2015年高考真题——数学理（四川卷）

1、第卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（ ）A. x|-1x3 B.x|-1x1 C.x|1x2 D.x|2x3B. 【答案】A【解析】试题分析：，选A.考点：集合的基本运算.2. 设i是虚数单位，则复数( )A. -i B.-3i C.i. D.3i【答案】C考点：复数的基本运算.3. 执行如图所示的程序框图，输出S的值是( )A. B. C.- D.【答案】D【解析】试题分析：这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：，大于4，所以输出的，选D.考点：程序框图.4. 下列函数中，最小正周期

2、为且图象关于原点对称的函数是（ ） 【答案】A【解析】试题分析：对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.考点：三角函数的性质.5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）（A） （B） （C）6 （D）【答案】D考点：双曲线.6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.考点：排列组合.7.设四边形ABCD为平行四边形，.若点M

3、，N满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【解析】试题分析：，所以，选C.考点：平面向量.8.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （ ）（A） 充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B考点：命题与逻辑.9. 如果函数在区间单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】试题分析：时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.考点：函数与不等式的综合应用.10.

4、 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D考点：直线与圆锥曲线，不等式.第卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.【答案】.【解析】试题分析：，所以的系数为.考点：二项式定理.12. .【答案】.【解析】试题分析：.考点：三角函数.13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48

5、小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.【答案】24考点：函数及其应用.14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .【答案】【解析】试题分析：建立坐标系如图所示.设，则.设，则考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.15.已知函数，（其中）.对于不相等的实数，设，.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数，都有；（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得.其中的真命题有 （写出所有

6、真命题的序号）.【答案】对（4），由m=n得，即.令，则.由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得.故正确.所以（1）（4）考点：函数与不等式的综合应用.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.【解析】试题分析：（1）利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用成等差数列，可求得，从而得通项公式.（2）由（1

7、）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式，可求得，代入，即可得使成立的n的最小值.试题解析：（1）由已知，有，即.从而.又因为成等差数列，即.所以，解得.所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.17.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，

8、从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.（2）X的分布列为：X的期望为.试题解析：（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.因此，A中学至少1名学生入选的概率为.（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.，所以X的分布列为：因此，X的期望为.考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.18.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观

9、图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线平面（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.（2）详见解析.（3）【解析】试题分析：（1）注意ABCD是底面，将平面展开图还原可得点F、G、H的位置. （2）根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN平行于平面BDH内的一条直线.连结O、M，易得是平行四边形，从而，进而证得平面.（3）要作出二面角的平面角，首先要过M作平面AEGC的垂线，然后再过垂足作棱EG的垂线，再将垂足与点M连结，即可得二面角的平面角. 试题解析：（1）点F、G、H的位置如图

10、所示.（2）连结BD，设O为BD的中点.因为M、N分别是BC、GH的中点，所以，且，且，所以，且，所以是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.（3）连结AC，过M作于P. 在正方形中，所以.过P作于K，连结KM，所以平面，从而.所以是二面角的平面角.设，则，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值为.（另外，也可利用空间坐标系求解）考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.19.如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：（2）若求.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】

11、试题分析：（1）首先切化弦得，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘以，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.（2）由题设知，该四边形的两对角互补.再结合（1）的结果，有，所以只需求出即可.由于已知四边，且，故考虑用余弦定理列方程组求，从而求出.试题解析：（1）.（2）由，得.由（1），有 连结BD，在中，有，在中，有，所以 ，则，于是.连结AC，同理可得，于是.所以 .考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当

12、直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的对称性，当直线与轴平行时，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得.再根据离心率得，又，三者联立，解方程组即可得，进而得椭圆的方程为.（2）先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点Q的坐标为.接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线，均有.设，由图可看出，为了证明，只需证明，为此作点B关于y轴对称的点，这样将问题转化为证三点共线

13、.试题解析：（1）由已知，点在椭圆E上.因此，解得.所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，由，有，解得或.所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.联立得.其判别式，所以，.因此.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.又，所以，即三点共线.所以.故存在与P不同的定点，使得恒成立.考点：本题考查椭圆

14、的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.21.已知函数（1）设（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先对函数求导，得，然后再求导得.利用导数的符号即得其单调性.此题分和两种情况讨论.（2）要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求的极小值.由，解得，代入得.是否存在令使得呢？为此，令.因为，故存在，使得.接下来的问题是，此时的是否满足呢？令.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.当时，有.由（1）知，函数在区间上单调递增.故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.试题解析：（1）由已知，函数的定义域为，所以.当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2