基本不等式试题

1、学习必备欢迎下载基本不等式题一、选择题1若 a， b R，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()22112ba2A a b 2abB ab 2abC.D.ababab1的最小值是 ()2若 a 1，则 aa1aA 0 B 2C.a1D312 3x的最小值为 ()3若 x 0， f(x) xA12B12C6D64函数yx 12(0 x 2)的最大值是 ()11A.4B.2C1 D25某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元若每批生产x 件，则平x1 元，为使平均到每件产品的生产准备费均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件B

2、80 件C100 件D 120 件6点 (x， y)在直线 x 3y2 0 上移动时， z 3x 27y 3 的最小值为 ()11A.3B3 2 3 C6 D97某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为 x，则 ()a ba ba ba bA x2B x2C x2D x211取最小值的实数对( a， b)是 ()8已知正数 a， b 满足 4a b 30，使得abA (5， 10) B (6， 6)C (10， 5)D (7， 2)学习必备欢迎下载x y）（ x ay）9不等式xy 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ()A2

3、B4 C6 D 810已知 x0， y0，且 x y8，则 (1 x)(1 y)的最大值为 ()A16 B25 C9 D3611若 x，y 是正数，则x12122y y2x的最小值是 ()79A2 B.2C4D.212给出下列语句：若 a， b 为正实数， ab，则 a3 b3 a2bab2；若 a， b， m 为正实数， a b，则ama；bab若c2c2，则ab；当 x 0，时， sin x2的最小值为2 2，其中结论正确的个数为()2sin xA0B1C2D 3二、填空题13已知 x0， y0， lg x lg y 1，则 z25的最小值为 _xy414函数 f(x) lg xlg x(

4、0 x 1)的最大值是 _，当且仅当x _时取等号学习必备欢迎下载x15若对任意 x0，x23x1 a 恒成立，则 a 的取值范围是 _16已知 a b 0，则 a264取最小值时 b 的值为 _b（ab）三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 (本小题满分10 分 )(1) 已知 x 0，求 y 2 x4的最大值；x1 的最小值；(2)已知 x 2，求 y xx211(3)已知 0 x ，求 y x(1 2x)的最大值2218 (本小题满分 12 分 )过点 P(2， 1)的直线 l 分别交 x 轴， y 轴的正半轴于 A，B 两点，求AOB

5、 的面积 S 的最小值学习必备欢迎下载2x y 2 019.(本小题满分12 分 )设 x， y 满足约束条件8x y 4 0，若目标函数z axby( a 0， bx 0，y 00) 的最大值为 8.1 1(1)求 的最小值；(2)求 a2 16b2 4ab 的最小值20.(本小题满分12 分 )是否存在常数c，使得不等式xycxy对xx2xy2xy2y2y任意正实数x， y 恒成立？证明你的结论学习必备欢迎下载参考答案与解析1【解析】 选 D. 特值法：取 a b 1 可排除 A 、B 、 C 选项1 (a 1) 12 【 解 析 】 选 D. 因 为 a 1 ， 所 以 a 1 0 ，

6、a a1a11 2（ a 1）1 1 3，当且仅当 a 11，即 a 2 时，等号成立，故选D.a1a 13【解析】 选 A. 因为 x 0，学习必备欢迎下载所以 f(x)12 3x2123x 12，xx当且仅当12x 3x，即 x 2 时取等号4【解析】 选 B. 因为 0 x 2，所以 0 1x 1，2所以 yxxxx122122xx222121，当且仅当x1x，即 x 1时，等号成立，故选B.22225【解析】 选B. 因为生产 x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800 xx，128008x所以平均每件费用yx800 20，x8xx800，即当 x80件时， ymin 20.当且仅当

7、8x6【解析】 选 D. 因为 x 3y 2，所以 z3x 33y3 23x3y 32 32 3 9.当且仅当 x 3y 即 x 1， y1时取等号37【解析】 选B. A(1x)2A(1a)(1b)，从而(1x)2(1a)(1b)1a1b2ab2，所以 xab122.111 111b 4a8【解析】 选 A.ab30ab(4ab)3041ab15 2b 4a3，3010a b学习必备欢迎下载b4a，a 5，当且仅当ab即时等号成立故选A.4ab30，b 109【解析】 选 B.（ x y）（ x ay）xyx2（ a 1） xyay2xyx2 ay2 a 1 a 1 xy2a (a 1)2，

