弧长的公式扇形面积公式及其应用

1、【本讲教育信息】 一.教学内容：弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积二.教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三.重点及难点重占：八、1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点1、弧长公式因为360。的圆心角所对的弧长就是圆周长C = 2丁 R，所以1°的圆心角所对的弧长是27R即I兀尺J _ n兀R弓而' 面，于是可得半径为 R的圆中，n°的圆心角所对的

2、弧长I的计算公式："而，说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如,圆的半径R = 10,计算20°的圆心角所对的弧长 I时，不要错写成1创。(2)在弧长公式中，已知I, n, R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为在圆的面积的一部分，因为圆心角是肿R,圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所 360。的扇形面积等于圆面积 頑'，所以圆心角为1°的扇形£ 二旦刀前 的扇形面积的计算公式是效 。遊可写成丄又因为扇形的弧长1汨，扇形

3、面积3曲面积是3曲，由此得圆心角为 n2 ISO，所以又得到扇形面积的另Sjgjjg = 个计算公式：2知识点3、弓形的面积(1) 弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。(2) 弓形的周长=弦长+弧长(3) 弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB的面积和 AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。(1)当弓形所含的弧是劣弧时，如图AC"门1所示,2所示,当弓形所含的弧是半圆时，如图 例：如图所示，O O的半径为 用疔表示）3所示，2,/ ABC = 45用=亍/芈a，则图中阴影部分

4、的面积是（）（结果B当弓形所含的弧是优弧时，如图分析：由图可知 2蘇£礙診亡£卜3、由圆周角定理可知/ ABC = 3 / AOC，所以/ AOC=2/ABC = 90°,所以 OAC是直角三角形，所以所以呂阴S '廊庭口血匚-卞-2注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆面积扇形面积公 式c =加尺C = 7idS-"3(50S=乜1皆 3甜£=ilR3（2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓形的联系与区别图 示;J)' j' -1 -Wlit面积% =yE园知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面

5、展开图是一个扇形， 如图所示，设圆锥的母线长为 I，底面圆的半径为r,那么这个砌=扇形的半径为I ,扇形的弧长为2加,圆锥的侧面积,圆锥的全面积E全三Sq 4务=斯+炉2 =册（+?）说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2 ）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆 锥全面积与侧面积之间的关系。知识点5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r ,高为h ,则圆柱的侧面积弘 2那",圆柱的全面积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形S匕-匸-图形的形成过程

6、由一个直角三角形旋转得到 的，女0 Rt SOA 绕直线 SO 旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。图形的组成 侧面展开图的特征一个底面和一个侧面 扇形两个底面和一个侧面 矩形面积计算方法S|g - TillS仝-S购+ S直 Tol +打之S 栖-27x11S仝曽M +2£慝-2TO-h+曲【典型例题】例1.（2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为部分的面积是（）2, 1,/ AOB = 120°，则阴影41TA. 4兀B.加 C.D.分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为360-ZAOB =240224033阳昏= Sq =

7、XX 37EX 1= 3 JE所以阴毎】7充0顶故答案为：B.打J例2. （2004 陕西）如图所示，点 C在以AB为直径的半圆上，连接2tan/ BAC = 4 ,求阴影部分的面积。AC , BC, AB = 10 厘米,分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为 90°,（ 2） 组合图形面积的计算。解：因为AB为直径，所以/ ACB = 90°,3竺在 Rt ABC 中，AB = 10, ta n/ BAC = 4,而 tan/BAC = AC 设BC = 3k, AC = 4k,（ k不为0,且为正数）由勾股定理得 9k'4 16k' = lD

8、D,mtk = 2解直角三角形的知识（3）所以 BC = 6, AC = 8, jpErn25JC225= S * m S - 1 24所以陀上0 昨3AOB ,F,如例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB 点C, E, D分别在OA , OB及AB弧上，过点 果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为（的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形A作AF丄ED交ED的延长线于F，垂足为）En FOD =分析： 连接 OD，由正方形性质可知/EOD =/ DOC = 45 °，在 Rt OED 中,Joe' +de2因为正方形的边长为1 ,所以OE= DE = 1,所以

