《计算机数学基础(下)》数值部分辅导(3)

1、计算机数学基础 (下)数值部分辅导 (3)中央电大冯泰第 11 章函数插值与最小二乘拟合一、重点内容1. 函数插值已知函数 f(x)的 n 个函数值 ykk), k=0,1,2,n。构造一个多项式 P( x)，使得=f(xP(xk)=yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数， xk 就是插值节点。误差 R( x)=f (x) P(x)。2. 拉格朗日多项式n用 n 次多项式 Pn(x)=y0 l0+y1l1+ +ynln=ykl kk0其中基函数l j (x)( x x0 )( x x1 ) (x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn )， ( j 0,1,2, , n)(

2、 x jx0 )( x j x1 ) ( x j xi 1 )( x j xi 1 ) ( x j xn )当 n=1 时，线性插值P1(x)= yk lk (x)+yk+1 l k+1 (x)其中基函数 l k ( x)xxk 1 , l k 1 ( x)xxkxkxk 1xk 1xk 。当 n=2 时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为f (n) ( )(x)Rn (x) f (x) Pn (x)n(n)!其中(a, b)注意：过n+1 个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n 的多项式。3. 均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差，一阶均差f ( x )f

3、 (x)f (x , x )x( 或记作 f x0,x1);x二阶均差f ( x , x )f ( x , x )f ( x , x , x )x(或记作 f x0,x1,x2)x均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2) 均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)( x-x0)+f(x0,x1,x2 )(x-x0)( x-x1)+ +f( x0,x1,x2, ,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2) (x-xn- 1)牛顿插值多项式的余项为Rn(x)= f(x) Nn(x)=f(x,x0,x1,x2, ,

4、xn)(x x0)( xx1 )(x x2) (x xn 1)(x xn )4. 分段线性插值已知 n+1 个互异节点 x,x1, ,xn,构造一个分段一次的多项式P(x) ，且满足： (1)P(x)在 a ,b上连续 ; (2) P( xk kk,xk+1上是线性函数。)=y (k=0,1,2, ,n);(3)P( x)在 xn分段线性插值函数 P(x)yi l i ( x)i1其中 lk(x)( k=0,1,2,n)是分段线性插值基函数.1xxxxxl ( x)xxxxxnxxi1xi 1xxixixi1li(x)=xxi1xixxi1(i 1,2,., n 1)xixi10x0x xi

5、1 , xi 1x xnxxxnln(x)=xxnxnxxnxnxn5. 三次样条插值函数S( x)( x xk)mk(x xk )mk( ykhk mk ) xxkhkhkhk( ykhk mk) xxk ( k, , , , n)( xk x xk )hk其中 S (xk)=m k(k=0,1,2, ,n),hk=xk+1xk(k=0,1,2, ,n1),m0,m1, ,mn 满足的方程组是2m00m1c01m02m11 m2c1k mk 12mkk mk 1ck(*)n 1mn 22mn 1n 1mncn 1n mn 12mncn其中：khk 1,k1khkhkhk1hk hk 1ck6

6、(yk 1ykykyk 1)hkhkhkhk 11(k=1,2,n 1)(1)当已知 S (x )=y0,S (x)= yn时， (*) 式中0n0n=1,c06 y1y0y0 ), cn6( y nynyn 1) .=1,h0(h0hn 1hn 1(2) 当已知 S (x0)=y 0=m 0, S (xn)= y n=m n 时， (*) 式化为mmmcyk mkmkk mkcknmnmnnmn cnnyn6. 最小二乘法2用 (x)拟合数据 (xk,yk) (k=1,2, ,n)，使得误差的平方和n(xk ) 2 ykk 1为最小，求(x)的方法，称为最小二乘法。(1)直线拟合若 y(x)

7、aa x ， a ,a满足法方程组01nnna0(xk )a1ykk1k1nnxk2 )a1n(xk )a0 (xk ykk 1k1k 1(2)二次多项式拟合若 y( x)a a xa x , a , a , a 满足法方程组nnnnaaxkaxkykkkknnnnaxkaxkaxkyk xkkkkknnnnaxkaxkaxkyk xkkkkk二、实例例 1 已知函数 y=f(x) 的观察数据为k 2045xk51 31y试构造拉格朗日多项式Pn (x)，并计算 P( 1)。 只给 4 对数据，求得的多项式不超过3 次 解 先构造基函数l(x)x(x)( x)x( x)(x)()()()l(

