高数第十章线面积分习题和答案

1、第十章曲线积分曲面积分练习题A组一.填空题1 .设 L是 x2 y2 1 上从 A(1,0)经 E(0,1/iJB( 1,0)的曲线段，贝U Ley2dy=2 .设MN是从M(")沿圆(x 2)2 (y 2)22至点N(3,1)的半圆，则积分MNydxxdy =3 .L 是从 A(1,6)沿 xy 6 至点 B(3,2)的曲线段，则 Lexy(ydx xdy) =24 .设L是从A(1,0)沿x2 y- 1至点B(0,J2)的曲线段，222贝U L2xex ydx yex ydy = 5 .设L是y x2及y 1所围成的区域D的正向边界，则;(xy x3y3)dx + (x2 x4y

2、2)dy =6 .设L是任意简单闭曲线，a, b为常数，则o(adx bdy) =L7 .设L是xoy平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且口(x 2y)dx (4x 3y)dy 9,则L所围成的L平面区域D的面积等于8 .常数k =时，曲线积分kxydx x2dy与路径无关。 L9 .设是球面 x2 y2 z2 1 ,则对面积的曲面积分$x2 y2 z2ds =10 .设L为o(0,0), A(1,0)和B(Q1)为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分ds =L11 .设 L是从点(1,1)到(2,3)的一条线，则 L(x y)dx (x y)dy=一一、z 22、3 ,12 .设 L

3、是圆周 x a cost, y asint (0 t 2 ),则 (x y ) dS=2 2 2,c13 .设为曲面 x2 y2 z2 a2,则一 x y z dS= 二、选择题1设A P(x, y) i Q(x, y)j，(x, y) D且P,Q在域D内具有一阶连续偏导数，又L： AB是D内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是()A.若 Pdx Qdy与路径无关，则在 D内必有 Lx yB.若LA ds与路径无关，则在D内必有单值函数u(x, y),C.D.2.已知A.使得 du(x, y) P(x, y)dxQ(x, y)dy若在若对(xQPD内 ,则必有xyLAds与路径无关。D内每一闭

4、曲线 C,恒有口 Pdx Qdy,则 Pdx Qdy与路径无关。CLay)dx 2 ydy为某函数的全微分 又为与路径无关的曲线积分被积函数，则 (x y)-1 B. 0C. 1D. 2、一一 一23、设曲线积分Lxydx yxdx与路径无关，其中 x具有连续导数，且i,i0,0xy 2dx y x dy =(A. 38 B. 1/2C.3/4D. 14.设S是平面xyz4被圆柱面y2 1截出的有限部分，则曲面积分yds的值是(S3A 0; B 4*3;C.43；5.设空间区域由曲面z2 . 一_. 一 y与平面z0围成，其中a为正的常数,记的表面外侧为s,的体积为V,则:.-:x2yz2dy

5、dzxy2z2dzdx z 1xyz dxdy =(SA. 0 B. VC. 2VD. 3V26.已知曲线C: x1逆时针方向一周，则xdy ydxC x2A. 0; B. 2 ;C.7.已知 为平面xz 1在第一卦限内的下侧曲面，则(x2z)dxdy =()1A. dx0x/ 2(xx y 1)dy ；1B. dx0(x2y 1)dy1C. 0dyx/ 2(xx y 1)dx；1D. dx022(x yz)dy8.单连通区域G内P(x,y), Q(x, y)具有连续的一阶偏导数，则曲线积分L Pdx Qdy与路径无关的充要条件是()A在G内有一闭曲线，使。Pdx Qdy 0； B2P2Q在G

6、内有恒有C.在G内有另一曲线C,使l Pdx Qdy ° PdxQdy ；D.在G内有恒有x y9.设为平面一一2 3在第一卦限内的部分，则(z 2x4 、ay)dS=() 32a 4 dx03(150 dyB433dx020dy；C 61C.32340 dx 0 W2dx03(1 4)0 dy10.设 L:2212. 2，abxdy ydxA.与L取向无关，与a,b大小有关；B.与L取向无关，与a, b大小无关;C.与L取向有关，与 a,b大小有关； D.与L取向有关，与 a,b大小无关；三、计算题2、 一 一1 .计算曲线积分Lxdx (y x)dy，其中L是圆周x2 y2 1在