9、0Q =忑,设两部分阴影的面积中的一部分为 M，另一部分为N,则M £矗思砂岀N 抵就远-%彩®，阴影部分面积可求，但这种方 法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P,因为/ BOD =/ DOC，所以5膽丽OD = *耐0坯所以航+ iOED = P+ AOCU*所以山旣=iOCD所以M = P,所以'阴笔= IVI+NmP+N Y 褪矗 ZFD '地痔 CIAHE1 JETfyOCDE -。区 0直-°E'=忑-1答案：血-1。例 4.如图所示，直角梯形 ABCD 中，/ B = 90°, AD / BC , A

10、B = 2, BC = 7, AD = 3,以 BC 为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的， 得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解：作DH丄BC于H，所以DH = AB = 2CH = BC BH = BC AD = 7 3= 4在 CDH中，CD = JdH 】十 ch 2 = JH 十 4】=2-J5所以S表=B莎I也+ S凰吕曲十呂琏=CD十“ 朋 AD十JI （A0卩=4 J5兀+ ISti例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°,面积为3

11、00T平方厘米（1 ）求扇形的弧长。（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？CS分析：（1）由扇形面积公式号&0，可得扇形半径R,扇形的弧长可由弧长公式S= n箔0求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ,（ 1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C= 2疔r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高 AD可在Rt ADC中求得，所以 解：（1 ）设扇形的半径为 R,S曲用=丄兀R'3Qan = 由色聘迪 ，得扳 ,解得R = 30.1n 口 120 兀廿”1 =tR. =K 30 = 20-Jt所以扇形的弧

12、长1甜ISO（厘米）。（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB = AC = R= 30,因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以2皿=20瓜所以=10在Rt ADC中，高AD =莎不云 =屈兀頑=前忑宮i戢C =-直D BC= -x2072 xaO = 2002所以轴截面面积22可求。BC = 2r,底面圆周长 C = 2 r,（平方厘米）。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是 45°,面积为2沢，则这个扇形的半径是（A. 4 B. 2 拒 C. 47 JID. 2 忑刃2. 扇形的圆心角是60。，则扇形的面积是所在图面积的（A. 5 B. 6 C.夕

13、 D. 123. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（1册A. 90 ° B.兀4. 两同心圆的圆心是圆半径的3倍，则扇形A. 2倍 B. 3倍5. 半圆O的直径为6cm, / BAC = 305-：屈'B. 4C.晝 D.180 °O,大圆的半径是以 OA , OB分别交小圆于点 M , N .已知大圆半径是小 OAB的面积是扇形C. 6倍 D. 9倍OOMN的面积的（ ），则阴影部分的面积是（D.»6用一个半径长为 6cmA. 2 cm B. 3cm7. 圆锥的全面积和侧面积之比是A. 30 °B.60 °的半圆围成一个圆

14、锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（C. 4cm3 : 2,这个圆锥的轴截面的顶角是（C. 90D. 6cmD. 1208. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为它们的高之比为（）1 : 2,则A. 2 : 1 B. 3 : 2 C. 2 罷:的 D. 5: 2屁9.如图，在 ABC中，/ C = Rt厶 AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面 积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为 52,则（）A. S1= S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2二、填空题1. 扇形的弧长是12刃cm,其圆心角是9

15、0 °,则扇形的半径是 cm，扇形的面积是2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是_3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为 :4在 ABC中，AB = 3, AC = 4, / A = 90°,把Rt ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥, 其全面积为S1；把Rt ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为5. 一个圆柱形容器的底面直径为子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，2cm2.S2,贝 U S1 : S2=02cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖这个扇形的半径至少要有cm 06.如

16、图，扇形AOB的圆心角为 的面积是 。60°,半径为6cm, C, D分别是典E的三等分点，则阴影部分4f)07.如图正方形的边长为 2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为。ft三、计算题1.如图，在RtAABC中，AC = BC，以A为圆心画弧DF ,交AB于点D，交AC延长线于点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（沢取 3）。F2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是 S2,如果圆锥和圆柱等底等高，求耳.3. 圆锥的底面半径是 R,母线长是3R, M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