分大时， 由柯西收敛准则知其发散（2），部分和有界，故收敛例11（华中科技大学） 若，试问是否一定收敛？为什么？ 解 不一定如级数 ，有；但发散例12（上海交大） 若 ，则级数是否收敛？试证之解 由于（），而（充分大），由比较判别法知 收敛，再由比较判别法知收敛例13 设且单减，试证与同时敛散证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由和知两级数具有相同的敛散性例14 若正项级数收敛，且（）证明（1）收敛；（华东师大）（2）收敛（北京理工大学2003）证 解出得：，而收敛，故当n充分大时，从而（2）收敛立得（1）收敛由收敛的必要条件得又因为，即 ，由级数收敛得收敛

14、例15 研究级数的敛散性，这里是方程的正根，并且按递增的顺序编号解 解方程得：，收敛例16 设，（）问收敛吗？解 由于（）；所以 （由的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛例17 设，证明级数 收敛解 由于即部分和有界，所以收敛例18（上海师大）证明：级数：是收敛的解 这是交错级数，且 ，由莱布尼兹判别法知收敛例19（合肥工大2001）已知正项级数和都发散，问下列级数收敛性如何？（1）； （2）解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取，则发散；若取，则，收敛（2）一定发散，这是因为思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数和都收敛，且成立则收敛 提示：利用柯西收敛准则思考题4（上海交大20

15、04）设 证明收敛提示：，应用Leibniz判别法即可例20（华东师大2000）设收敛，证明：证 记级数 的前n项和为，则，而，所以思考题5（合肥工大2000）设数列单调，且级数收敛于A证明：级数收敛，并求其和思考题6（北京工业大学2001）设数列收敛，级数收敛，证明：级数收敛思考题7（安徽大学2003）若级数满足：（1）； （2）收敛，证明：收敛思考题8（华东师大2003）若级数满足：（1）； （2）收敛，证明：收敛例21（吉林大学）证明级数发散到正无穷证 记则，而发散到正无穷，所以，又因为，故注（1）若要证明级数发散，则只需证明即可（2）在证明收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题

16、变得简单思考题9（武汉大学1999）级数是否收敛？为什么？提示：考察 例22 证明：级数收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列和正整数数任意子序列，都有证 必要性设级数收敛，则由柯西收敛准则得：当时，都有，从而当时，于是对于任意的正整数序列，有，即 充分性反证法若发散，则，使得，特别地，分别取 使得 ，使得 ，如此下去，得一正整数子序列和正整数序列，恒有，这与已知条件矛盾二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛：（1）（南京师大2002，为武汉大学1995）；（2）（内蒙古大学）；（3）（复旦大学1997）解（1）当时，不趋于0，发散；当时，原级数绝对收敛；当时，

17、收敛，单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但（）；故原级数条件收敛（2）当时绝对收敛，当时，不妨设，则，当时，有，且关于单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛又因为，而发散，故原级数条件收敛（3）当时，数列单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛又因为 ，所以，从而，当时，绝对收敛，当时，条件收敛思考题10（武汉大学2005）判别级数是否绝对收敛或条件收敛思考题11（南京大学2001）设（1）证明：级数绝对收敛；（2）求级数之和提示：例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设在的某邻域内有二阶连续导数，且证明：级数绝对收敛证 由得，在某邻域内的二阶泰勒展式为，由连续知，

18、有，从而有故绝对收敛思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设是偶函数，在的某个领域中有连续的二阶导数， 则级数绝对收敛（2）（浙江大学2004）设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且， 则绝对收敛例25 设（）单调，且级数收敛，讨论级数是条件收敛还是绝对收敛解 由于且单调，故由已知条件，收敛，故原级数绝对收敛例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数收敛，且级数绝对收敛，则级数收敛证 设，则，于是由收敛知：，由收敛知：，有，又收敛，对上述，有，取，于是，当时，由柯西收敛准则知级数收敛另证 收敛，有记，则，由绝对收敛得其部分和有界，即，有，由阿贝尔定理得又，从而由柯西收敛准则知其收敛

19、例27（华东师大2001）证明：若级数绝对收敛，则级数也绝对收敛证 记，则由绝对收敛知收敛，所以有界，即，有于是有，由绝对收敛知级数也绝对收敛思考题14（华中科技2004）设，求级数之和提示：例28 证明：若对任意收敛于0的数列，级数都收敛，则级数绝对收敛分析 问题等价于：若级数发散，则至少存在一个收敛于0的数列，使得级数发散，于是问题转化为：从出发，构造出满足条件的数列联想例10中（1）的结论立明证 假设发散，记其前项和为，则取，由得 ，从而当充分大（）时，有，于是，由柯西收敛准则知级数 发散，取，则，且发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立思考题15（中国人民大学2000）若正项级数发散，则

