级数与广义积分考研

1、1.利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限.2.证明：sin1在(0,1)上不一致连续，但在(a,1)(a 0)上一致连续.X1占(n 1,2,3,)，n4. ( 1)证明：f(X)sinx2在(0,)上不一致连续.5.设 E 是非空有上界的实数集(2)若supE a E,证明：在数集 E 中可取出严格单调增加的数列xn，使得 lim 人 a.n6.证明：sinx2dx 0.0p 都有 lim (anpan) 0,则数列 an收敛.3.若Xn12223用柯西收敛准则判定数列Xn的收敛性.cos1 cos2 cos3若-122223cos n /, c c、(n 1,2,

2、3,)，用柯西收敛准则判定数列 Xn的收敛性.(1)给出 E 的上确界supEa的定义;7.判断下述各论断的对错, 正确的请给出证明，错误的请举出反例(1)若对于每一个正整数 若f(x)dx 收敛，且 lim f (X)存在，则lim f (x) 0.0XX8.广义积分Sin-xdx(0 p 1)是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?0 xp、1n9.求lim -nnMafxdx，( 1)求Ban务2) ；(2)试证对于任意的常数0 ,级数 电0n 1nn 1n),且级数an发散，试判断下列级数的收敛性:n 1收敛.11.利用p 级数的敛散性判别级数e (11)n的敛散性.n 1na

3、n11n2an(2) 亠n 11 an13.设级数(an2an 1)收敛，bn绝对收敛，试证：anbn绝对收敛.n 1n 114.设 an0, (nna1),Snak.证明：级数收敛.k 1n 1Sn15.设an0 (n Nna),且 an发散.记 Snai.证明： 玉发散.n 1i 1n 1Sn16.若函数f (x)在0,)上连续，且lim f (x) A.证明：limxx3. (10 分)利用有上界的非空数集必有上确界证明：单调增加的有界数列必有极限证明：设数列Xn单增有界，记 E Xnn N , E 为非空有界集合，必有上确界，记11k2尹仆 k)kk 13k10.设 an12.设 an

4、0 (n 1,2,3,sup E .1分2. ( 10 分)若Xn14(n 1,2,3,),n任给0,存在 E 中的元素XN,使得XN.4 分因为Xn单增，故当nN 时，有XNXn.3 分即有Xn,故 lim Xnn.2分7. (15 分)证明：sin丄在(0,1)上不一致连续，但在x(a,1)(a 0)上一致连续.1证明：在(0,1)上，令Xn,Xn -nn2.3 分虽然有 limnXnXn110，但是 sin 一 sinXnXn因此，sin在(0,1)上不一致连续. .4 分x0,取对任意的X1, X2(a,1),当X1X2时，有.1 . 1 sinsin=X1X2cos1111X1X2X

5、1X2X1X22a在(a,1)(a0)上，对任意的即sin1在(a,1)(ax2a 0 ， .4 分0)上一致连续 . 4 分sup E .1分用柯西收敛准则判定数列Xn的收敛性. 2解：数列Xn收敛.考察Xn pXn1(n 1)2(n1(n P)21n(n 1)(n 1)(n 2)(n P 1)(nP).2 分对任意给定的0，取则当 n N 时，对任意的正整数P，总有XnXn,根据柯西收敛准则，数列 Xn收敛.1.（每小题 10 分，共 20 分）9（1）证明：f（X）sin X 在（0,）上不一致连续.(2)若 Xn12C0S1 cos2 cos3cos n用柯西收敛准则判定数列解：（1）

6、构造两个数列XnJd2n7,Xn2223(n1,2,3,)，Xn的收敛性.M2n (n N),.5 分0 (n ),.J 2n2cos(n 1)cos( n p)2= p收敛.8. （15 分）设 E 是非空有上界的实数集.（1）给出 E 的上确界supE a的定义;（2）若supE a E,证明：在数集 E 中可取出严格单调增加的数列xn，使得 lim x,a.n但 f（Xn）f（Xn（2） 1 不趋于 0,.故 f(X) sinx2在(0,）上不一致连续. 1 分(2)数列 xn收敛.考察 Xn pXncos(n 1)cos( n p)对任意给定的0 （不妨设1），取 NlOg211，则当

