不定积分习题和答案

1、不定积分(A)求下列不定积分1)dx-2xdx2)3)(x2)2dx4)2x77dx1x25)23x52xxdx3xcos2x2；-2dxcosxsinx7)x3(2ex-)dxx8)(1口).x.xdxx求下列不定积分(第一换元法)1)(32x)3dx2)dx323x3)5)7)9)11)13)15)17)sin,t*dt4)dxxlnxln(lnx)dxcosxsinx，2、，xcos(x)dxsinx,一dxcosxdx2x21sin2xcos3xdx39A7dx2arccosx10.dx1x28)10)12)dxxxee3x3"x-1-x-dx94x2cos3xdxtan3x

2、secxdx14)2-dx16)3cosx4sinxarctan、.x,dx18).x(1x)143、求下列不定积分（第二换元法）1)2)sin,xdx3)24一x4dxx4)2x_dx,(a0)22ax5)7)dxdx1、2xdxx、1x28)dx1.1x2求下列不定积分（分部积分法）1)xsinxdx2)arcsinxdx3)x2lnxdx4)2xxesindx25)2xarctanxdx2xcosxdx7)In2xdx8)22xxcosdx2求下列不定积分（有理函数积分）1)3xdxx32)2x32x23xdx103)dxx(x21)(B)1、一曲线通过点2、（e,3）,且在任一点处的切

3、线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。2、已知一个函数F（x）的导函数为*132/1x，且当x1时函数值为2，试求此函数。3、证明：若f(x)dxF(x),1f(axb)dxF(axab)c,(a0)sin4、设f(x)的一个原函数为(x)dxo5、求下列不定积分1)Cos2xdx2)1sin2xdx3)11arctan-2xdx1x24)x1xdx.1x5)dx(x2a2)(x2b2)x2axdx7)lnx,dxxk1lnxarctanxxe(C)求以下积分1)xxedxex12)3)arctanex,-2dxe5)5xxdx8x18)4)(1x2)dxsin(2x)2sinx5xd

4、x43x1sinxcosx,dxsinxcosx第四章习题不定积分(A)1、（1)(2)2x，c3(3)2,2x4x(4)xarctanxc(5)(7)2、（(3)(5)(9)(11)2x2ex1)ln2ln33lnx8(32x)42costclntanxn(x2)212cos2x(4)(6)(8)(cotx24(x2_7)74'x(2)i(2tanx)c23x)3c,2x1-ln,广2.22x11cosx"x(13)210(6)(8)InInInxarctane3ln14一arcsin(10)2sin(12)一sec(14)33sinx12一一.：.94xc4secxc12

5、92.-x_ln(9x)(15)221arctan(16)232.3c102arccosxc(17)2ln10(18)(arctan、,x)2cIncsctcott3、2(VxcosVxsinMx)c2(tan(3)2x242、arccos)2x(4)2/.x(arcsin一ax22、2.ax)ax(5)1x2.2x1n(1.2x)c1(arcsinx2In.1c(8)一一xarcsinx1,14、(i)xcosxsin(2)xarcsinx.1x21x3Inx3(4)2e172X(x.x(cos4sin)221x3arctanx31ln(162)(6)xsinx2xcosx2sinx2xln

6、x2xlnx2xc1x(8)612.xsin2xxcosxsinx5、9x271nx3(2)1nxInxIn(4)(B)1n(5)设曲线y21n(11n221n2x2xf(x)1)c121,ln(x1)arctanx42交arctan2x1、3由导数的几何意义:1dxx1nx/2-、点(e,3)代入即可。L,、一、1F(X)f2设函数为F(X),由dX,得(12)F(x)f(x)dxarcsinxC(1，c)，代入2即可解出C由假设得F(x)f(x),F(axb)f(axb)，故f (ax b) dx1，、F (ax b) ca。1F(axb)F(axb),a4、把f(x)凑微分后用分部积分法

7、。2x1cosxcos-5、(1)用倍角公式：22(2)注意c0sxsinx0cosxsinx0两种情况。(3 )1arctan -arc cot x,-利用 x1dx xd(arc cot x)o(4)先分子有理化，在分开作三角代换。(5)化为部分分式之和后积分。2.(6)可令x2asint。22(7)可令xa(ba)sint,则bx(ba)cost(8)令$1nxto(9)分部积分后移项，整理。arctanx(10)凑e后分部积分，再移项，整理。tan-t(11)令2dx卜3/77卜3:(x2)(12)变形为1 再由、x2后，令x2C1t22-dx2tdt,两端微分得(x2)(C)1)解：

8、令uln(1 u2),dx2u1 u2du_2_22ln(1u2)du2uln(1u2)所以原式4u2du2、，,2uln(1u)4u4arctanuc2xex14.ex14arctanex1c2)解：方法一：dx1d(。)1d(ta吟2sinx(1cosx)4.x3x4,x2xsincostancos一tan2,x tan2x2d(tan.1 x 2 x tan821 1 1 x 一 In tan 方法二:令* tsin xdx2、，/ 一、方法三：变形为2(1 8s x)(1 8sx),然后令cosx再化成部分分式积分。3)解：原式1 arctanexd(e 2x)2e 2x arctan

9、ex 2d(ex)e2x(1 e2x)原式222212x . x一earctan e21 _ 2x _x一 e arctane2d(x3 *)11 r2x.xdu.earctane2-(令exu)2u(1u)dudu2 42u1ux,xearctanec33(x31)4d(x31)(x31)1'd(x31)74344(x1)4(x21931尸3xx.-4dxxxd(x2(x2x2)2)22,令u5）解：原式12sinxcosx6）解：原式2sinxcosxdx1(sinx、2cosx),dx2sinxcosx112sinxcosxdx(sinxcosx)12.2d(x4)sin(x-)l(sin