20、存在收敛于0的正数序列，使得级数发散例29 研究级数的收敛性记其前n项和为，将其分成两项，其中分别表示前n项和中所有正项之和与负项之和证明：极限存在，并求其值证 由Dirichlet判别法知其收敛又因为，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet判别法），从而非绝对收敛 由于，所以，注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立三 构造级数例30 试构造一级数，使它满足：（1）收敛； （2）解 ，满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：即当是整数平方时，否则，显然，同时故此级数收敛例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零分析 交错级数

21、 （）部分和为，可见只要构造一个级数，使得，同时使和一个收敛，另一个发散即可为此可构造级数如下：例32（南开大学1999）已知级数收敛，问级数和是否必收敛？说明理由解 未必收敛如级数收敛，但发散令 则级数收敛，但发散，因为它的部分和子列四 级数与极限问题例33 设正项级数收敛，试证：证 记，则（），且，从而例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设，且级数发散，则解 由于；（1）而 ，由此及发散可得，从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立例35（煤师院2004）设级数收敛，且单减试证分析：，有证 由收敛知，有由单减知，当时，于是有故例36（北师大）证明：极限 存在有限证 令，则

22、f在上非负单减，所以，从而得 ，即数列有下界又，即数列单减，从而极限存在且有限例37 试证：若正项级数收敛，且数列单减，则证 由收敛知：，从而 ，又单减，所以，即要证，只需证：事实上，其中为级数的余和 例38 求极限解 考察几何级数，由知其收敛，由柯西收敛准则得：当时，有，特别地，取，则有，即 五 级数与非正常积分之间的关系定理 设，则 与级数 具有相同的敛散性，且在收敛时，二者大小相等证 利用柯西收敛准则立明例39（西北师范大学）设函数证明：，其中为x的整数部分证 由于，上式右端为正项级数，记其部分和为，则由知，所以，例40（北京航空航天大学）（1）求证：当时，无穷积分 收敛；（2）求证：当

23、时，无穷积分 证（1）由于，当时，无穷积分收敛，由比较判别法知收敛（2）由上例结果得例41（复旦大学）讨论的敛散性，其中证 由于的周期为，取，则，令，则有下证右端两个级数都收敛事实上，记第一个级数的通项为，则由不等式可得，这是因为于是，由得收敛同理可证第二个级数也收敛（作变换化为前一个级数的形式），从而积分收敛六 级数的求和问题由于数项级数求和经常转化为幂级数求和，因此，本小节含盖了幂级数求和问题1 直接法（定义）例42（华中科技大学2004）设求级数之和解 由题设得：从而由级数定义得2 利用已知级数将所求级数转化为等比级数或其它初等函数的泰勒级数求之例43 设是一等差数列，公差为，为等比数列

24、，公比为（），则，其中，证 记，则，所以 例44 计算（）解 记，则（），所以， 注 利用例1所得公式直接计算结果一样3 连锁消去法将通项拆分为两项或若干项的代数和求之例45 设，求解 由得，所以，例46 提示：注意到，则得注 若通项公式的分母可拆分为等差数列乘积的级数，一般也可用此方法求和4 方程式法建立部分和的方程，然后求之例47 计算，解 由知级数和存在，记为记，则两边乘以得令，解之得注 本题用复数方法解之更为简洁5 利用子序列的极限原理：对于收敛级数，因此，若，则从而，只要知道某子列收敛，则必收敛，且极限值相同例48 计算解 其通项趋于零，为此只需求出的极限，事实上，（）故原级数和为注

25、 仿上例方法，将级数重排，使先依次出现个正项，再依次为个负项，如此交替，则所得新级数的和为6 利用和函数的分析性（逐项可积、逐项可微）例49 求下列级数的和（1）；（2）解 一般地先求其收敛域，在其收敛域内利用已知幂级数的各种性质（1）其收敛域为，设在内其和函数为，即，则，逐项积分得，两边微分得，（2）构造幂级数，则其收敛域为，令其和函数为，则即为所求由逐项可微分得，两端从到积分得又，由此得，即注 多数情况下，需作适当的初等变换，将其转化为本例中情形思考题15 计算的和，并由此计算思考题16 求下列幂级数的和：（1）求幂级数的和；（北京大学1996）（答案：）（2）；（山东大学）（答案：）（3