7、第一象限中的部分，依逆时针方向。2 .计算 xdydz ydzdx 2dxdy，其中是上半球面z '-'a2 x2 y2上侧3 .设L是由x2 2xy 3y3 6所表示的正向椭圆， ,222、.计算 I = (x 3y )dx (2xy 3y )dyLds4 .计算，L是点A(0, 2)与B(4,0)直线段L x y5 .计算x y ds , L是以O(0,0), A(1,0) , B(0,1),为顶点的三角形闭回路。6 .计算Jx2 y2ds, L 为圆周 x2 y2 Rx7 .计算,xyds, L是圆周x2 y2R2的闭路8 .计算L2xydx x2dy , L分别为下列三

8、种情形。1)从点 0(0,0)经 y X到 A(1,1)2)从点 0(0,0)经 yX2 到 A(1,1)3)从点 0(0,0)经 y x3到 A(1,1)22 .x y dy9.计算L 77L是由直线X1,y 1,x 3,y 5围成的逆时针闭路。10 .计算“LFdS,其中F y i Xj,L是由y X,x ,及Y 0所围成的三角形逆时针闭路。11 .计算口 y dx 2xydy , L是由y x2与y x ,所围成的逆时针闭路。L x 1222212 .计算x y dx x y dy, L是以(0,0) ,(1,0) ,(0,1)为顶点的三角形正向闭路。2213 .计算口 x2 y dx

9、x y2 dy , L是沿椭圆 二、1的正向闭路。La b14 .计算2x y 2zds,:平面 x y z 14 一 x y z ,15.计算(2x - y z)ds,：1 1在第一卦限32 3 4.222_ 2一、16计算 xds,: x y z R在第一卦限部分。四.应用题1 .利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。椭圆x 4 3cost,y 2 4sint2 .设半径为r的球面的球心在定球面 x2 y2 z2 a2 (a 0)上，问当r取何值时，球面 在定球面内部的哪部分面积最大3 .在过点°(0,0)和A( ,0)的曲线族y asinx ,(a 0)中，求一条曲线L,使沿该曲

10、线从。到A的积分l 1 y3 dx 2x y dy的值最小,XX4 .求(esiny my)dx (ecosy m)dy,式中 为由 A(a,0)至 O(0,0)的 x2 y2 ax a 0/l NANC设f(x)连续可导，求1y f(xy)dx y2f(xy) 1dy,式中C是从A(3,2)到B(1,2)的直线段。C yy3五证明题1 .设函数f(x)在(-,+)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b),终点为(c,d),1 、一X 9记 I C y f(xy)dx y f(xy) 1dy yy(1) 证明曲线积分I与路径L无关；(2)当ab cd时

11、，求I的值2 .设L2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证:xdy ydx"l22。A组答案一、1.0； 2. 0； 3. 0 提示：ydx xdy d(xy);提示：2xdx ydy d(x22y-) - 5. W10. 6. 0. 7. 3/228. 2; 9. 4 ； 10. 2 V2 ; 11.二、 2、D3、B3二、1、2 a3、04、8、 19、 3210、14、5315、476T6四、1、122、S 4a3“124> - a m5、-4B组一、填空题：1、设L是顺时针方向的椭圆一.222、设曲线 C为x y-；12. 2 a

12、7 ；24、A5、B 6. B; 7. A; 8.J5ln25、1 J26、111、+ 2ln 212、16、-R34322a3、 y sin x 0272x 2 一一 . ,一y 1淇周长为l,则：(xy4L2 R2与x z R的交线,D; 9. D; 10. D2R27、2R3-113、 2 abx是使曲线积分的为最小的曲线。22 _x 4y )dS .看去 C的方向为顺时针方向，则c ydx zdy xdz 3、计算Q x2dS，其中C :CR24、设 r 弋x y2 z2 ,贝U div gradr2 .2 .y dxdz z dxdy=、一一.一一 222 一.2,.5、设S为曲面x y z1的夕卜侧，则I 0xdydzs、解答题:6、计算门xdy-ydx, C为逆时针方向绕圆周x2 y2 1 一圈的路径。 22C x y7、设函数f(t)具有连续的二阶导数，且 f(1) f (1) 1,试确定函数f(y),使 x2。匕 xf (-) dx y xf (-)dy 0,其中L是不与y轴相交的简单正向闭路径。L x xxa)绕x轴旋转成的8、计算 2(1 x2)dydz 8xydzdx 4xzdxdy,其中是由曲线 x ey (0 y旋转曲面。9、空间立体V由x2 y2 1, z 0, z 2 x