圆的标准方程与一般方程

1、圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢如果能，这个方程又有什么特征呢 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为 都是常数，r>0 )设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点 出)P=M|MA|=r,由两点距离公式让A(a,b)，半径为r。(其中a、b、rM满足的条件是(引导学生自己列 学生写出点 M 适合的条件J(x a)2 (y b)2化简可得：(X a)2(y b)2引导学生

2、自己证明(Xa)2 (yb)2r2为圆的方程,得出结论。r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。方程就是圆心为A(a,b),半径为3、知识应用与解题研究例(1):写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5, 7),M2( 75, 1)是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。2 2 2探究:点M(X0,y0)与圆(x a) (y b) r的关系的判断方法:(1)(X0a)22 2b) > r ,点在圆外(X0a)2b)2=r2，点在圆上(X0a)2b)2 <r2，点在圆内例(2):ABC的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, 3),C(2,

3、 8),求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程(X a)2 (y b)2 r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定 a b、r三个参数.(学生自己运算解决)例(3):已知圆心为 C的圆l : X y 10经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心在l : X y 10上,求圆心为C的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2, 2)，由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心 C是直线I与直线m的交点，半径长等于|CA或|CB。(教师板书解题过程)总结归纳：

4、(教师启发，学生自己比较、归纳)比较例(2)、例可得出VABC外接圆的标准方程的两种求法：、根据题设条件，列出关于 a b、r的方程组，解方程组得到 a、b r得值，写出圆的 标准方程.根据确定圆的要素， 以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.课堂练习：课本Pl27第1、3、4题4.提炼小结:1、2、3、圆的标准方程。点与圆的位置关系的判断方法。根据已知条件求圆的标准方程的方法。圆的一般方程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入概念形成与深化问题：求过三点 A (0, 0), B (1 , 1), C (4, 2)的圆的方程.,利用圆的标准方程解决此问题显 然有些

5、麻烦，得用直线的知识解决又有 其简单的局限性，那么这个问题有没有 其它的解决方法呢带着这个问题我们 来共同研究圆的方程的另一种形式一 圆的一般方程.请同学们写出圆的标准方程:(T-a)2 + (y -b)2 = r2,圆心(a, b),半径 r.把圆的标准方程展开，并整理：,X2 + y2 -2ax -2by + a2 + b2 -2=0取 D = -a, E = 72b, F = a2 + b2 - r2 得 X2 + y2 + Dx + Ey+F = 0 这个方程是圆的方程.,反过来给出一个形如 X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一 定是圆吗I把 X2

6、+ y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得D? E?4F (配4)这个方程是不是让学生带着问题进行思考设疑激趣 导入课题./ D2 / E 2 I(X 3)(y 7)-方过程由学生去完成表示圆I(1 )当 D2 + E2-4F> 0时，方程整个探索过程由学生完 成，教师只做引导，得出圆的 一般方程后再启发学生归纳 .圆的一般方程的特点：(1) X2和y2的系数相 同，不等于0.没有xy这样的二次项.,(2) 圆的一般方程中有三 个特定的系数D、E、F，因此 只要求出这三个系数，圆的方 程就确定了 .(3) 与圆的标准方程相比 较，它是一种特殊的二元二次 方程，代数特征明显，圆的

7、标 准方程则指出了圆心坐标与半 径大小，几何特征较明显.通过 学生对圆 的一般方 程的探究， 使学生亲 身体会圆 的一般方 程的特点， 及二元二 次方程表 示圆所满 足的条件.表示以(D,三)为圆心，2 24F为半径的圆;(2 )当只有实数解XD2 + E2 -4F = 0 时，方程夕,y I，即只表示一个点(三' 2)；'(3)当 D2 + E2 -4F< 0 时，方程 没有实数解，因而它不表示任何图形 ., 综上所述，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2 -4F >0时，它表示 的曲线才是圆，我们把形

8、如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的 一般方程.例1判断下列二元二次方程是否 表示圆的方程如果是， 请求出圆的圆心 及半径.,(1)(2)解析：4x2 + 4y2 -4x + 12y + 9 = 0 4x2 + 4y2 -4x + 12y + 11 = 0,(1)将原方程变为229x2 + y2 -x + 3y + - = 049D = -1, E =3 , F = . 4D2 + E2 -4F = 1 >0.此方程表示圆，圆心(应用举例半径r =12 (2)将原方程化为,11+= 014X2 + y2 -x + 3yD = E =3 ,11F =4