26、）；（山东大学）（答案：）（4）；（北京航空航天大学2001）（提示：拆分为两个级数求之，答案：）（5）；（北京航空航天大学2000）（答案：）（6）；（西北大学）（答案：）（7）；（北京科技大学2001）（答案：）（8）（厦门大学2003）（仿（6），利用指数函数幂级数展开式）（9）（华南理工2005）提示：（10）（浙江师大2005）思考题17 求下列级数的和：（1）；（北京大学1996）（答案：）（2）；（北京大学1999）（答案：6）（3）；（大连理工2004）思考题18（华中科技大学1997）讨论级数的敛散性，并求其和函数提示：讨论的取值例50（武汉大学）给定级数，（1）求它的和函数

27、；（2）证明广义积分收敛，并求其值解（1）考察级数，收敛域为，在内，由幂级数性质得，所以，有，从而，（2）由于 ，不是它的瑕点，1是它的瑕点，且，所以广义积分收敛，于是由逐项可积性得 注 对于幂级数，若其收敛域为，但存在，则仍有思考题19（武汉大学1999）给定幂级数，（1）确定它的收敛半径与收敛区间；（2）求出它的和函数 思考题20（厦门大学2000）利用计算积分思考题21（华南理工大学2004）证明：例51（华中师大）求级数的收敛区间与和函数解 令，则当时，有，而 ，所以右端级数收敛区间为，由得原级数的收敛区间为记，则由逐项可积性得：，有，所以，7 微分方程法例52 求级数解 由比式判别法

28、知其收敛域为，记其和函数为，则由逐项微分得即解此微分方程，并注意到得§2 函数项级数I 基本概念一 函数列及其一致收敛性1 定义定义1 设是一列定义在同一数集上的函数，若，数列收敛，则称函数列在点收敛，称为的收敛点，否则称函数列在点发散若在上每点都收敛，则称在上收敛，全体收敛点所成之集称为收敛域，此时在收敛域上的每一点，都有数列的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为的极限函数若记之为，则有，函数列极限的定义：，有若对所有，存在公共的，则称在一致收敛，即定义2 设与定义在同一数集上，若，有，则称在上一致收敛于，记作 I （），2 判定除用定义判断一致收敛以外，还可

29、以用下面几种方法定理1（柯西准则）于上一致收敛， ，有定理2 I （）（），有 命题 在上，若存在数列，使得，且，则I注 定理2比定理1更为适用，其困难在于求上确界先求出（把看成常数，令求之），然后求的极值和最值3 收敛与一致收敛的关系（1）I；（2）在有限区间上，挖去充分小区间后，I4 一致收敛函数列的性质定理3 设函数列在上一致收敛于，且对每个，则与均存在，且相等，即此说明在一致收敛的条件下两种极限可交换顺序定理4（连续性）若函数列在区间I上一致收敛于，且，在I上连续，则在上I也连续注 若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列 在区间I上不一致收敛如：在上常用此来证明

30、非一致收敛定理5（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则注（1）该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；（2）一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件如下例：例 设函数 ，。显然在上连续，且，而，因此，函数列一致收敛的充要条件是由于，因此，的充要条件是这样当时，函数列非一致收敛，但定理5的结论仍成立定理6（可微性）设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 注 由定理的条件可证：在也一致收敛二 函数项级数及其一致收敛性1 定义定义3 设是定义在数集上的一个函数列，表达式， （1）称为定义在上的函数项级数，简记为

31、，称，为函数项级数的部分和若，级数收敛，则称级数在点收敛，称为级数（1）的收敛点；若级数发散，则称（1）在点发散若（1）在点集上每点都收敛，则称（1）在上收敛；级数（1）的全体收敛点所成之集称之为收敛域，这样收敛级数在收敛域上定义了一个函数，记为，称之为（1）的和函数，即，定义4 设是的部分和函数列若在数集上一致收敛于函数，则称在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛2 判断定理7（一致收敛的柯西准则）若在上一致收敛，有定理8 若在上一致收敛于 （）推论 级数在上一致收敛的必要条件是：一致收敛于零定理9（判别法、优级数判别法、魏尔斯特拉斯判别法）设定为义在数集上的级数若存在正项级数，使得，则当收敛