7、 n N 时，对任意的正整数P，总有 XnXn，根据柯西收敛准则，数列 Xn有 Xn(1)Xn(2).2 分0, X E,x a从而在 E 中取到了严格单调增加的数列Xn，使得 lim xnn汀2sin X dx 0.02证明：令 t X2,原式=012si nt dt si nt -02讥2/t1.（每小题 9 分，共 18 分）解：（1）若满足：X E,x a；-.2 分1故原式=0sint(24 2&1)dt 0则称a是 E 的上确界，记为supE.1 分证明：supE aE,因此0, X E,使得aXa. 3 分1, X,a；.2分mi n1 ,a Xi, X2E,ax2aX1

8、X2；min1, a3X2, X3E,aX3aX2X3；min1, a nXn 1, XnE,aXnaXn 1Xn；.3 分a. 2 分证明:Sint -dt2不1dt判断下述各论断的对错，正确的请给出证明，错误的请举出反例若对于每一个正整数P都有lim (anpan)0,则数列an收敛.n若 f (x)dx 收敛，且 lim f (x)存在，则lim f (x)0.0 xx对收敛?12. (15 分)广义积分0si：x dx(0 p 1)是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝解：由于0肥1从而 x对每个有限的 A,都有判别法可知类似得，有又有sin xAsinxdxsin X .0丹0co

9、s2x . /c1丁dx(0|sin x 2Sin xxp1)发散,0dx(01)发散.12,-在0,cos2X)pxsin xxPdx(0.5 分)上单调减少且limx.5 分.1 分1丄0，由 DirichletxpP 1)发散，进一步得到因此， 警dx(0 p 1)条件收敛.0 xp.2 分10解：考虑正项级数k#（1 1）k2由kimg1(l)k,而（e）k收敛）知该级数收敛, 设收敛于 S,故有k1*(1所以lim -nnk1(1k)=0.设 an04tannxdx,(1)an 2）；(2)试证对于任意的常数0,级数 电收n 1n(1) 解:1 (anan 2)ntannx(1 ta

10、n2x)dx04ta“xsec2Xdx.令 tanx贝9上式=-n1tndt0n（n 1），因此SnLai 1i1i(i 1)九，于是-(an1nan 2)lim Sn1.n（2） 证明: 令 tanxt，则anta nnxdx0101Jtt2九，所以对于任意的常数(n 1)1斗（2 分），而级数n丄T收敛，从而级数n 1n解：（1）an4ta nnx(siC x 1)dx(1)1 1(2)由(1)an 1，故n 1 nan1r n n由正项级数的比较判别法知12. (15 分) 利用 P级数的敛散性判别级数e （1丄）的敛散性.n 1ne解：lim -n(11)nn11lime (1yt 0

11、tlim(1t 01t)t .5 分1(1 t)，(1 t)ln(1 t) .5分t2(1t)e故 lim -n(1l)nnelimt 0ln(1由级数n2telim(1 t)ln(1 t) tt 0t2.3 分1发散，知原级数发散 .2 分1n11. (15 分) 设 an0 (n1,2,3,）,且级数 an发散，试判断下列级数的收敛性:n 1nan11n2anan(2)n 11 an(1)2a1解：(1) 0L P，而1 n annn 1(n 1,2,3,),则0,1 an1 M而n1佥n1an发散，故原级数发散-若 an无上界，则一乩不趋于 0,此时级数也发散.1 an故原级数总是发散.

12、12. (13 分) 设级数n(anan 1)收敛，bn绝对收敛2n 1，试证：anbn绝对收敛.n 1证明：记Snn(akk 2ak 1)ana1akbkMS,即anbn绝对收敛.n 16. (13 分)设 an0,( n 1),Sn证明：因为anSn2SnS1Sn2SnSn 1Sn 1SnSn 1Sn故有旦丄n 1Sna11n 2Sn 1.2 分1收敛，故原级数收敛.n2若anMai因此正项级数a金收敛.-设an0(n N ),且an发散.记 Snn 1ai.证明:11暑发散.证明:因an0, an发散，故n 1Sn(n).令Un尹由柯西准则:Un收敛n 10,N,当 nN 时，对任意的Un 1UnUn pUN1UN2UN paN 1SN1aN PSN P对任一正整数 N,因 Sn,故存在正整数 P，使 1a1anSN p故Un发散.n 1若函数f(x)在0,)上连续，且lim f(x)A证明:证明：由于lim f(x) A,从而对任意的x0, X 0,对任意的xX,有f (x) A.于是1x又由于1xXf(t)Adtf(t) AdtxdtX2彳X因此lim - f (t)XXXA dt A,最后得设一f (x)d X收敛, 且f (x)在a,上一致连续，证明 lim f (x) = 0.证：因f (x)在a,上一致连续，故0，0，使得当ti,t2a,且|tit