专题训练倒数法与分式方程题库

1、倒数法【例1】已知:X 一- =77 ,x求x2【解析】x-=77,x2 X+ 4-2 =7 ,.xx【巩固】已知：a2=3,【解析】=3 ,2a1求a -的值.a1+ p2=1 ,a【巩固】已知x为实数,1中丄=2，则X【解析】宀 g2 +丄)2 -2 =v=X,2 1 fx+X)-2j -2=2 -【例2】【解析】=J5，求x+-的值.X2 .1【巩固】【解析】【例3】【解析】【巩固】设X -X1 厂21-221x-=j5 , x 2+=5 ,.(x+) =x +2+=9，所以XXX + =±3x若1 a =1，求丄+|a|的值.aa(1 Ta|)2 =2 一2 丄制 +|a|

2、二1,aa a则(L|a|)22 丄制+aa a分析可得a>0,丄+忖。，a2 1 1 1=1，则=+|a|a占-2 +|a|a=3(! +|a|)2 =占 +2 丄)a| +|a| =3 +2 =5 , aa a（05山东潍坊中考）若x+丄=2，求X11 2由 x+=2 可知，(X+)=4XX本类题有一种典型错题，如：已知+|a| =75+X2+1的值.2X4.24 X +x +11X2 +4 +1X13X +丄=1，求x2的值-【解析】11 f事实上：若x+-=1，易得xaO, X+-=|JX-严X I 衣丿+ 2 >2，故x + -=1显然不成立.【补充】（“希望杯”试题）若

3、X +- =3 ,x1 +7x【解析】解析：由X + =3=X2 1X +2 =7 ,x【例4】（湖北黄冈市初级数学竞赛）设【解析】a工0 ,収工0,于是+x+1【补充】【解析】x4X4 +x2 +1=x2 +1+4+3X3 + 2+7XfxJ 丫 x2 +x4X厂1丿2550_12+ x+1=a，其中42x +x+1设一X -mx +1=1 ,由条件知XH0，因而X6 -m3x3 +13 x3 xx6 -m3x3 +1_1宀2亠2a2X 2X +x +11-2a求-"63 3X -m X +12X -mx+1,冃n ,.=1，即 X + =mX+1 ,3,13=x +p-mX1=（

4、x 十1）3 -3x 丄（X +1）X X3m2 2【例5】已知：X -7x +1 =0 ,【解析】 X -7x +1=0,.Tx +1 =7 , Ax2 +XTx2 +占=47 , Axx求xHO , /X + ；（2）X2X 7x+12 1X:X丄 + 2 =49 ,.x2x41+ 2 =2209 ,X【巩固】已知:2a 5a +1 =0 ,求【解析】【巩固】【解析】3c 2c-m =3m -2X4 +4的值.X=0 ,即卩 X +- =7X41X + =2207Xa4 +a2 +1 的值.2 11由 a -5a +1 =0，可知 a H0 ,得 a 5 + =0，即 a + =5aaa4

5、 +a2 +12 1 1 2=a +1+p=（a+） 2+1=24 aa2 2 1X -3x+1=0,求 X +的值.X2 1 2 1 2 1 x 3x+1=0 ,.x H0 ,.x+=3 ,.x +丐+2 =9 , Ax + =7 XX已知:【补充】若x2_3x +1X7 +32x4 +xx + 3x +1【解析】由x2-3x +11+ 2=7 ,x【例6】【解析】【巩固】【解析】【例7】【解析】【巩固】【解析】【补充】【解析】板块四故原式=X3 +I2=0二 X + =3二 XX+32 R + 丄丫X2 +丄 一1 +32I X人 X丿X4 +4r +3X（上海市高中理科实验班招生试题 ）