32、时，在上一致收敛定理10（狄利克雷判别法）设（1）的部分和函数列在上一致有界；（2），是单调的；（3）I 0（），则级数在一致收敛定理11（阿贝尔判别法）设（1）在一致收敛；（2）,是单调的；（3）在一致有界，即，则在一致收敛3 和函数的分析性质定理12 若在处连续（），且在某领域一致收敛，则在处连续定理13 若在内连续（），且在内闭一致收敛，则在内连续定理14（连续性） 若在一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上也连续，即即求和与求极限可以交换次序定理15（逐项求积）在定理14的条件下，有即求和与求积分可交换次序定理16（逐项求导）若函数项级数满足条件：（1）在上有连续的导函数，；（2），

33、在点收敛；（3）在一致收敛，则三 幂级数及其收敛域形如的函数项级数称为幂级数，通过变换可化为1 收敛半径、收敛区间、收敛域定理17（阿贝尔引理）对幂级数，若它在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数亦收敛且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何都发散由此易得幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，若以表示区间的长度，称为收敛半径，称为收敛区间，而收敛域可能包括收敛区间的端点2 收敛半径的求法定理18 若，则当（1）时，；（2）时，；（3）时，注 当不存在时，可以上极限代之，结论不变定理19 若，则当（1）时，；（2）时，；（3）时，注 我们知道：若，则这样，从理论上讲，定理19是定理18的特例，

34、但在实际应用中各有优势，当函数项级数的系数为次幂的形式，常用定理18；若系数含有阶乘或连乘积的形式，则常用定理19 若定理18中的极限不存在，则可用上极限代之，结论仍然成立2 幂级数的性质定理20 若的收敛半径，则它在内任一闭区间都一致收敛且绝对收敛；若收敛，则在一致收敛定理21 若幂级数的收敛半径，则其和函数在内连续、可积、可微，且有任意阶导数，并满足逐项可积和逐项求导法则注 幂级数与其诱导级数（逐项求导或求积）具有相同的收敛半径，但其收敛域有可能变化，即收敛区间端点的收敛性可能发生变化四、函数的幂级数展开1 泰勒级数若在存在任意阶导数，称幂级数为函数在的泰勒级数注（1）泰勒级数未必收敛；

35、（2）泰勒级数即使收敛，亦未必收敛于如 在点2 收敛定理定理22 设在点具有任意阶导数，那么在内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：，这里是在的泰勒公式余项定理23 若函数在存在任意阶导数，且，有，则若函数在的泰勒级数收敛于，则称泰勒级数为在的泰勒展开式或幂级数展开式，也称在可展为幂级数或泰勒级数当时的泰勒级数又称为马克劳林级数3 初等函数的幂级数展开式（1），；（2），；（3），；（4），；（5），当时，；当时，；当时，；（6），；（7），五、傅里叶级数1 正交性与正交函数系定义5 设，在上有定义，且可积若，则称，在上正交性质 三角函数系在或上具有正交性，称之为上的正交函数系称形如 的

36、函数级数为三角级数2 傅里叶系数及级数设函数是以为周期且在上可积的函数，称 ，为函数的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅立叶级数，记为 （1）3 傅立叶级数的收敛定理定理24 若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，的傅立叶级数（1）收敛于在点的左右极限的算术平均值，即注 在区间端点则收敛于4 奇偶函数的傅氏级数设是以为周期，且在上按段光滑的函数，则（1）若为偶函数，则，此时的傅氏级数常称为余弦级数；（2）若为奇函数，则，此时的傅氏级数常称为正弦级数注 对给予区间上的函数，常作奇（偶）延拓，使其傅氏级数简单5 以为周期的函数的展开式设函数是以为周期，且在上按段光滑的函数，则，

37、有，其中，II 例题选解一 函数列的收敛与一致收敛例1 证明函数列，在上收敛，但非一致收敛证 当或时，当时，, (级数收敛), 所以，即在上收敛，所以，在上非一致收敛例2（哈尔滨工大1999）设连续函数列在闭区间上一致收敛于函数，且证明：分析：证 由一致收敛定义得：，有 （1）又连续，且一致收敛于，所以在也连续，则对上述，当时，有而，则对上述 当时，有，从而当时，有 （2）取，则当时，（1）和（2）式均成立，故有，即 例3（武汉大学2001）设在上连续，且发散，证明：在上非一致收敛证 假设在上一致收敛，则由柯西收敛准则得： 有，又在上连续，令得，由数列的柯西收敛准则知收敛，矛盾，所以，在上非一