8、x)( x)( x)( x)( x)( x)( x)()()()l(x)( x) x( x)x( x)( x)()()()l(x)(x)x( x)( x)(x)x( x)()()()所求三次多项式为n3ylkP (x)=kk0x(x)(x) ( x)( x)( x) ()x( x )( x ) ( x ) x( x )xxx3P ( 1)例 2 已知函数 y=f(x) 的数据如表中第 1， 2 列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。3kXkk一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差f( x )00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 7

9、51.168 000.2800030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为一阶均差f ( xk , xk)f ( xk )f (xk) (k, , ,)xkxk二阶均差f ( xk , xk, xk)f ( xk , xk )f ( xk, xk) ( k, , )xkxk三阶均差f ( xk , xk, xk, xk )f ( xk , xk, xk)f ( xk, xk , xk ) ( k , )xkxk四阶均差f (x, x , x, x, x )f (x

10、 , x , x , x )f ( x , x , x , x )xx例 3设 x , x , x,., xn 是 n+1 个互异的插值节点，l k ( x)(k, , ,., n) 是拉格朗日插值基函数，证明：nn(1)l k ( x)(2)l k ( x)xkmx m (m, ,., n)kkn证明 (1) Pn( x)=y0l0+y1l 1+ +ynl n=y kl kk 0Rnf ( n) ( )( x),( x)n(n)!当 f(x) 1 时，k1 Pn (x) Rn ( x)k由于 f ( n ) ( x)n，故有l k (x)kf ( x)Pn (x)Rn ( x)f (n) (

11、 )( x)lk ( x)n(n)!(2) 对于 f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0 m n),作拉格朗日插值多项式，有x mnxkm l k (x)f( n)( )Pn ( x) Rn ( x)n (x)k(n)!当 nm 1 时， f(n+1) (x)=0 ， Rn(x)=0 ，所以nxkml k ( x)xmk注意：对于次数不超过n 的多项式 Qn (x)an xnan x n. a x a ,利用上结果，有Qn (x) an x nan xn. a x annnn= anl k ( x) xknanl k ( x)xkn.al k (x) xk al k ( x)kkk

12、k4nn=l k ( x) an xknan xkn.ax ka Q ( xk )l k ( x)kk可见， Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在n+1 个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例 4x 的下列数据已知函数 e用分段线性插值法求x=0.2 的近似x0.100.150.250.30值。x0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818e解 用分段线性插值，先求基函数。x .x.x .l( x).x .x .x.x .x .x.x .l ( x).x .x.l(x)xx .x.x.x.x.x.l( x)x.x.x.所求分段

13、线性插值函数为.x.x.P( x)yk lk ( x).x.x.k.x.x.所以， e 0.2=P(0.2)= 0.819 07 0.2+0.983 569=0.819 755例 5 已知数据如表的第 2， 3 列，试用直线拟合这组数据。解 计算列入表中。 n=5。 a0,a1 满足的法方程组是aaaa.解得 a0=2.45,a1=1.25 。所求拟合直线方程为y =2.45+1.25 xkxkykxkxkyk11414224.54933691844816325558.52542.5153155105.5例 6 选择填空题1.设 y= f(x),只要 x ,x ,x是互不相同的3 个值，那么满

14、足 P(x )=yk(k=0,1,2) 的 f(x)的插值012k多项式 P(x)是(就唯一性回答问题 )答案 ：唯一的解答 ：因为过3 个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设 P(x)=a2 x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定数。 P(xk)=yk,即a xa xaya xa xaya xa xay这是关于 a2,a1,a0 的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式xxxx( xx )( xx )( xx )xx所以，不超过2 次的多项式是唯一的。2.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足 (),则 P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值 y0=0 (B) 一阶均差为0(

15、C) 二阶均差为0(D) 三阶均差为 0答案 ： (C)解答 ：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f( x0,x1)(x x0)它是不超过一次的多项式。3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是 ()(A)Rn ( x)f ( x)Pn ( x)f ( n) ()(x)(n)!n(B) f(x,x ,x ,x, ,x)(x x )(x x ) (xx)( x x )01 2n12n 1n(C)Rn ( x)f ( x)Pn ( x)f ( n) ()(n)!(D) f(x,x0 ,x1,x2, ,xn)(x x0)( x x1)(x x2) (xxn

