有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件

1、材料非线性问题有限元方法教学要求和内容1. 掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则;2. 掌握弹塑性增量分析的有限元格式;3. 学习常用非线性方程组的求解方法:(1 直接迭代法;(2 Newton-Raphson 方法,修正的 N -R 方法;(3 增量法等。请大家预习,争取对相关内容有大概的了解和把握。弹塑性增量有限元分析弹塑性材料进入塑性的特点:存在不可恢复的塑性变形;卸载时:非线性弹性材料按原路径卸载;弹塑性材料按不同的路径卸载, 并且有残余应变,称为塑性应变。 1 弹性阶段 : 卸载时不留下残余变形 ;2 初始屈服:s =3 强化阶段:超过初始屈服之后 , 按弹性规律卸载,再加载弹性范

2、围扩大:ss '>, s'为相继屈服应力。4 鲍氏现象(Bauschinger :1.初始屈服准则: 00(, 0ij F k = 已经建立了多种屈服准则:(1 V . Mises 准则:000(, ( 0ij ij F k f k =-=220011( (, ( 23ij ij ij s f s s J k =第二应力不变量 1122221, ( 3ij ij ij m m s =-=+偏应力张量:平均应力: (2 Tresca 准则(最大剪应力准则 :0max ( 0ij s F S =-= 6V . Mises 流动法则:0(, ( ij ij pij ijij F

3、 k f d d d =, 0d > 待定有限量 塑性应变增量 pij d 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。因此,称为法向流动法则。3.硬化法则:(1各向同性硬化:(, ( 0ij ij F k f k =-= 7 21(, 3p p s k = 等效塑性应变, 可由 单拉试验确定 。 (2运动硬化法则:* Prager运动硬化准则;Zeigler 修正的运动硬化准则。(3混合硬化法则: 84.加载卸载准则:(1若 (, 0ij F k =,且 ( 0ij ij ij f >,则继续塑性加载9 (2若 (, 0ij F k =,且 (0ij ij ijf <,则按弹性卸载

4、(3若 (, 0ij F k =,且 (ij ij ij f =,1对理想塑性材料,则继续塑性流动;2对硬化材料,则 继续塑性加载,但塑性应变增量为零。 0p d =10(1一致性条件:塑性加载时,应力仍在屈服面上(2流动法则:新的塑性应变增量, p ij d , 在屈服面上的原应力点 的外法线方向。(3弹性应力应变关系:应变增量的弹性应变部分与应力关系仍 服从胡克定律。(1 一致性条件(, (, (, i j i j i j i j d F F d d F =+-=,ij ij F F dF d d =+= 具体形式:203sij s p ij p f d d -=, s ppE = 单向拉

5、伸试验测得。(2流动法则:( ij pijijf d d =, 1( 2ij ij ijf s s = 23pp s d d = (3应力应变关系:e p ij ij ijd d d =+( e p p ij ijkl kl ijkl kl kl ijkl kl ijkl kld D d D d d D d D d =-=-注意:屈服条件是已知的,我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。 根据流动规则,( ij p ijijf d d =,需要确定 d 。249eijkl klijeijkl s p ij kl f D d d f f D E =+, spp E =( ij p ijijf d

6、d =2(9e e p ij ijklklijkl kl kle ijklkl kle mnqre e mnijklkl ijklqre klmnqrs pmnqr e p ep ijkl kl ijklkl ijklkl d D d D d d f D d d fDf D d Dd DE D d D d D d =-=-=-+=-=弹性张量:, e e e ijkl ij ijkl klD d D d =塑性张量:29eeijpqmnklpq mn pijklemnqr s pmn qr f f D D D D E =+, 249Teepe s p f f D D D f f D E =+

7、弹塑性张量:epe p ijkl ijkl ijklD D D =-e p ep ij ijkl kl ijkl kl ijklkl d D d D d D d =-=写成矩阵形式:epe pd D dD d D d =-=四.弹塑性增量有限元格式 1 弹塑性问题的增量方程将物体的作用荷载分成很多阶段, 以模拟加载历史。 假设在 t 时刻作 用的荷载:t(体积力 , t(表面力 , t(已知位移 , 以及所对 应的响应(应力 t ij ,应变 tij ,位移 ti u 已知。求 t t +时刻对应的响应:t tt +=+,t T +=+,t tt+=+t ttij ij ij +=+,t tt

8、ij ij ij +=+,t tti i i u u u +=+16由虚功方程(虚位移原理描述的控制方程为:( ( ( ( ( ( 0t t tij ij ij i i s dx u dx u ds +-+-+=( ( ( ( ( ( ij ij i i s t t tij ij i i s dx u dx u dsdx u dx u ds -=-+( ( ( ( ( ( tep ijklkl ij i i s t t tij ij i i s D dx u dx u dsdx u dx u ds -=-+17写成矩阵形式t ep s ttts D dx u dx u dsdx u dx u

9、ds TTTTTT-=-+将物体离散成有限单元,单元内任意点的位移增量通过形函数用单元 节点位移增量表示: 位移:eu N a = 应变:eB a = 带入虚功原理:tK a Q =18,ettetetepet t t t t t e t t e K K K B D B dxQ Q Q Q Q T+=-=-eee eet e t ept te t tt ts t etts K B D B dxQ N dx N dxQ N dx N dxT+T+T+TT=+=+19采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤以下仅限于简单加载过程(无反复加卸载过程和 Mises 各向同 性强化材料 :1. 开始,输入初

10、始参数(几何;材料性质, 0s, P E ;边界条件;外载荷2. 将外载荷一次加上作线弹性分析 max q (Mi. 条件 如果 0max s 不存在塑性区则为弹性问题 直接输出结果 结束! 否则0max s >作弹塑性分析3. 计算弹性极限 e Q 设 0max /s=, 则 e Q P =20并可输出弹性极限载荷 e Q 下的结果 e e e q 、 。 4. 对剩余载荷 r e Q Q Q =-作弹塑性分析如果采用等增量步格式,则将 r Q 等分为 N 个增量步,即每一增量 步载荷为:rQ Q N=。下面 5. 中是对 N 个增量步循环。5. 在 i 步上施加一个增量载荷 i Q 。已知当前状态下(i -1步终 ,各单 元的(or 高斯点 , , s 。判断三种类型的单元:1弹性 2 塑性 3过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过 23次迭代得到合适的 ep ,计算各单元的 t k ,并集合所