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文档简介

1、§3 函数平方逼近用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。若存在，使 ， 就是在上的最佳平方逼近多项式。定义 设在区间上非负函数，满足条件：1） 存在 ；2） 对非负的连续函数，若 ， 则在上，就称为区间上的权函数。对及中的一个子集，若存在，使 则称是在子集中的最佳平方逼近函数。令,求等价于求多元函数 的最小值。为权函数。由于是关于的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件，内积定义 于是有 . 这是关于的线性方程组，称为法方程，由于线性无关，故系数行列式，于是此方程组有唯一解，从而得到定理5 在上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列式

2、，其中 证：在上线性无关，则由方程 知 将此方程两边分别乘以之后在积分，便得到下列方程组：即 此齐次方程组只有零解，故其系数行列式的值一定不为0，即。 反之，若，同样对可经过适当变换得到在上线性无关。证明为最佳平方逼近函数即对任何，有 为此只考虑 由于的系数是方程的解，故 ，从而上式第二个积分为0，于是这就证明了是在中的最佳平方逼近函数。若令，则平方误差为 由于 所以 若取，则要在中求次最佳平方逼近多项式 ，此时 若用表示对应的矩阵，即 为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记，则 的解即为所求。例:设，求上的一次最佳平方逼近多项式。解:利用公式，得 得方程组，解出 ，故 平方误差 最大误差用做基，求最佳平方逼近多项式，当较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，

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