38、致收敛例4（华东师大1999）设对每一个n，为上有界函数，且I证明：（1）在上有界；（2）证（1）由一致收敛定义得：对 当时，有，特别地，有，由的有界性立得在上有界（2）由题设及（1）知上确界都存在，且有，由此易得结论（2）成立 思考题1（南开大学1999）设函数列在区间I上一致收敛于，且存在数列，使得当时，总有证明：在I上有界例5（华东师大2000）设为上连续函数列，且I （1）证明：若在上无零点，则当n充分大时，在上无零点，且有I证 由函数列一致收敛的性质知在上连续，又在上无零点，故由连续函数的零点定理知在上不变号，不妨设设m为其最小值，则由（1）得：对，当时，有，由此得：当时，有，所以当

39、时，在无零点同时，我们有，由一致收敛的定义立得I例6（华东师大2001）设在上连续，证明：（1）在上不一致收敛；（2）在上一致收敛证（1）由于即在上不连续，而连续，故在上不一致收敛 （2）由及连续得：，当时，有，从而当时，有又在上连续，故存在，使得，有，于是有，从而当n充分大时，有，即在上一致收敛于0例7（河北师大）（1）设（i）在上连续；（ii）在上一致收敛于；(iii) 在上 ，试证：在上一致收敛于（2）若将（1）中条件（iii）去掉，（1）中结论是否还成立？试证明你的结论证（1）由例4的结论知，使得令，则在上连续，从而一致连续，即 当，且时，有又在上一致收敛于，所以对上述，当，有 ，从而

40、有 ，由定义知 在上一致收敛于（2）结论仍然成立这是因为在（1）的证明中根本没有用到条件（iii）思考题2（北京科技大学2001）设在上连续，且一致收敛到证明：（1），使得，有；（2）若在内连续，则在上一致收敛到例8（北京大学1996）设在上，一致收敛于，一致收敛于若存在正数列，使得证明：在上一致收敛于 提示：仿例4可证和均在上一致有界，然后利用定义即可 例9（中科院2000）设函数在上有连续的导函数，对每一个自然数，定义函数：试证：在上一致收敛于 证 在上连续，从而一致连续，即，当时，有取，则当时，有，从而由上式和微分中值定理得，即在上一致收敛于思考题3（北航）证明：对任意实数，级数收敛 提

41、示：利用Leibniz判别法二 函数列与函数级数的一致收敛判别法1 定义法例10 设在上有连续的导函数，（）证明：在任一有限区间内一致收敛于解 由微分中值定理得，又因为在上一致连续，即，（），当，时，有，取，则当，有，故I（），例11设，其中在上连续求证：函数列在有界闭区间上一致收敛分析：容易看出（），因此只需证：，有，证 由定积分定义知由于在上连续，所以在上一致连续，即，当时，有取，则当时，由上式得 ，从而有 ，即在上一致收敛 思考题4（兰州大学）设证明：在上一致收敛例12（北京大学）至少用两种方法证明级数在上非一致收敛证法一 ，所以在上非一致收敛证法二 在上，取，有，由定义知在上非一致收敛

42、注 在证法二中运用了贝努里不等式：当时，有可用数学归纳法证明这个结论思考题5（同济大学）证明：在上处处收敛，但非一致收敛提示：当时显然收敛，当时，收敛非一致收敛类似上题证法一思考题6（中科院）证明：函数级数在内收敛，但非一致收敛提示：证明非一致收敛时取例13（吉林大学）设证明：（1）；（2）级数当时收敛，当时发散证 由第一章例26得，由此立得结论成立 2 放大法对于函数列，将适当放大至一个与无关的收敛于零的数列（无穷小量），即（）其中与无关对于级数，则讨论其余项，即（），其中与无关实现放大有很多技巧，如通过已知的不等式，求极值，余项估计，递推放大等例14 设在上可积，在上也可积，且，记，则在上

43、I证（不等式法）由于 所以，I，例15（广西大学）给定函数列（）试求当为何值时，在上一致收敛 解（极值法） 由知：当时，严增，当时，严减，因此函数在处取最在值，最大值为此外，易求极限函数为，于是，当时，有所以当且仅当时，在上一致收敛例16（湖北大学2002）试问为何值时，在上一致收敛解 ，有，而，令得，且，所以为其极大值点，又，所以也是其最大值点，于是，由此可得，当时，在上一致收敛例17 试证：在内一致收敛证（余项估计法） 设，则可见，当充分大时，是单减的，即级数通项是单减的因而是Leibniz级数因此，当充分大时，（），所以该级数在内一致收敛例18 讨论在与内的一致收敛性（为常数）解 原级数

