河南省郑州市、商丘市2021届高三11月教学质量检测数学(理)试卷

1、2020-2021学年高三11月质量检测巩固卷数学(理科)考试注意：1 .本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2 .答题前，考试务必用直径0.5亳米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3 .考试作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡可上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5亳米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区 域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4 .本卷命题范闱：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量, 数列，不等式，立体几何。一、选择题：本题共1

2、2小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合4 = *<*<5, B = aI1<2v<16), N为自然数集，贝川以3)cN等于()A. 4,5) B. 4,5 C. 4 D. 52 .”尤<3” 是 “_?一71+12之0” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .设k)g34 = 2,则4-“=()1111A. B. - C. - D.一 169864 .过平面。外的直线/,作一组平面与。相交，若所得交线为力,C,，则这些交线的位置关系为()A.平行或交于同一点B.相交于同一点C.相交

3、但交于不同的点D.平行5 .三棱柱ABC-中，侧面与底而垂直，底面是边长为2的等边三角形，若直线A区与平而ACG4所成角为45。，则棱柱的高为()A. 2& B. 2 C. y/2 D. 16 .已知正实数满足3。+3=1,则9 + !的最小值为()a bA. 32B. 34C. 36D.387 .已知函数/(%) = 的图象在点(1,/(1)处的切线与直线x-ey + 2 = 0平行，则。=() eA. 1 B. -eC. e D. - 18.如图，在三棱柱ABC A1与G中，M , N分别为棱8用的中点，过MN作一平而分别交底面aA. MF UNE三角形A8。的边8C, AC于点E

4、, F,贝ij()的图象向右平移1个单位，得到函数g(x)的图象, <A. y = 2sinj x + B. y = 2cos -V3 3 ),3则g(x)的解析式是OX8 .四边形/WNEF为梯形C.四边形A/NEF为平行四边形D. ABJ/NE9 .已知函数/(x) = 2sin(公t + e) 3>0、(pc f/1)的部分图象如图所示，其中/(0)= 1,g .将C. y = 2sinD. y = -2cos x310.已知函数/(x) = lnN + V,则不等式/(2x+l)>/(x1)的解集为()B. (yo,0)52,40)C. (-<0,2)kJ(0,

5、l)kJ(l,+co)D. (-2,1)=(1 什)11.将一个半径为"的半球切削成一个正方体(保持正方体的一个面在半球底而所在平而上)，所得正方 体体积的最大值为()A. 4>/2B. 8C. 272D. 412.定义卜表示不超过x的最大整数,如0.39 =0 , 1.28 = 1.若数列/的通项公式为4= log?可,S”为数列4的前项和，则S2M=()A. 2"+2B. 3x2"+2C. 6x2h+2D. 9x2"+2二、填空题：本题共4小题。x-y + l>0,13.若实数x,)，满足约束条件<x 2)，+ 2工0,则目标函数z

6、 = 4x5y的取值范围为.- 2y - 3 K 0,14 .在4BC中，|丽卜|而而8d = (2,1),若边的中点O的坐标为(3,1),点A的坐标为 (-2"),则/=.15 .已知数列4中，q=l, %=2,对任意正整数，a“+2-a”=2 + cos而，S”为“的前项和，则 So()=-16 .定义在R上的函数/(x)满足：/(-x) + /(x) = 2x2,且当x«0时,fx)<2x,则不等式 x) + 25之/(5t) + 10上的解集为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .已知平而直角坐标系内三点A , 8,。在一条直线上，满足

7、。4 = (-3,7+1),0公=(,3),”;=(7,4), 且/_L砺，其中。为坐标原点.（1）求实数川，的值;2 (2)设AOC的重心为G,且0G = 。3,求cosNAOC的值. 318 .在递增的等差数列与中，4 = 11，%是的和4的等比中项 （1）求数列“的通项公式: （2）若2=丁:,求数列色的前项和s”.19 .已知在四边形ABC。中，AB = AD = 2, BC = 3, CD = , ZB + ZD = 180°.（1）求AC的长及四边形43co的面积：（2）点P为四边形ABC。所在平而上一点，若NP = N8,求四边形APCD而积的最大值及此时点P的 位置.

8、20 .如图，在四棱锥PA3C。中，底面A3CO为梯形，平面R4O_L平面ABC。，BC/AD, PA±PDABYAD, ZPDA = 60°,七为侧棱尸。的中点，且A = 5C = 2, AD = 4.（1）证明：CE平面PAB ：（2）求二面角A P3 C的余弦值.21 .在数列也）中，q=l,对任意 wN*,q+1=（点-1）血77+四以.（1）求数列4的通项公式.（2）若数列满足：4+及L + 2 =白+ 2-2（6川）.求数列2的通项公式;令c =|包+ 一|，若£+Q+1 + .+19 = 1。2，求正整数k的值.22 .已知函数/ (x) = nx