9、D2 + E2 -4F =此方程不表示圆.-1< 0.例2求过三点 A (0, 0), B (1, 1),C (4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半 径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出 圆的标准方程，而圆的一般方程则需确学生自己分析探求解决途 径：用配方法将其变形化成 圆的标准形式.运用圆的一 般方程的判断方法求解.但是， 要注意对于(1) 4x2 + 4y2 -4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D =9-1, E = 3, F -而不是 D =4-4, E = 12 , F = 9.通过例题讲解使学生理解圆的-一-般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养

10、学生探索发现及分析解决问题的能力.例2讲完后,学生讨论交流，归纳得出 使用待定系数法的一般步骤：1 根据题设，选择标准方 程或一般方程.F即D4DD= -8, E=6,2 2X + y -8x+a、2 .根据条件列出关于b、r或D、E、F的方程组；3 .解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程 .教师和学生一起分析解题 思路，再由教师板书.分析：如图点A运动引起 点M运动，而点A在已知圆上 运动，点A的坐标满足方程(X + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐 标之间的关系，就可以建立点 M的坐标满足的条件，求出点 M的轨迹方程.所以，点M的轨迹是以(3,3)为圆2 2心

11、，半径长为1的圆.定三个系数，而条件恰给出三点坐标， 不妨试着先写出圆的一般方程.,解：设所求的圆的方程为：X2 + y2 +Dx + Ey + F = 0- A (0, 0), B (1, 1), C (4, 2)在 圆上，所以它们的坐标是方程的解 .把 它们的坐标代入上面的方程，可以得到 关于D、E、F的三元一次方程组：,0E F 202E F 20解此方程组，可得：F = 0,所求圆的方程为：6y = 01r 丄E2 4F2D 4, F 3,2 2得圆心坐标为(4, -3).,或将X2 + y2 -8x + 6y = 0左边配方 化为圆的标准方程，(X -4)2 + (y + 3)2 =

12、 25,从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标 为(4, H3). yLo课堂练习：课堂练习丿XP130 第 1、2、3 题.归纳 总结1.圆的一般方程的特征2 .与标准方程的互化3 .用待定系数法求圆的方程4 .求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学 生更进一 步(回顾) 体会知识 的形成、发 展、完善的 过程.4.1.1圆的标准方程、基础过关1. (x+ 1)2+ (y-2)2 = 4的圆心与半径分别为(A . (- 1,2), 2 B . (1 , - 2), 2C. ( 1,2), 4 D . (1 , - 2), 42. 点P(m2,5)与圆X2+ y2= 24的位置关系是(A .

13、在圆内B .在圆外C.在圆上 D .不确定3.圆的一条直径的两个端点是(X- 2)2 + (y+ 1)2= 1(2,0), (2, - 2)，则此圆的方程是()A . (X- 2)2+ (y- 1)2= 1B.4.5.6.C.(X+ 2)2+ (y-1)2= 1D.(X+ 2)2 + (y+ 1)2= 1圆(X-1)2+ y2= 1的圆心到直线y =當X的距离为()A； B.¥ C. 1D.V3圆0的方程为(X- 3)2 + (y-4)2 = 25,点(2,3)到圆上的最大距离为圆(X- 3)2+ (y+ 1)2= 1关于直线X+ 2y-3 = 0对称的圆的方程是7求满足下列条件的圆

14、的方程:点P、Q在所求圆上,依题意有经过点P(5,1)，圆心为点 C(8, - 3);经过点P(4,2), Q(-6,- 2)，且圆心在 y轴上.& 求经过 A(6,5), B(0,1)两点，并且圆心在直线3x+ 10y + 9 = 0上的圆的方程.二、能力提升9.方程y=yj9 x2表示的曲线是()A .一条射线B. 一个圆C.两条射线D .半个圆10.若直线y= ax+ b通过第一、二、四象限，则圆(X+ a)2+ (y+ b)2= 1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D .第四象限12.平面直角坐标系中有11. 如果直线I将圆(X 1)2+ (y 2)2= 5平分

15、且不通过第四象限，那么I的斜率的取值范围A(0,1), B(2,1), C(3,4), D( 1,2)四点，这四点能否在同一个圆上为什么 三、探究与拓展13.已知点 A( 2, 2),B( 2,6), C(4, 2)，点 P 在圆 X2+ y2= 4上运动，求 |PA|2 + |PB|2+ |PC|2的最值.答案3. B4. A6. X ¥ 2+5y-12=17.解 (1)圆的半径 r = CP 1=7 5 8 2+ 1 + 3 2 = 5,圆心为点C(8, 3),圆的方程为(X 8)2 + (y+ 3)2= 25.16+ 2 b 2= r2,36+ 2+ b 2= r2,2145=