6、已知:1由条件知：a-1=1，又a（第17届江苏省竞赛题）已知 a2 +4a +1 =0 ,且由已知可得a+i =4 ,已知a是x2-3x+1 =0-a2a4 -3xa2 +21 =0，且一32a +2xa -a昱，求x的值.1122 12(a2 +T -3xa1(a )+2xaa4 +ma2 +1323a +ma +3aa4 +ma2 +1=5c 3,2, c3a +ma +3a的根，求93112，即a2 +丄 +ma2(1 +2) -3x1 +2x14 +m93""112，解得x = -5丄103(a +)+m12+m=5，解得37m =25432a -5a +2a -

7、8aa2 +12-的值.因为a是X23x+1=0的根，所以a2-3a+1=0所以2a5 -5a4 +2a3 -8a2 a 2a2(a2 +1) -Sa3 -8a利用条件a（广西竞赛题x4 +2x +1利用条件a2 +1a2 +11 3= -(a -8a) =-(3a2-9a) = a33-3a = 1-3a +1 =0的各个变形，对分式进行整体降幕是解题的关键4)已知：X2 X-1 =0 ,求 X +2x+1(X +1)2 +2x +12x(x +1)x2+4x+2X+1+4x+25x+32x(x +2x+1) 2x(3x +2)3x +2x5x+32X -X-1=0的各个变形，对分式进行整体

8、降幕是解题的关键已知仮=需一丄，求厂x+2 Jx2+4x= 7a -a +丄=x +2 ,aX +2 + Jx2 +4x X +2 + J(x +2)2 -4X + 2 - Jx2 +4xx+ 2 - J(x + 2)2需=坂:>0= a A-a分式方程X +2 +Jx2 +4xX +2 -Jx2 +4xa+丄+a -丄aa 亠(aja aa +丄+aa一 a_2a _ ： -y -a【例8】下列方程中哪些是分式方程?丄厶7X +1 X2x +9=7X -3x+1 =3X身二空+7=0 (a为字母系数)a +1 a1 1x+-(x-1 )=92 3'X22二+ -x=13 3 3

9、y 一73y +12匚! +aX 3 X 3 =丄X 3 -x= 3(a为字母系数)【解析】思路与技巧分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数程有、点评：判断分式方程关键要看分母中是否有未知数.其中分式方【巩固】【解析】【巩固】【解析】【例9】【解析】【巩固】【解析】【巩固】中没有分母，是整式方程；中虽然有分母，但分母中不含未知数，所以仍为整式方程；是整式方程，分母中不含未知数；不是方程，所以也不是分式方程；不是分式方程，虽然分母中有字母a,但a不是未知数，所以仍为整式方程此方程是否为分式方程：X +丄=2 +1 ？XX为分式方程，不能看化简以后的结果，因为它的化简不等

10、价，取值范围发生变化。总之，只要分母 上含有未知数即为分式方程！此方程是否为一元一次方程:2 ，c2.X +2=x +x是，这个要看化简以后的结果,它的化简是等价的。对于整式方程，要看化简以后的结果!(西城区各校期中考试题)解关于X的方程：5+邛矢岂二红1X -16 4-xx+4原方程可化为 5(x+ 4)(x-4)+96(3x-1)(x+4) Ex-1)4)(X+4)(x-4) (x+4)(x4)(x+4)(x4) (x+4)(x-4)通分整理为2x=16，所以x=8，经检验x=8是原方程的解，.原方程的解是x=8解方程：(1 + )2 + (1 -)2 二-2 y -2y -2y -2将方

11、程展开，得2+2X(丄)2=丑y 2y 2去分母得，2(y 2)2 + 8 =2y(y 2)整理得， Yy =16，解得y =4经检验y=4不是原方程的增根，原方程的解是y=4解关于X的方程：m+ n H0)X一n x-m【解析】X +m x - m )+(x+n x_ n )=2 (x - n x -m2 2 22(m+n x =m +2mn+n =(m+n)2p.(m +n ) m +n又 m +n h0，X =L.2fm+ n2经检验，"呼是原方程的解.原方程的解为2呼【巩固】求x为何值时，代数式【解析】2x +91X +3 X -32x+9X +32上=2 ,解这个分式方程,