9、+ ax + (a e R).A(l)求函数/(x)的单调区间；(2)当 =一1 时,g(x) = f(x)+(x-2)ex-,记函数y = g(x)在. 1上的最大值为加，证明:("? + 4)(z + 3)vO.2020-2021学年高三11月质量检测巩固卷-数学(理科)参考答案、提示及评分细则1. C VB = xlO<x<4, ACAB = xl4<x<5 ,= 4.2. A记“V7X+1220”的解集为集合8,则8 = xlx<3或x24,所以“支43”是“V7X + 1220” 的充分不必要条件.故选A.3. B 因为 alog34 = 2,

10、所以 a = 21og4 3 = log? 3 ,所以anlog?,所以 4一" =不晚产=.故选 B.4. A 若/a, Ml/lajllb,/c, ,alllbllc .若Ica = P,则a,c,交于点尸.5. C6. A 由。>0, Z?>0且3a + 2Z? = I,得6 1 (6 1 V x 12/? 3a 八一 g 112b 3a12Z7 3a 7-+-= 一+ (3a + 2/?) = 18 + + + 2>20+2J一=32,当且仅当=一，即。=2/7 a b I a ba by a ba b161时,取等号，此时?则？+ 上的最小值为32.f 1

11、 a h9. B因为 MN = , 22+ -V-,所以7 = 6,所以啰=之 /(x) = 2sin ? x 十夕卜由 3 3)/(0)= 2sin? = l7te 5'"得 (P=, 所 以6F/(x) = 2sin但x + 2136g (x) = 2sin (x-l) + = 2sin x + = 2cosx八) 3v D f (x) » / r(l)= > 所以4 = 1 eA . e e B 在口 AA8/中，AM=MA19 BN =叫，：.AMHBN , ：.MNHAB,又 M/Vz 平面 ABC,ABu 平面 ABC,平面 ABC.又 MNu 平

12、面 MNEF,平面 MVEFc 平面 A3C = EF ,，MNHEF, ：.EFHAB.显然在ABC中，EFw A5.，七FhMN ,，四边形MNEF为梯形，故选B.6 I 32310. . C函数 /（x） = lnx+x2 的定义域为（yq,O）5°，+s） » 且/（一x） = ln-x +（-=Inx + W =/（工），/ （x）为偶函数，且在（O,y）上单调递增.由 /（2a + 1）>/（xl）可得/（2x + l）>/（大一1）,即2r+l>xl>0,平方可得f+2x>0, ,.x<-2 或x>0且xwl.故选C.

13、11. b 由题意，当正方体内接于半球时体积最大，如图，连接球心。与点c,连接oq,则og=J.设 正方体棱长为。，则在Rtaocc中，oc2+cc； =oc；,（孝+/=6,解得。=2,故正方体体 积的最大值为8.故选B.12. D 当0Dlog2 v 1 时， =1,即 = 0 （共 1 项）：当 14 Iog2 < 2 时， =2,3,即d=4 = 1 （共 2 项）：当2410g2 <3时,2 = 4,5,6,7,即q =a5=a6=a7 = 2 （共4 项）：当 k Wlog?” vZ + 1 时， =22&+1,2”“一1,即 4, =4、=。卢 =k （共 &

14、#187; 项），由 1 + 2 + 2?+ 2" =2047,得 I _ 2*7=2047 .即 2M1=2048,所以左= 10.所以 5期7 =0x1 + 1x2 + 2x22+3x2,+. + 10x2i° , 1-2利用错位相减法可得S科7 =9x2"+2.故选D.13. -1画出可行域（如图阴影部分），利用图形可得，当直线z = 4x 5），过点A（5,6）时，z取最小值， < 5 9 A5最小值为一 10；当直线过点8二，时，z取最大值，最大值为一二.2 4；414. 3由 B4 = AB C3 得 8C = AC,因为 BC 边的中点为。，所

15、以8。= （一2,1）,AO = （L1T）,那么AZ>5C = 2+l =0,解得f=3.15. 5050 当为奇数时，勺+2-勺=1，即数列为的奇数项成以1为首项，1为公差的等差数列；当 为偶数时，勺.2-4=3,即数列q的偶数项成以2为首项，3为公差的等差数列，所以+% + 499)+(42+4 + .】仪)=5050.50x(1 + 50) 50(2 + 149)2+20516. -oo,因为 f (-x) + f(X)= 2x2 所以/(x)(-)+/(x)x2=0,令 g(x) = / (x)-x2 ><2则g(x) + g(x) =。,所以g(x)为奇函数,又因

16、为当X«O时,gr(x) = /f(x)-2x<0,所以g(x)在 (7D,0上单调递减，即 g(x)在R上单调递减.而不等式 /(x) + 25> / (5-x) + 10x<=> f(x)-x2 > /(5-x) og(x)N g(5 x),所以x05-x,所以.217. 解：(1)因为三点A, B,。在一条直线上，所以AB/BC , 又 AB =(九+3,2m), BC =(7/?,1),所以+ 3 =(7)(2?)， 因为。A_L08,所以一3 + 3(加+ 1) = 0,即=m+ 1, 由、解得=8,或n = 9 n = 22(2)因为G为OA

