56数列的综合应用

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十五)一、填空题1.(2013苏州模拟)已知数列an是等差数列,O为坐标原点,平面内三点A,B,C共线,且=a1 006+a1 007,则数列an的前2 012项的和S2 012=.2.某火箭在点火后某秒钟通过的路程为2km,此后每秒钟通过的路程增加2km,若从这一秒钟起通过240km的高度,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是秒.3.在等差数列an中,a1=1,a7=4,数列bn是等比数列,且b1=6,b2=a3,则满足bna261的最小正整数n为.4

2、.已知数列an为等差数列,公差为d,若-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn0的n的最小值为.5.在1到104之间所有形如2n和3n(nN*)的数,它们各自之和的差的绝对值为.6.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.则甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小关系是.7.设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和Sn等于.8.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶

3、液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.9.设数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=.10.(能力挑战题)数列an的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,nN*,若数列an是等比数列,则实数t=.二、解答题11.(2013徐州模拟)设向量a=(x,2),b=(x+n,2x-1)(nN*),函数y=ab在0,1上的最大值与最小值的和为an,又数列bn满足:nb1+(n-1)b2+2bn-1+bn=()n-1+()n-2+1.求an,bn的表达式.12.(2012安徽高考)设函数f(x)=+sin

4、x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn.(1)求数列xn的通项公式.(2)设xn的前n项和为Sn,求sinSn.13.(2013连云港模拟)在等差数列an中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列bn的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.(1)求an与bn.(2)证明:.14.(能力挑战题)甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后

5、,A喷雾器中药水的浓度为an%,B喷雾器中药水的浓度为bn%.(1)证明an+bn是一个常数.(2)求an与an-1的关系式.(3)求an的表达式.答案解析1.【解析】A,B,C三点共线,且=a1 006+a1 007,a1 006+a1 007=1,S2 012=1 006.答案:1 0062.【解析】设从这一秒钟起,经过x秒钟,通过240km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2,公差为2的等差数列,故有2x+2=240,即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16(舍去).答案:153.【解析】设公差为d,公比为q,等差数列an中,a1=1,a7=4,1+6d=4,解得d=.数

6、列bn是等比数列,且b1=6,b2=a3,6q=1+2,解得q=.bna261,6()n-1(1+25)1,整理,得()n-14,解得n5,最小正整数n=6.答案:64.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“-1”及“Sn有最大值”如何使用,从而列出关于a1,d的不等式组,求出的取值范围,进而求出使得Sn0的n的最小值,或者根据等比数列的性质求解.【解析】由题意知d0,a110,a10+a110,由得-9.Sn=na1+=n2+(a1-)n,由Sn=0得n=0或n=1-.191-20,Sn1-,故使得Sn0的n的最小值为20.答案:205.【解析】由2n104,得nb6,即6月份甲的产值大于乙的

7、产值.答案:甲的产值大于乙的产值7.【解析】y=nxn-1-(n+1)xn,y|x=2=n2n-1-(n+1)2n=-n2n-1-2n,切线方程为y+2n=(-n2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)2n,即an=(n+1)2n,=2n,Sn=2n+1-2.答案:2n+1-28.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an,an=a1qn-1=()n,()n,得n4.答案:4【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语

8、言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.9.【解析】a1=2,an+1=an+n+1,an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2=an-3+(n-3)+1,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,将以上各式相加得:an=(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+n+1=+n+1=+n+1=+1.答案:+110.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的方程,降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的方程,两个方程相减后得出

9、an+1,an的关系,可得数列an中,a2,a3,a4,为等比数列,只要等于上面数列的公比即可.【解析】由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2),所以当n2时,an是等比数列,要使n1时,an是等比数列,则只需=3,从而t=1.答案:111.【解析】y=ab=x2+(n+4)x-2,对称轴为x=02k-x2k+(kZ),f(x)02k+x2k+(kZ),当x=2k-(kZ)时,f(x)取极小值,xn=2n-(nN*).(2)由(1)得:xn=2n-,Sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-=n(n+1)

10、-.当n=3k(kN*)时,sin Sn=sin(-2k)=0,当n=3k-1(kN*)时,sin Sn=sin=,当n=3k-2(kN*)时,sin Sn=sin=-.所以sin Sn= 13.【解析】(1)设an的公差为d,因为所以解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)因为Sn=,所以.故=.因为n1,所以0,于是1-1,所以.即.14.【思路点拨】(1)显然不论如何操作,两种农药中含有的溶质是不变的,这是问题的实际应用.(2)建立第n-1次操作后两种药水的浓度和第n次操作后A喷雾器中药水浓度的关系式.(3)利用(1)(2)的结果求解递推

11、数列.【解析】(1)开始时,A中含有1012%=1.2千克的农药,B中含有106%=0.6千克的农药,n次操作后,A中含有10an%=0.1an千克的农药,B中含有10bn%=0.1bn千克的农药,它们的和应与开始时农药的质量和相等,从而有0.1an+0.1bn=1.2+0.6,所以an+bn=18(常数).(2)第n次操作后,A中10千克药水中农药的质量具有关系式:9an-1+1bn-1=10an,由(1)知bn-1=18-an-1,代入化简得an=.(3)令an+=(an-1+),利用待定系数法可求出=-9,所以an-9=(an-1-9),可知数列an-9是以a1-9为首项,为公比的等比数

12、列,由an=an-1+得a1=12+=11.4,由等比数列的通项公式知:an-9=(a1-9)()n-1=2.4()n-1=()n-1=3()n,所以an=3()n+9.【变式备选】已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房.(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式.(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1.15=1.6)【解析】(1)第1年末的住房面积a-b=1.1a-b(m2),第2年末的住房面积(a-b