44、可写成，级数收敛（），数列单增有界，由阿贝尔判别法知其收敛，此外，由此立得，（）所以在内非一致收敛，在内一致收敛例19（吉林工业大学）设在上正常可积，证明：函数序列在上一致收敛于零 证（递推方式放大） 由在上正常可积知在有界，即，使得，从而，一般地，若对有，则，从而有（），故I0（）， 注 将区间换成便是北航1999年考研题例20（华中师大2002，东北师大）设在矩形上连续，在上连续，令证明在上一致收敛证 在D上连续，从而在D上有界，即，有；又在上连续，则有界，故存在，有于是，由数学归纳法易证：由比式判别法知收敛，所以，从而，即在上一致收敛例21（南京大学，吉林大学）假设（i）在内连续；（ii

45、）时，；（iii）令，试证在上一致收敛（其中为正常数） 证 由（ii）知，令得，即（因为连续），从而在上，（），当时，；当时，在其上连续，则存在最大值M，由条件（ii）知，故存在小于1的正数，使得，于是，当时，有由此易得：，若，则，若，则，所以总有依次下去，可得，由于，所以当充分大时，从而有，即在上一致收敛 例22 设，（当），且（）试证：在一致收敛（这里是任意区间）证 ，由（）知中至多有一项不为零，因此，该级数的余项满足：（）故在上一致收敛3 Cauchy收敛准则只需判定任意两个函数之差任意小，不需求出极限函数，这一点比用定义法优越例23（上海交大2000）设可微函数列在上收敛，在上一致有界

46、证明：在上一致收敛证 由条件：，使得，有于是， ，当时，对一切正整数，都有 （1）将区间等分，使每一小区间的长度小于，记这个区间的中点为由于在收敛，从而在每个点收敛，于是，有， （2）令，则当时，使属于第个小区间，于是由（1）和（2）式得即 在上一致收敛例24（华东师大）设为上的可导函数列，且在上有，其中为与和无关的正实数证明：若在上收敛，则必为一致收敛 证法一 在上收敛，则，当，有，取，则当，时，有， 即，这样，当取遍中所有点时，得的开覆盖，在每个小区间上式成立由有限覆盖定理，存在有限子覆盖，设为，取，当，都有，即一致收敛证法二 ，取充分大，将等分，使每个小区间的长度顺次以表示各区间的中点由

47、在收敛，从而在每个收敛，于是，有，令，则当时，使属于第个小区间，有例25（云南大学）设函数在上连续，函数序列在上一致收敛，且满足条件证明：在上一致收敛证 在上连续，则在其上一致连续，即，当时，有设在上一致收敛于，则对上述，当时，都有，从而当时，由（1）式得，即在上一致收敛例26（吉林大学）设函数序列，在区间上有定义，且满足：i) ，ii) ，其中是常数试证：如果级数收敛，则必在一致收敛 证 收敛，则，当时，有记，于是，从而由阿贝尔变换得而，故即在一致收敛用Cauchy准则证明非一致收敛例27 证明：级数在的任一邻域内非一致收敛分析：估计的麻烦在于每项因子有，否则很容易证明其发散因此，我们想：在

48、的任一邻域，当从变化到时，能否大于某常数，若能则必非一致收敛事实上，当时，因此，取，使，即只需，取即可证 取，有，由柯西收敛准则知非一致收敛4 判别法关键在于寻找适当的收敛的正项级数，常用方法除观察法之外，还有求在上的最大值；利用已知的不等式；Taylor公式；微分中值定理等例28（安徽大学）证明：在上一致收敛 证（最大值法） 记，则令得稳定点，而，所以在上的最大值为，从而由收敛知在上一致收敛例29 证明：在内一致收敛分析：（不等式法）例30（北京大学）证明：函数项级数在任意有穷区间上一致收敛，在上非一致收敛 分析：首先建立不等式：对任意自然数，当时，有，（吉林工业大学）事实上，原式等价于：，记，只需证（当）而用表示方程的根（倘若存在的话），则极值点可能是，及，但，（所满足的方程），由此得其次，不妨设有限区间满足：，则由所证不等式有由此立得一致收敛最后，在上，当时，即通项在上不可能一致收敛于零，从而非一致收敛例31（中国科技大学）设一元函数在的某邻域内有二阶连续导数，函数是的次复合证明：级数在某邻域内一致收敛 分析（Taylor公式法）：因为在的某邻域内有二阶连续导数，取充分小时，则在连续，故，有由