8、当且仅当 x ay 时等号成立， 所以（ x y）（ x ay）的最小值为 (xy1)2，于是 (a 1)2 9 恒成立，所以a 4，故选 B.10【解析】 选B.(1x)(1y)（ 1 x）（ 1y）22（xy）22 8222因此当且仅当 1 x 1 y 即 x y 4 时， (1 x)(1 y)取最大值25，故选 B.12122121xy11【解析】 选C. x2y y2xx4x2 y4y2yx 1 1 2 4.当且仅当 x y2时，式子取得最小值4.212【解析】 选 C.本题中作差变形后可得：a3 b3 a2b ab2 (a b)2( a b)，由于 a，2b 为正实数， a b，所以

9、 (a b) ( ab) 0，即正确；对于用赋值法很容易判断其错误，如 a 1， b 2， m 1，符合条件但结论不正确；对于，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“”，故错误综合得正确的有，两个，从而选 C.13【解析】 由已知条件lg x lg y 1，可得 xy 10.则25 210 2，xyxy252，故xy最小值当且仅当 2y 5x 时取等号又 xy 10，即 x 2， y 5 时等号成立【答案】 214【解析】 因为 0 x 1，所以 lg x 0，学习必备欢迎下载所以 lg

10、 x0，4（ lg x）4f(x)lg xlg xlg x 2（ lg x）4 4. lg x4当且仅当 lg xlg x，即 lg x 2 时，取“”又因为 lg x0，所以 lgx 2，此时 x1100.【答案】 1410015【解析】 因为 x 0，所以 x12( 当且仅当 x 1时，等号成立 )，所以2xxx 3x 1111，13235xx即2x的最大值为1，故 a1.x 3x 1551【答案】5，16【解析】 因为ab0，所以0b(ab)b（ ab）2a2，当且仅当 ba b，24即ba时等号成立，所以6464425626422562a22，所a aa2以b（ a b）ab（ab）2

11、22562256aa a2 32，当且仅当a a2，即a4时等号成立，此时b2.2【答案】 2417【解】 (1)因为 x 0，所以 xx 4，4所以 y2 xx 2 4 2，学习必备欢迎下载所以当且仅当x4x(x 0)，即 x 2 时， ymax 2.1 x212 2（ x2）1(2)因为 x 2，所以 x 20，所以 y xx2x 2x212 4.所以当且仅当x 2(x2) ，即 x 3 时， ymin 4.111 2x 12x21(3)因为0 x2，所以12x0，所以y42x(12x)4216，所以当且仅当2x 1 2x0 x1 ，2即 x1时， ymax1.41618【解】 设直线 l

12、 的方程为y1 k(x 2)(显然 k 存在，且k0)1令 y 0，可得 A 2k， 0 ；令 x 0，可得 B(0， 1 2k)因为 A， B 都在正半轴上，1所以 2 0 且 1 2k 0，可得 k0.1所以 SAOB2|OA| |OB|1122k(1 2k) 4k2 4k 11 2 2k2k 2k1 2（ 2k） 2 4，（ 2k）当且仅当 k21，即 k1时， SAOB取得最小值4.4219【解】学习必备欢迎下载作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0： ax by 0，平移 l0，由图可知，当直线经过点A(1， 4)时， zmax ax bya 4b 8.(1)因为94)8，a 0，b0，则11111154ba15 24b a1(5(a 4b) 88 ab8ababa b8当且仅当4ba 2，即 a8， b4时取等号，ab33所以1a1b的最小值为98.(2)因为 a 4b 8， a0， b 0，所以 a 4b 2a 4b4ab，所以 ab 4.又因为 a2 16b2（ a 4b）2 32，2所以 a216b2 4ab 32 16 16，当且仅当a 4b 4，即 a 4， b1 时取等号，所以 a216b2 4ab 的最小值为 16.220【解】 当xy时，由已知不等式得c3.下面分