16、1)(x xn)答案 ： (A) ， (D)。见教材有关公式。4. 数据拟合的直线方程为y=a0+a1x，如果记nnnnxxk , yyk ,l xxxkn x ,l xyxk yk nx yn kn kkk那么系数 a0,a1 满足的方程组是 ()naxayal xyl xx(A)l xx al xy(B)xaay a xaa xyaa xy(C)(D)nxal xx al xyxal xx al xy答案 ： (B)解答 ：因为法方程组为6nnna0(xk )a1ykk 1k 1nnxk2 )a1n(xk ) a0(xk ykk 1k 1k1nn由第 1 个方程得到 aykaxk ya x

17、 ，将其代入第2 个方程得到n kn knnnx( y a x) (xk )axk ykkknn整理得a (xkn x )xk yknx ykk故(B) 正确。三、练习题1.已知函数 y=f(x), 过点 (2,5),(5,9), 那么 f( x)的线性插值多项式的基函数为。2.过 6 个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l ( x)。43. 已知多项式 P(x)，过点 (0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375), 它的 3 阶均差为常数 1，一阶，二阶均差均不为 0，那么 P(x)是()(A) 二次多项式(B) 不超过二次的多项式(C) 3 次多项式(D)

18、 四次多项式4. 已 知y=f(x) 的 均 差f (x , x , x ),f ( x , x , x ),f (x , x , x ),f ( x , x , x ).那么 f(x4,x2 ,x0)=()(A) 5, (B) 9(C)14(D) 85. 求数据拟合的直线方程y=a0+a1x 的系数 a0,a1 是使最小。6. 求过这三个点 (0,1), (1,2), (2,3) 的拉格朗日插值多项式。7. 构造例 2 的函数 f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596) 的近似值。8. 设 l 0(x)是以 n+1 个互异点 x0,x1,x2, ,xn 为节点的格朗日插值基函数l ( x

19、)( xx )( xx).( xxn )( xx )(xx).( xxn )试证明：( xx0 )(xx )( xx ).( xx )( xx ).( xxn )l ( x)x )( xx )( xx( xx )( xx ).( xxn )( x)9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。10 已知数据对 (7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),x123(12,6.4), (13,5.9) 。试用二次多项式拟合这组数据。y四、练习题答案y1 11.x, x( xx).( xx)( xx )4. B2.x).( xx)( x3. C( xx )

20、n5.( ykaa xk )6. x+1k7. 给定五对点，牛顿多项式是不超过4 次的多项式。N4(x)=0.410 75+1.116 00( x0.55)+0.280 00( x0.40)(x 0.55)+0.197 33(x 0.40)(x0.55)( x0.65) 0.031 34(x 0.40)(x 0.55)(x 0.65)(x0.80)将 x=0.596 代入牛顿多项式 N4(x)中，得到： f(0.596) N(0.596)=0.631 95 8.提示：求 l 0(x)的牛顿插值多项式。7xxxx , 9.S( x)xxxx , 10. y= 0.145x2+3.324x 12.

21、794附录：教材中练习和习题答案练习 11.1(A)1.P ( x)( x) P().P ( ).2.P ( x)( xx)P() .3. P2(x)= 17 x2 x24.4.7943(0.6 x)+5.6464(x 0.5) sin0.57891 0.54667335. x(B)1. 节点 ; 插值多项式 ; 被插值函数2.C.3. B4.( x x )( x x )(xx )( x x )(x x )( x x )x )( xx ) (xx )( xx ) ( xx )( x5. B(xx )练习 11.2(A)1. f(x0,x1)=-5, f(x,x2)=-1,f(x2,x )=9;

22、13f(x0,x 1,x 2)=2,f(x1 ,x 2,x 3)=5,f(x0,x 1,x 2,x 3)=12. f(x)=x3+x2+x+13.39.0625(用牛顿插值多项式，P ( x)( x )( x)( x) )4.y =0.02119,y=0.02020,y =0.01931,y =0.01848,y=0.01773,012342y0=-0.00099,2y1 =-0.00089,2y2=-0.00083,2y3=-0.00075,3y0=0.00010,3y1=0.00006,3y2=0.00008,4y0=-0.00004,4y1=0.00002,50y =0.000065. N4(x)=(x 3-4x 2+3)-7( x 1)( x2)( x3)( x4)24(B)1.f (x)f (x)f (x , x ) 2. B 3.