《高等代数》试卷

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持河南理工大学20092010学年第2学期高等代数试卷总得分阅卷人复查人考试方式本试卷考试分数占学 生总评成绩比例闭卷80%线一、填空：（每小题5分，共55分）万学1.万:二学二：23.因4.三知：3阶5 .:因1数尊拿t满足（aj）n n的全体特征值的和等于C看成复数域C上的线性空间，它的维数是实二次型f （X1,X2M|,Xn）的规范形由所唯一确定.时，二次型 f（Xi，X2，X3） X2 x2 5x： 2tx1X2 2X1X3 4X2X3 是正定二次型.,全体特征值的积等于A的特征值为1,2,3，则A3 5A2 7E的特征值为4文

2、档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑数集各C看成实数域R上的线性空间，它的维数是A是一个正交矩阵，那么 A 1A =7.已知a是数域P中的一个固定的数，而是Pn的一个子空间，则a =8.设AC88 ,若A的初等因子为:1,是线性空间V的一组基,则由基:1 , 2,3到基2, 3, 1的过渡矩阵T=1纥设线性空间P3的线性变换为:则.在标准基1, 2, 3下的矩阵为11 .设由a b|a,b R , W2b 02a 0|a,b R0 bW2叫W2 二则W1得分二、计算与证明：（共45分）1. （5分）证明：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A B也是正定矩阵.2. （15 分）已知二次型 f

3、x1,x2,x3x122x22x；4x1x24x1x38x2x3，求一个正交变换X PY,把二次型f（X1,X2,X3）化为标准型.3. （10分）设Vi与V2分别是齐次方程组X1 X2 I xn 0P2 2的一个线性变换如下:与XiX2IXn的解空间，证明PnV1V2.4.(15分)设P22是数域P上的2级全体方阵所成的线性空间，定义(1) 求在基Eii,Ei2,E2i,E22下的矩阵;(2) 求的值域.答案一、填空：(每小题4分，共56分)i)f的秩和正惯性指数p;2)4)3,-5,-ii;5)i,2;iiiiii7) i,ni;8)一ii1 00、i010) 0i0;ii)L(001 i

4、0二、计算与证明：(共44分)1. (5分)证明：令fXT(AB)X4t0;3)ana22ann,A;56) A,i;00i;9)i000i0iiiii0i00i0i0,0i),L(00)则fXT(AB)XXTAXXTBX0, XTBX 0因为A,B都是正定矩阵，所以对任意的X0,有XTAX所以fXTAXXTBX0,则二次型fXT(AB)X为正定二次型,所以AB为正定矩阵。2. (i5分)解i2二次型f的矩阵为222424|EA(7)(2)22故A的特征值为i7,232.当i7时，解方程(A7E)x0,由得基础解系2时,解方程(A得基础解系2正交化得再将3单位化得于是正交矩阵为X1则正交变换为

5、X2则有f7y2_22y23.证:X1X2HI323232E)x0,P2_22y3.1,0,1,|,0)，nX1x2因为由所以251525451P3_2_3.543;553:50的解空间是IXn的解空间的基为1，2,|，1,构成的矩阵又因为dimPn所以PnV1V213.5y1y2y3n1维，基为1(1,1,0,|,0),1,0,0,|,1),(1,1,1|(|,1),A满足A为Pn的基，故PndimV,dimV2V1(1)n1n文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持1004.解1)E11AE11(E11,E12,E21,E22)1010类似有设在基Eii,Ei2,E21,E22下的矩阵为B,则2)令B(1,2,3,4),其中i为B的列向量，