16、5 b= 2.所求圆的方程是2 ,5 2 145x2+ y+2 2=8解由题意知线段AB的垂直平分线方程为 3x+ 2y- 15= 0,3x+ 2y 15= 0, 由3x+ 10y + 9 = 0解得x= 7,y= 3.圆心 C(7, 3)，半径 r = |AC| = .所求圆的方程为(x 7)2 + (y+ 3)2 = 65.9. D 10.D11.0,212.13.解 能.设过 A(0,1), B(2,1), C(3,4)的圆的方程为(x a)2 + (y b)2= r2.将A, B, C三点的坐标分别代入有a= 1,解得b = 3, r =75.圆的方程为(x 1)2 + (y 3)2=

17、 5.将D( 1,2)代入上式圆的方程，得 (1 1)2 + (2 3)2= 4 + 1 = 5, 即D点坐标适合此圆的方程.故A, B, C, D四点在同一圆上.解 设 P(X, y),贝y x2+ y2= 4.|Fa2 + P B|2 + |PC|2 = (x+ 2)2 + (y+ 2)2 + (x+ 2)2 + (y 6)2 + (x 4)2 + (y + 2)2= 3(x2 + y2)-4y+ 68= 80 4y./ 2< yw 2, 72w PA|2 + |FB|2 + |FC|2w 88.即|FA|2 + |PB|2+|PC|2的最大值为88,最小值为72.4.1.2圆的一般

18、方程、基础过关1 .方程x2 + y2 x+ y+ m= 0表示一个圆，则 m的取值范围是（）1 1A . mW 2 B . mv. mv2 D . mW22. 设A, B为直线y= x与圆X2+ y2= 1的两个交点，贝y |AB等于（）A . 1 B.返 C/3D . 23 . M（3,0）是圆x2 + y2 8x 2y+ 10= 0内一点，过 M点最长的弦所在的直线方程是（）A . x+ y 3= 0 B . x y 3= 0C. 2x y 6 = 0 D. 2x+ y 6= 04. 已知圆 X2 + y2 2ax 2y+ (a 1)2= 0(0<a<1)，则原点 O 在()

19、A .圆内 B .圆外C .圆上 D .圆上或圆外 5.如果圆的方程为 x2 + y2 + kx+2y+ k2= 0,那么当圆面积最大时，圆心坐标为6.已知圆 C: X2+ y2+2x+ ay 3= 0（a为实数）上任意一点关于直线I: x y+ 2= 0的对称点都在圆C上，则a = 7.已知圆的方程为 x2 + y2 6x 6y+ 14= 0,求过点 A（ 3, 5）的直线交圆的弦 PQ的中点M的轨迹方程.&求经过两点 A（4,2）、B（ 1,3），且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.二、能力提升9.若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是（）A . X y

20、= 0 B. x+ y= 0C. X2+ y2= 0 D. x2 y2= 0 10.过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x, y)|x2 + y2w 4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ()A . x+ y 2= 0 B . y 1= 0C. X y= 0 D. x+ 3y 4 = 011.已知圆的方程为X2+ y2 6x 8y= 0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为12.求一个动点p在圆X2+ y2= 1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程.所以圆在X轴上的截距之和为X1 + X2= D ；三、探究与拓展1

21、3.已知一圆过P(4 , 2)、Q( 1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4*3求圆的方程.答案1.B 2.D3.5.(0, 1)6.7.解 设所求轨迹上任一点M(x, y)，圆的方程可化为(X 3)2 + (y 3)2=4.圆心 C(3,3)./ CM 丄 AM ,- kcM kAM = 1 ,即 x2+(y+ 1)2= 25.所求轨迹方程为x2 + (y+ 1)2= 25(已知圆内的部分).&解 设圆的一般方程为X2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0,令 y = 0,得 X2+ Dx + F = 0,令 X = 0,得 Z+Ey* F = 0,所以圆在y轴上的截距之和为yi + y2=- E；由题设，得 Xi + X2+ yi + y2= (D + E)= 2,所以 D + E=- 2.又A（4,2）、B（ 1,3）两点在圆上,所以 16+ 4 + 4D + 2E+ F = 0,1 + 9 D + 3E+ F = 0,由可得D = 2, E= 0, F = 12,故所求圆的方程为 X2+ y2 2x 12= 0.9. D 10. A12. 解 设点M的坐标是（X, y）,点P的坐标是（X0, y0）.由于点A的坐标为（3,0）