12、X丄_2的值等于2.X _3 X333得x=2，经检验，是原方程的根.当x=-222【例10】【解析】【巩固】【解析】事，代数式2x+91x+3X -3-的值等于2.x解方程:原方程变形为:2 +X +x X-X2经检验，x亠=0X -13+x(x +1)x(x-1) (x+ 1)(x-1)=_1是原方程的增根.原方程无解.=0，去分母解得X = 1，丄X-2 x+2T=X+2 X216丄 x-2 x+2+=(2+x)(2X)x+2 x-2方程两边同时乘以(X +2 J X -2 ),约去分母,2 2得占+(x-2) = (x+2 )2 2整理得 X -4x12=x +4x+4解方程4 -X原

13、方程化为解这个整式方程，得 x= -2检验：把x= 2代入(X +2 I X 2 ),得(-2+2 J -2-2 尸 0所以x= -2是原方程的增根，原分式方程无解.点评：解分式议程的步骤为:【例11】去分母，化为整式方程解整式方程写出原分式方程的解解方程：25X7十丄x2-3x+2 x-1 x-2【解析】方程两边同时乘以(x-1)(x-2)约去分母，得5x-7=5x-7.检验，当 x=1,x=2 时，(x1)(x-2)=0 所以 x=1,x=2 是增根，原方程的解是除了1和2的任何实数.【例12】若分式方程 丄+3=口 有增根，求它的增根X 2X 2【解析】移项，得丄，即上口 ,X _2 X

14、 _2X -2弓=3，原方程的增根是x=2【例13】_3 X+2【解析】a为何值时，关于X的方程J + 2axX-2 X -4去分母可得：2x +4 +ax =3x 6，如果产生增根，那么增根为 而增根满足化简后的整式方程，将 当a =/或a =6时，均产生增根 解分式方程组还有一种重要的方法，会产生增根.X =2 或 X = -2 , x=2代入可得a=/，将x = -2代入可得a =6.换元法，我们在初一下，学习二元一次方程组的时候介绍过【巩固】关于X的方程丄+ra =丄X 3 X -9 X +3有增根，求a的值【解析】方程两边同时乘以(x+3)(x3)得，3(x+3)+ax =4(x-3

15、)，即(a-1)x = -21.若方程有增根，则 X = ±3，把X = 3代入中可得a = -6，把X = -3代入中可得a = 8,当a =-6或a = 8时，原方程会产生增根【巩固】已知关于X的方程二JX -X=匸有增根1,求m的值.X +x X -1【解析】原方程去分母，整理得,(X +1) +(m +5)(x -1) -(m -1)x =0把X =1代入上面方程，解得 m=3【例14】若方程丄+丄=0无解，求t的值X2 x+2【解析】去分母，得(x+2)+ t(x-2)=0，整理关于X的一次方程，得(t+ 1)x=2(t-1),当P +1 =0 ，即t =_1时，原方程无解

16、2(t -10当x=2或x=-2时，原方程有增根，原方程无解【例15】分别将X =2,x = -2代入方程当综上，当t =-1或t =0时，方程已知解方程上笃+1 =匚£4XX2x=2时，无解；当x = 2，解题t=0.丄+丄=0无解.x-2 x+21时，不会产生增根，求实数 k的取值范围.+X +2【解析】去分母整理得：(X +2)(k k2) =x2 5x 2若产生增根，则必是 X值使(x+2)(x-2) = 0即X1 =2, X2 = -2的情形当N =2时式成为0 (k -k2) =12无解2当*2=2时，式成为4(kk)=七，得：k1=1*2=2 当ki工1且k2 H2时，

17、原方程不会产生增根【例16】1X2 =一3阅读并完成下列问题：1 1方程X + =2的解是X1 =2 , X2X 211 10=丄；方程X+丄二10的解是X1=3 ,2X 3观察上述方程及解，可猜想关于X的方程X + =c +-的解是X c;用求出方程的解变为方程的形式是a 1的方法证明这个猜想.把关于X的方程X -X+1 =a +X-1方程的解是进一步猜想方程的解是Xc，直接写出方程【解析】2x x+ 2=a的解是.a11X2 =,cX1Xi =c，验证：去分母，得 ex2-(c2 +1+ c=0, (ex-1 x-c )=01X1 = , X2 =c .c按方程的形式变形为1 1X 1 +