17、C的重心，且OG = 08,所以点8为线段AC的中点， 3所以7 = 1, = 2,所以 04 = (3,2), OC = (7,4),HIIlOAOC-21 + 875因 lit cos ZAOC = = 一 OAOC 713.655a +51 = 11,18. 解：(1)设公差为d(d>0),由题意，得(q+4")2 =(+，)(4+136/b d>0.a. = 1,解得1 , cd = 2.所以 a” =q +(/?-l)J = 2/7-1,所以数列qt的通项公式为a” = 277-1(/7 e N*) .由知“i)；2 + )所以4 = 1“212-1 2n +

18、l12 + 12一112 +_1 L 22/7 + 1 J 2/7 + 1 ,19. 解：（1）设AC = x,在ZiABC中，由余弦定理，得n AB2 + BC2-AC2 4 + 9-x2 13-x2 cos B =,2 AB BC12125 x2 同理在AC£中，cosD = -413-r- 5- v2l因为N5 + NO = 180。，所以cos5 = cosD = 0,即十 二一 =0,解得x = ". 124所以cos8 = L, cos£）= -,又B ,。£（0,0，所以5 = 60。，0 = 120。, 22v 7ii所以 S四边形4 8

19、CQ = S“BC + SACD = -x2x3-sin60° + -x2xl-sinl20o = + = 26.乙乙乙乙(2)要使四边形4PCD的面积最大，则点P和点。应在AC的两侧，且使得4PC的而枳最大.在APC 中，AC2 = PA2 + PC2 - 2PA - PC cos P .所以7 = PA2 + PC2 PA-PCN2PA-PC B4PC = P4-PC,当且仅当PA = PC时，等号成立,即当P4 = P。时，(。4尸。晨=7.又s. ”，c=,P4 PCsin600 = 9pA PC, 24所以（Sawc）max = W所以四边形"C丽积的最大值为手+

20、 ¥ =手此时"尸。为等边三角形，即吁PC = "且点P与点。分居于AC的两例.20. (1)证明：取A。的中点。，连接。C、0E. E为侧棱尸。的中点，OE/PA.：BC = 2, AO = 4, BC4。，四边形ABC。为平行四边形，则OCAB.OCcOE =。，.,平面。CE平面P48.。石=平面。七，.。£平面248.(2)解：过点尸作尸/J_AO于/，,平而P4O_L平面A8CD,尸/_1平面ABCD.,: PA工PD, ZPDA = 60°, AO = 4，.尸。=2, PF = B FD = 1.取AO的中点。，如图所示，以。为原

21、点，建立空间直角坐标系。冲z, 则 P(O,1,码，C(2,0,0), 8(2,2,0), 0(020).P£> =(0,1,-73),尸8 =(2,3,6), 8c =(0,2,0).设 =(%, y, q )为平面PBC的法向量,则,PB h = 2内一 3/ = 0,8c.z1 = 27 =0取4 =2,则方=(/,0,2).易证尸£) _1_平面PAB，则m =尸。=(0,一 J5)为平面PAB的一个法向量.由图可知，二面角4一所一。为钝角,二而角4一心一。的余弦值为一程.21 .解：(1)由题意知% >0,因为。+ = (-1) Jc +,所以一/匚)

22、=。.因为%>o，所以疯；+口工。，所以二一/亥=。，所以=即± = 2,血 %所以也是以1为首项，2为公比的等比数列，所以q=2'i(eN.).(2)因为九+% +幺=% %4+ 2 一 2( e N*),且 an = 2 (n e N*),所以 +%2+2-i当之2时，%两边同乘以L,得22 b,i T+- + 2-2(eN)(*)b1 1c z=+ 2h - 4，2“-2"S +22与(*)式相减，得勿=(之2b当 =1时，bx = 1适合上式,所以=( e N).因为 C = 2 +9_。6 =-13,所以C =<< 13,- 13, &g

23、t; 13,所以当工13时，数列ca的前项和S“ =二竺当>13时，数列%的前几项和S” = =2、 312r C_(4 + 19一 25(4 + 19) + 312_%2+3% + 198满足3八19 =一当一 1«13,即攵 <14 时，Sj = 2d(J )：(I) =二仁一?二26 , 22由S3jSj=102(k£N)得炉一7攵 + 10 = 0,解得女=2或女=5：当>13,即Q14时，Si52弋 1 + 312/一2； + 338,由S%19Sj=102伏eN)，得20k = 172,解得k=8.6任N,舍去.故满足条件k的值为2或5.22.

24、 (1)解：由函数x) = lnx + «v + 1的定义域是(0,+oo),1./、 11+ x 1则 J （工）=一 + 4r =s.XX"厂当=1 +?40,即时，ad+x - lO对任意xe（O,*Q）恒成立, 即尸（“q0对任意xe（O,g）恒成立，且不恒为0.故函数/（x）的单调递减区间为（0,+oc）： 当一;<“<0时，方程o? + x-1 = 0的两根依次为$ = 一 1 + ：+4"-, x2 = 则 g'(x) = (x-l)e' -1 +1=(工-1)(ev - 当;vxvl 时，x-1 0 ,令力(x) = e 则/?'(%) = e、+ J 0,所以/?(x)在；,1上单调递增.< I 11/ + 因为力-=