清华考研_电路原理课件_第11章__含有互感元件的电路

1、清华大学 电路原理 电子课件江辑光版参考教材：电路原理（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成电路原理 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟电路（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉第11章 含有互感元件的电路本章重点11. 11 互感和互感电压11. 22 互感线圈的串联和并联11. 33 有互感的电路的计算11. 44 全耦合变压器和理想变压器11. 55 变压器的电路模型本章重点 本章重点· 互感线圈同名端的判定· 互感电压表达式正负号的确定· 有互感的电路的计算· 理想变压器返回目录11.1

2、互感和互感电压一、 互感（mutual inductance）和互感电压（mutual voltage）Ö11Ö 21i1N1N2+u11+u21参考方向设定：i Ö ，u Ö 符合右手定则当线圈1中通入电流i1时由电磁感应定律（Faradys law）和楞次定律（Lenzs law）可得u11 =d 11dt= N 1d11dt自感电压u21 =dØ 21dt= N 2d21dt互感电压当线圈周围无铁磁物质（空心线圈）时，有def Ø 11L1 =i1线圈1的自感系数单位：HM 21def= 21i1线圈1对线圈2的互感系数则有 d

3、i1u11 = L1 dtdi121u=M21dt同理，当线圈2中通电流i2时，有Ö 12Ö 22N1i2N2+u12+u22defM 12 =12i 2线圈2对线圈1的互感系数 d 12 d12 di2u = d 22 = N d22 = L di22 2 互感电压自感电压可以证明M12= M21= Mu12=dt=N1dt=M12dt22dtdtdt当两个线圈同时通以电流时，有u1 = u11 + u12 = L1u = u + u22 = M21di1dtdi1dt+ M+ L2di 2dtdi 2dt在正弦稳态电路中，其相量形式的方程为U 1 = jùL1

4、 I1 + jùMI2 2U2=jùMI1+jùL2I2二、耦合系数（coupling coefficient）kk 表示两个线圈磁耦合（magnetic coupling）的紧密程度。defk =ML1 L2可以证明，k1全耦合时: Ö s1 =Ös2=0 即 Ö11= Ö21 ，Ö22 =Ö12L1 =N 111i1,L2 =N 222i 2M 21 =N 221i1, M 12 =N 112i2 M 12 M 21 = L1 L2 ， M 2 = L1 L2，k = 1三、互感线圈的同名端（dott

5、ed terminal）互感电压不仅与参考方向有关，而且与线圈的绕向有关，这在电路分析中显得很不方便。Ö11Ö sÖ 0i1N1N2N3+u11 + u21 + u31 u21 = M 21di1dtu31 = M 31di1dt引入同名端可以解决这个问题。1. 同名端的定义：同名端是分别属于两个线圈的这样两个端点：当两个电流分别从这两个端点流入，与每个线圈相链的自感磁通同由另一线圈的电流产生的互感磁通方向相同，因而互相加强，这两个端点便是同名端。例1·iÖ· 21· *231'2'1'2'*

6、3'· 2. 同名端的实验测定假设线圈的同名端已知，观察实验的现象R S 1 i*1'*22'V+当闭合开关S时，电压表指针正偏一下，又回到零。分析：开关S闭合，i增加di > 0,dtdt当两个线圈是封装的，只引出接线端子，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。四、由同名端及u，i参考方向确定互感电压表达式的正负号当一个线圈的电流i和其在另一个线圈两端产生的互感电压uM的参考方向相对于各自线圈的同名端一致时，则互感电压 uM=Mdi/dt 。M·i1·+u21u21 = Mdi1dtM·i1·u21+u

7、21 = Mdi1dti1Mi2i1Mi2+··+·+u1_L1L2u2_u1_L1L2·u2_时域形式u1 = L1di1dt+ Mdi 2dtu1 = L1di1dt Mdi 2dtu2 = Mdi1dt+ L2di 2dtu2 = Mdi1dt+ L2di 2dt在正弦交流电路中，其相量形式的电路模型和方程分别为I1jùMI2+·U 1 jùL1_+·jùL2 U 2_U 1 = jL1 I1 + jMI2U 2 = jMI1 + jL2 I 2五、互感线圈的储能i1Mi2+u1_·L1&

8、#183;L2+u2_t 时刻互感线圈吸收的功率p(t ) = u1 (t )i1 (t ) + u2 (t )i 2 (t )tt+dt 时间段互感线圈储能的增量dW = p(t )dt = u1 (t )i1 (t ) + u2 (t )i2 (t )dt= L1di1 (t )dt+ Mdi 2 (t ) i1 (t )dtdt + L2di 2 (t )dt+ Mdi1 (t ) i 2 (t )dtdt = L1i1 (t )di1 (t ) + Mi1 (t )di 2 (t ) + L2 i 2 (t )di 2 (t ) + Mi 2 (t )di1 (t )= L1i1 (t