18、=a 1 +.X 1a 1aX2 =a 1令X 1 =a 1或X 1 =1，便可得方程的解为X1 =a ,a1mX1 =c ,X2 = ;X1c_a +1a , X2 = .a 1【例17】(2005年五羊杯)1方程【解析】+(X1)(x +2)(X +2)(x+5)311=(X 3)xX 3 X+ _(x+5)(x+8) (x+8)(x+11) 3x324【巩固】【解析】方程两边乘3，拆项、化简得:(“祖冲之”杯竞赛题)解方程方程1J X+丄x+1 X X +421X +x11 _X x+11 1故 x(x +4 )=211x+11=-, x=-381 + + =!2 2X +5X +6 X

19、 +7x+122142+ =可化为：X + 5x+6 X +7x+1221丄114十一=x+3 X+421_ _4_x(x+4)212=x +4x21=0，即(X3 1 X+7 ) = 02 + X +x X +3x+2+ 1 1+3x+2 一丄+X +24【例18】【解析】【巩固】【解析】【例19】【解析】【巩固】【解析】故X =3或者x = 3，经检验，均是原方程的解.解方程：口+上8X 5 X原方程可变形为:X 7 X 5=+-9 X _8X -61 1+_X+1 +=1-5 X 9+1X-81+X 6化简，去分母可得:2-11X+30 =x -17x+72 ,解方程匕+沁x+1 x+7

20、X+6+5 + x+4X +3x+2 x+5 x+4 X +8 x+1 X +6 X +3 X +7 (x+2)(x +5) -(x+6)(x +1)(x+1) (x+5)44(X + 1)(x +5) -( x+ 3)(x +7)(X +3)(x +7) =(x +1)(x +5)4x = 16， X = -4解得x=7，经检验，x=7是原方程的根.(x+4)(x+7)-(x+8)(x+3)(x+3)(x+7)经检验x=4不是原方程的增根，原方程的解是（五羊杯数学竞赛）解方程： 竺空 +口 二4仝+竺x-19 X9 X6x-8()+(1 +匕)=(4 +宀+(2 - 5 X 19X 9X 6

21、测 1155即：=X9 x-19 X6 x-8Q8)，X 19 X + 9(X9)(x 19)5(x8) 5(x6) 二(x-6)(x-8)-10-102X 28X+1712二 X 28x +171即：14x=123，2X 14X +482=x -14x+48123 x-123 经检验:14123x=q是原方程的根.142 2初七护 X +x3 丄，2x +4x+l解万程 +1 =X +x -2X +2x +12 2X +x 2 1 丄 2x +4x+ 2 1十1 =2X +x 22X +2x+1-1+1 =2 =X +2x+1-12 X +x-2-1=2 X +2x+1x2 +x-2 =x2

22、 +2x +1X =3经检验x=£不是原方程的增根，原方程的解是 x = -3223【巩固】解方程 3x + 9X+7 2x +4x_3 X +x+1=0.2X +1X 1X -1223【解析】方程3x +9x+7_2x +4x-3_ X +X+1 = 0可化为: x+113x +6 +x+1132x +1x+1 X -1 X -1故x = -5，经检验，4X -1X -1"、32x +1C-(2x+6) 一x- = 0X _1X -1X -1是原方程的解.2讲解此题之前，可以先讲如何使用多项式除法或逐步满足法将分式X +bx+c拆分成两个式子之和的x + a形式.!- +

23、- =0.(1)【例20】解方程组：/ y亠上 =0.X +4y-3【解析】此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解. 去分母：将方程两边同乘以xy，得：4y+5x=0将方程两边同乘以(X + 4)(y-3得：x(y-3)-(y+ 3 J x +4)=0,整理方程：xy-3x_(xy+4y+3x+12)=0 ,xy -3x -xy -4y -3x 12 =0.6x+4y =2 原方程组化为:5x+4y =0.(3)6x +4y = 12.(4)解方程组：-得：x=12把 x=-12代入，5X(12)+4y =05X(12 )+4y =0 /.y =15lx =-12/将

