09年迎春杯决赛高年级组复赛试题及解析-清洁版

1、09年迎春杯高年级组复试解析1. 计算：= 【分析】 分析：对于这种分数计算题，应当先将其化成假分数再进行约分原式到了这一步，由于15827，4199，2829都较大，不容易直接进行判断，但是对于287，2530，286，可以看出它们有因子7，41，11，23，13等，可以进行约分，再看看15827，4199，2829等较大的数中是否有因子7，41，23，13，如果有，相应地进行约分，最后可得结果为5具体的式子如下：原式(其中323还可以分解成，但是由于分子、分母中的323可以直接约掉，所以计算过程中不需要对它进行分解)2. 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立已知商为奇数，那么除数为 【

2、分析】 首先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示由于商为奇数，所以是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)若为1，则，而为三位数，于是，又这个乘积的十位数字为0，而不能为0，矛盾所以不为1；若为3，则，可能为1、4、7， 相应的为304、314、324当为314和324时所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若为304，则可能为1或

3、2，经检验为1和2时都与竖式不符，所以也不能为3；若为7，则，只有时满足，此时，那么经检验满足题意；若为9，则，只能为7，此时，则只能为1经检验也不合题意所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为1363. 用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是 【分析】 由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的

4、余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为399514. 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如右图，飞镖的靶子分为

5、三块区域，分别对应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖41117【分析】 假设投中17分、11分、4分的次数分别为次、次和次，那么投中飞镖的总次数为次，而总得分为分，要想获奖，必须由于，得到当的值一定后，要使最小，必须使尽可能大若，得到，此时无整数解；若，得到，此时，；若，得到，此时最大为4，当时，这种情况下；若，得到，此时，；若，得到，此时最大为6，当时，这种情况下；若，得到，此时最大为9，当时，这种

6、情况下；若，得到，此时最大为8，当时，这种情况下经过比较可知的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖5. 在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗其余动物都是正常的一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只那么狗的数目是 只【分析】 仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：而狗比猫多180只，所以狗的数目为只

7、6. 太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”参加第一天圆桌会议的人之中共有 位老实人【分析】 第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有1个是老实人可见每相邻的三个人中至少有1个老实人由于，可以先选取两个人，其中至少有1

8、个是老实人(即任意选取1个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至少有1个老实人，所以第一天至少有个老实人第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人可见每相邻的三个人中至多有1个老实人由于，可以先任意选取1个骗子，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至多有1个老实人，所以第二天至多有669个老实人由于第二天有一个人没来，所以第一天比第二天至多多

9、1个老实人，那么第一天至多有个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有670个老实人，所以第一天恰好有670个老实人7. A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒【分析】 本题采用折线图来分析较为简便如图，箭头表示水流方向，表示甲船的路线，表示乙船的路线，两个交点、就是两次相遇的地点由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都

10、分别相同，表现在图中，就是和的长度相同，和的长度相同那么根据对称性可以知道，点距的距离与点距的距离相等，也就是说两次相遇地点与、两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了千米和千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为米/秒，那么两船在静水中的速度为米/秒8. 一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是【分析】 假设五个两位数的十位数上的

11、数字之和为，那么个位数上的数字之和为，则五个两位数上的数字之和为，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大显然，五个两位数的十位数字都不超过，只能是这五个数字中的五个如果五个数字是，那么只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而只能在“日期”的十位上，只能在“时”的十位上，只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况如果五个数字是，那么只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而只能在“日期”的十位上，只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况如果五个数字是，那么只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而只能在“日

12、期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况如果五个数字是，那么只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件所以最大值为（2009年迎春杯高年级组决赛第9题）9. 从1999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有 种选法【分析】 连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是的倍数另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数：如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是

13、的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621626，622627，623628，624629，共4种；如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，900对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是的倍数但又不是的倍数检验

14、620625和625630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意所以有2个5的倍数的情况下共有种选法根据加法原理，共有种选法小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以学生可能对于2比5少的可能性根本不予考虑10. 请将1，2，3，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等那么乘积 【分析】 对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来由于每一条直线上的数之和都为，可得图中每一个小圆圈中的数如下

15、图：可以得到，可得，代入得，即，只能是，则11. 三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 【分析】 假设这三个数分别为，且，则，要求的是的最大值由于是和的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道也是和的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以，同理可得，；，由，得到；由，得到；由，得到；三式相加可得，故也就是说的最大值为72要使等号成立，必须使五个不等式，中的等号都成立，即，得到，即时等号成立在本题中就是，分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72小结：本题的结论较容易猜到，但证明起来较困难另外可能会有人猜到时取到最大值，这

16、是错误的12. 如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点如果ASM、MTB与DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 【分析】 连接、由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9假设的面积为，则的面积为根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：，得将、3、7分别代

17、入检验，只有时等式成立，所以的面积为7，、的面积分别为8、6、9四边形ABCD的面积为小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的13. 一条路上有东、西两镇一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米【分析】 如图，甲、乙两人从地出发，丙从地出发，甲、丙相遇在处，此时乙到达处，、相聚20千米；三人继续前进，当丙和乙在处相遇时，甲到达处，、相聚30千米当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20

18、千米；当丙和乙分别从、出发走到处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米由于，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为，那么两人相遇时丙走了千米，甲走了千米，乙走了千米，丙和乙的速度比为，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米14. 右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的2倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的 倍【分析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是，四个侧面是，两个斜面是对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去、)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去、)假设左图中的立方体的棱长为，右图中的立方体的棱长为，