9、 )di1 (t ) + L2 i 2 (t )di 2 (t ) + Mdi1 (t )i 2 (t )设电流由零增至i1(t)、i2(t)，则t 时刻互感的储能为W = 0i1 ( t )L1i1 (î )di1 (î ) + 0i2 ( t )L2i2 (î )di2 (î ) + 0i1 ( t )i 2 ( t )Mdi1 (î )i2 (î )=12i12M12L2 i 22 (t ) + Mi1 (t )i 2 (t )i2+u1_·L1L2·+u2_W =12212L2 i 22 (t ) Mi1

10、(t )i 2 (t )返回目录11.2 互感线圈的串联和并联一、互感线圈的串联1. 同名端顺串iR1i时域+ +u u1u2·L1+ ·L2M+uRLR2dt dt dt dtdt dt其中 R = R1 + R2 , L = L1 + L2 + 2 M=(R1+R2)i+(L1+L2+2M)di=Ri+Ldi在正弦稳态下jùM· ·+ U 1 + U 2 + U U = ( R 1 + R 2 ) I + jù ( L1 + L 2 + 2 M ) I相量图Ujù MIU 2 jù L2 IR2 Ijù

11、; MIU 1R1 Ijù L1 II2. 同名端反串iR1i+ +u1·L1+Ru u2+L2·MuLR2dt dt dt dtdt dt其中 R = R1 + R2 ,L = L1 + L2 2ML = L1 + L2 2M 02互感不大于两个自感的算术平均值。=(R1+R2)i+(L1+L22M)di=Ri+LdiM1(L1+L2)在正弦稳态下jùM· ·+ U 1 + U 2 + U U = ( R 1 + R 2 ) I + jù ( L1 + L 2 2 M ) I相量图jùL2 I jùMI

12、jùL1 I jùMI UR1 IU 1U 2R2 II二、互感线圈的并联1. 同名端在同侧+uii1L1·M·i2L2u = L1u = L2di1dtdi 2dt+ M+ Mdi 2dtdi1dt解得u, i的关系i = i1 +i2u =( L1 L2 M 2 ) diL1 + L2 2M dtLeq =( L1 L2 M 2 )L1 + L2 2M 0故M L1 L2互感小于两元件自感的几何平均值。2. 同名端在异侧+uii1L1·Mi2L2u = L1u = L2di1dtdi 2dt M Mdi 2dtdi1dt解得u, i的关系&

13、#183;i = i1 +i2u =( L1 L2 M 2 ) diL1 + L2 + 2M dtLeq =( L1 L2 M 2 )L1 + L2 + 2M 0三、有互感的两个线圈的等效1.互感的去耦等效（两电感有公共端）（a） 两个线圈的同名端接在公共端1I 1jùL1jùM· ·I 2jùL22I 11jù(L1M)I 22jù(L2M)3I3jùMIU 13 = jùL1 I1 + jùMI2U 23 = jùL2 I2 + jùMI1I = I1 + I2整理得U

14、13 = j( L1 M )I1 + jùMIU 23 = j( L2 M )I2 + jùMII = I 1 + I 2（b）两个线圈的异名端接在公共端1I 1jùL1jùM·I 2jùL22I 11jù(L1+M)I 22jù(L2+M)·3I3-jùMIU 13 = jùL1 I1 jùMI2U 23 = jùL2 I2 jùMI1I = I1 + I2整理得U 13 = j( L1 + M )I1 jùMIU 23 = j( L2 + M

15、 )I 2 jùMII = I1 + I2+I 1I 2+2.互感的受控源等效电路jùL1jùL2+U 1· ·jùM+jùL1 jùL2 U 2U 1+ +jù M I2 jù M I 1 CCVSU 2_U 1 = jùL1 I1 + jùMI2+I1I 2+U 2 = jùL2 I2 + jùMI1U 1jù L1L1I 2L 2I 1jù L 2 U2CCCS返回目录11.3 有互感的电路的计算空心变压器（air-core tr

16、ansformer）电路jùM· ·+I1 Z11(ùM ) 2Z 22( R1 + jùL1 )I1 + jùMI 2 = U S jùMI1 + ( R2 + jL 2 + Z )I 2 = 0空心变压器原边等效电路设 Z11=R1+jù L1原边回路总阻抗Z22=(R2+R)+j(ù L2+X) 副边回路总阻抗I1 =U S(ùM ) 2Z 11 +Z 22Z in =U SI 1= Z 11 +(ùM ) 2Z 22引入阻抗+I2jùL1jùL2引入阻抗Z

17、l =(ùM )2Z 22= 2 M 2R22 + jX 22= 2 M 2 R222 2j 2 M 2 X 22R222 + X 222= Rl + jX l2 22 2引入电阻引入电抗负号反映了副边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗当I 2 = 0, 即副边开路, Z in = Z 11I2 0, Z in = Z11 + Z l电源输出功率一部分消耗在原边电阻上，一部分消耗在引入电阻上。思考题：证明引入电阻消耗的功率就是通过互感传递到副边电路的功率。例1 已知 US=20 V , 原边引入阻抗 Zl=10j10。求: ZX 并求负载获得的有功功率。10j210+j10U S+j