24、4代入原方程组检验适合J=15原方程组的解为?"12J=15【例21】(临沂市数学竞赛题)解方程：口+注23X 2X 3【解析】X 3X 2设=a , =b，则原方程可化为:231 1a +b =- + - , (a +b ab -1 )=0(X -2 I X-3 )_1a b故a + b =0或者ab =1，即3 + _ =0或者2313解之得，x=，或x=0,或x=5，经检验，均是原方程的解.5阪+E J【巩固】解方程组Jx y 2 口=2X y 10【解析】把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组,目前我们还不会解这类方程组若认真观察这个方程组得特点，

25、则原方程组可写成1 _1y 21 1，只需把-，-分别看作 1一3丄二X yy 10是一个整体，则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解、八11攻一 =m, =n .X y则原方程组可化为解这个方程组，得I1i6m +6n =2 .3:8m 3n I 1011y 30u丄20，即u丄30卜=20y =30tx =20经检验4 - 是原方程组的解.y =30X +y3【例22】解方程组4 3 xy=3X -yX +y + 22【解析】按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，去解即按例1方法去解此方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解.因此观察特点，特别是反复出现的字母形式,再利用换

26、元思想(或叫整体代换)去解这个方程组.1设 X + y =m,X -y=n则原方程组变形为m c 1!3n =p6呼2n=3.12化简整理方程组：将方程两边同乘以6，得：2m-18n=-1将方程两边同乘以 2得：m+4 n=62m18n = T原方程组化为4丄m +4n =6(4)解方程组：,4)X21.n =-21把n = -代入2'm =4m +4x12Jx+y =4Jx-y =2(6)fX +y =4 即« 11I=一x-y2再解方程组:+得X =3X 3将x=3代入得y=1/I八，故 t =2+64 t 32t 一tIX =3经检验：4是原方程组的解.J =1点评：1

27、、换元法是初中数学中要掌握的一种重要的数学方法，尤其是换元法在各类的解方程中的运 用，更为重要它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学习数学知 识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法这种换元的方法将来在初三还会专门学习.2、“换元”是求原方程未知数的值的一种手段，不是目的.目的是求原来未知数（如x,y ）的值所以当求得辅助未知数（如 m , n）的值以后，一定要把原来未知数（x,y ）的值求出来.也可以用换3、由以上两个例题可以看出，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法， 元法.究竞用哪种方法合适，要具体问题具体分析.11丄2,lx16y3【巩固】(第7届华

28、罗庚邀请赛)解方程组：r ' 6y 有一个正数解，求 m的取值范围.X 311c=0 2x 2 2y-1【解析】b=2y -1我们也可选设“单位1:|a +? b =1，则原方程组化为«3 ，解得黒b = 0l21 , 1a = , b ：=.X 16y 3_34，即Xj 3 I 18【例23】（第八届美国数学邀请赛试题）【解析】2X -10X-29 设X2 -10X *5 =t，则原方程可化为： 1 +1 -一2 =0 , 解之得，t =-6 t +16 t t 242 2故 X 10x45 =-6=x 10x-39 =0中 X2 -10X-45 -7X =4，解得i 33

29、I11i二一y=2y1 8I6x2-10x-69 一0(X + 3 J X -13 )=0= X =-3或 X =1310x 37=t，则原方程可化为:点评：下面提供一种更好的换元的解法，设1丄 122t2+ =0 , =t -8 t +8 t 32 t 64 t 32【变式】（泰州市数学竞赛题）解方程:+2 2x +11x8 x +2x8+x2T3x-8=0【解析】2设x -8=y，则原方程化为:1 1 1+=011x +y 2x + y y _13x 整理可得，y2 =49x2，故y=±7x 若 y =7x，贝U X2 _7x -8 =0，(x +1 jx 8) = 0，故 x