18、10· ·j10I 2ZX+U SZl=10j10解Z l = 2 M 2 =Z 224Z X + j10原边等效电路 Z X = + j9.8 此时负载获得的功率 P = PR引 =（本例实际是最佳匹配状态2010 + 10）2 Rl = 10 WZ l = Z 11* ,P =24R= 10 W例2 已知L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2 ,U S+I1 R1jùL1jùM· ·R2jùL2I 2RLRL=42 , ù =314rad/s,U s = 1150&

19、#176;V。求 : I1 , I2。解利用空心变压器原边等效电路I1 Z11Z 11 = R1 + jùL1 = 20 + j1131U S+(ùM ) 2Z 22Z 22 = R2 + R L + jùL2 = + Z l = = 464 o Z 22I1 =U SZ11 + Z l= o AI2 =jùM I1Z 22=1 1o A例3 列写如图所示电路的回路电流方程。I1Z1·L1M12L2 ·Z2I2*+U S1_IaM13 L3 M23 *Z3Ib+_U S 2解Z 1 Ia + jùL 1 Ia jù

20、M 12 Ib jùM 13 ( Ia Ib ) + jùL 3( I a I b ) jùM 13 I a + jùM 23 I b ) + Z 3 ( I a I b ) = U S1Z 2 Ib + jùL2 Ib jùM 12 Ia + jùM 23 ( Ia Ib ) + jùL3 ( I a I b ) + jùM 13 I a jùM 23 I b ) Z 3 ( I a I b ) = US 2整理，得( Z1 + jùL 1 j2ùM 13 + jù

21、;L 3+ Z 3 )Ia +( Z 3 jùL 3 jùM 12 + jùM 13 + jùM 23 )Ib = U S1( Z 3 jùL3 jùM 12 + jùM 13 + jùM 23 )Ia +( Z 2 + jùL2 j2ùM 23 + jùL 3+ Z 3 )Ib = U S2此题可先作出互感的去耦等效电路，再列方程。过程如下:M12· L1L2 ·L1M12 L2M12M13*L3 M23 *M13*L3+M12M23 *L1M12 M13 +M2

22、3L2M12 +M13 M23L3+M12 M13 M23返回目录11.4 全耦合变压器和理想变压器一、全耦合变压器 （perfect coupling transformer）I1jùMI2U1 = jùL1 I1 + jùMI2+U 1·jùL1+·jùL2 U 2U2 = jùL2 I2 + jùMI1_I1 =_U 2 jùL2 I2jùM全耦合时M = L1 L2 , k = 1U 1 = L1 (U 2 jùL2 I 2 ) + jùMI 2 = L1

23、UM M21i1Ö 22i2 2 = 11 + 22u11'Ö 11u22'u1 = N 1ddt, u2 = N 2ddt则N1N2u1u2=N 1N 2= nu1u2=N 1N 2= n =L1M=ML2=L1L2全耦合变压器的电压、电流关系U 1 = nU2I1 =U 1 jùM I2jùL1=U 1jùL1jùL1I 2 =U 1jùL1nI 2jùM1二、 理想变压器 （ideal transformer）当L1 , L2 ，L1/L2 比值不变 （磁导率µ ），则有U 1 =

24、nU 2n理想变压器的元件特性+U1I1n : 1· ·I2+U 2-理想变压器的电路模型理想变压器的性质（a）阻抗变换性质I1n : 1I2I1+U 1· ·+U 2Z+U1n2Z-U 1I1=nU 2 1 / nI22U 2I2) = n 2 Z原边等效电路=n(（b）功率性质理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。u1 = nu 2n+u1i1n : 1· ·i2+u2-p = u1 i1 + u2 i 2 = u1i1 +1nu1 × (ni1 ) = 0即理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和

25、能量的作用。例1已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。+RSn : 1· ·+RSuS解-当 n2RL=RS时匹配，即RLuS-n2RL10n2=1000 n2=100， n=10.例2已知如图求 U 2 。I1 11 : 10I2方法1100°V列方程+-+ · ·U 1-+50 U 2-1 × I1 + U 1 = 100°50 I2 + U 2 = 0U 1 = 1 U 210I1 = 10I2解得U 2 =0°V方法2 阻抗变换I1 1U 1 = 100&

26、#176; × 1 = 10 0°V1 + 1 / 2 2 3+100°V-方法3+U 1-戴维南等效2 1 1 × 50 = 10 2U 2 = nU 1 = 10 U 1=0°VI1 11 : 10I2（1）求U oc100°V+-+ · ·U 1-+U oc- I2 = 0, I1 = 0U oc = 10U 1 = 10U S= 1000°V（2） 求R011 : 10· ·戴维南等效电路100R0R0=102×1=1001000°V+-50+U 2-U 2 = 1000° × 50 =0°V100 + 50返回目录变压器的电路模型实际变压器通常是有铁心的，有漏磁，且有损耗。可根据实际需要确定其模型。以下是两绕组变压器的等效电路模型。一、理想变压器（全耦合，无损，µ=）+u1-i1n : 1·