30、=_1 或 x =8 ； 若 y =_7x，贝y X +7x 8 =0 , (x-1 x+8 )=0，故 x =1 或 x =. 经检验，上述四个值均是原方程的解.【例24】【解析】解方程 X2 +4 3(x +1) +4 =0XX1设x+-y，则原方程可化为IXI 2I(X+) -3(x+-)+2=0,XXyi-3y +2 =0，解方程得:% =1，丫2 =2=1时，有X +丄=1，即XX2 -x +1 =0，此方程五实数根y21 2=2 时，有 X + =2，即 X2 -2x +1 =0，解得：X =1X【补充】【解析】经检验，X=1是原方程的根,（湖北孝感市竞赛题）解方程原方程的根式 x

31、=1.xVx-1 疔-1 41 "坂 +1 4设坂=t，则X =t3，原方程可化为:t4 1 t2 -12=4t -1 t +1t2 -t 2 =0解之得，t = -1或者t = 2故 X =1 (舍)或 X =8.分式方程应用【例25】已知关于X的方程 -2X 3【解析】原方程两边都乘（X-3），约去分母得，x-2（x-3）=m，所以x=6-m，因为原方程有解，所以6-m不能为增根，即 mH3，又因为方程的解事正数，所以6mA0,m<：6，所以当m<:6，且mH3时方程有一个正数解.【巩固】当m为何值时，关于X的方程口_亠x_2 x+3【解析】去分母得5x = m 一3

32、，解得X=的解为负数?(x-2)(x +3)<0，解得 m<3【巩固】【解析】【例26】【解析】当m<3时原方程的解是负数已知关于x的方程X 2(x 3) =m-2= 有一个正整数解,X 3X 3求 m的取值范围.X =6 -m方程有一个正整数解， 6-m>0且6-m是整数m <6且m是整数当m取小于关于X的方程由题意知X解不等式组综上可知,6的整数时，原方程有一个正整数解X1 +2 -x X=4去分母得X -42的解也是不等式组-42X -4-x(x +2) =2m ,H:t2，一m2H:t2，即 mr,且 m H01-XC> X 2 2的一个解，求m的取

33、值范围.2( X 3)兰 X 8解得x = m-2XCI>x 2 2得 x<2，即一 m-2<-2 ,；m>02(x 3) <x 8m的取值范围是m > 0【例27】【解析】关于X的两个方程x2-x-2=0与丄=丄有一个解相同，则 a =X 2X +a2 1 2方程X -x -2 =0的解为X| =T,X2 =2 , X =2不是方程=的解x-2x+a共同的解是X =-1貝tmi归课后练习练习1.已知2 a17 =7，求 aa"【解析】-a21 + 2"=72 1 ,a +2aaX2练习2.已知=3，求4 XXX +x【解析】X4十 X2

34、 +12 X2 +1 +亠x+-的值. a1 2+2 =9，即(a +)2 =9 ,呼1的值.练习3.若x? +4x +1 = 0 ,则=(x + 丄)2 -2+1 =8 ,XX2x4丄 2丄彳 x +x +142X +19x +12x3 +19x2 +2x2 1【解析】x +4x +1 =0= X +-=-4 ,x42X +19x +1_2x3 +19x2 +2x 2 1 x +19XvTj2 x+ +19V X丿f 1 ¥!x+17X丿2 x + +19V X丿卫=3117x10=2X -6x+8练习4.解方程 一 + 22x5 X +x -6 X -x -12【解析】这个分式方程的各分母都是多项式，应先分解因式确定最简公分母，从而转化为整式方程来解答舌亠工口r卄W亠5x丄2x57x10原万程可变形为： + =(X-2JX +3) X -X-12 (x-2j(x-4)方程两边都乘以(X -2 )(x+3)(x-4 ),得 5x(x-4 )+(2x-5)(x2)=(7x10 Jx+3) 整理，得r0x = 40- X =1检验，当 x =1 时(x-2)(x +3j(