(完整版)三次函数专题

1、三次函数专题一、定义：定义 1、形如 yax3bx2cxd (a0) 的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名） 。定义 2、三次函数的导数y3ax22bxc(a0) ，把4b212ac 叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。一般地，当 b 23ac0 时，三次函数yax3bx 2cxd (a0) 在 R 上是单调函数；当 b23ac0 时，三次函数yax3bx 2cxd ( a0) 在 R 上有三个单调区间。（根据 a0, a0

2、 两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心。三 次 函 数f ( x)ax 3bx 2cxd (a0) 是 关 于 点 对 称 ， 且 对 称 中 心 为 点bb(, f () ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。3a3a证明：设函数的对称中心为（m， n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数， 所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见， y f(x) 图象的对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。13、三次方程根的问题。（1）当 = 4 212ac0时，由于不等式f(x)0 恒成立，函数是单调递增的，所以原b方程仅有

3、一个实根。（ 2 ）当 = 4b212ac0 时，由于方程f(x)0 有两个不同的实根x1 , x2 ，不妨设x1 x2 ，可知， (x1, f (x1 ) 为函数的极大值点，( x2 , f (x2 ) 为极小值点， 且函数 y f (x)在 (, x1 ) 和 ( x2 ,) 上单调递增，在x1 , x2 上单调递减。此时：若 f (x1 )f ( x2 )0 ，即函数yf (x) 极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。若 f ( x1 )f ( x2 )0 ，即函数 yf (x) 极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与 x轴必有三个交点，

4、所以原方程有三个不等实根。若 f (x1 )f ( x2 )0 ，即 f (x1 ) 与 f ( x2 ) 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题。若函数 f(x) 在点 x0 的附近恒有 f(x 0) f(x) ( 或 f(x 0) f(x) ，则称函数 f(x) 在点 x0 处取得极大值（或极小值） ，称点 x0 为极大值点（或极小值点） 。当0 时，三次函数yfx 在,上的极值点要么有两个。当0 时，三次函数yfx 在,上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：fmaxxfm , fx0, fn；。三、例题讲解：例 1、（函数的单调区间、极值及函数

5、与方程的）已知函数32f （ x） =x -3ax+3x+1。（）设 a=2，求 f （ x）的单调期间；（）设 f （ x）在区间（ 2,3 ）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。解：25555式无解，式的解为 4a因此 a 的取值范围是 4，3 ，3 .例 2、 已知函数 f (x) 满足 f ( x) x3f ' 2 x 2x C （其中 C 为常数）3（ 1）求函数 f (x) 的单调区间；（ 2）若方程 f (x)0 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；1（ 3）在（ 2）的条件下，若f0 ，求函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的封闭3图形的面积解：（ 1）由 f (

6、 x)x3f ' 2 x2x C ，得 f '( x) 3x 22 f ' 2 x 1 332 ，得 f '222222取 x32 f '1 ，解之，得 f '1 ，333333fx x3x 2xC( )从而 f '( x)3x22x13x1 x1 ，3列表如下：x(,1)1(1, 1)1(1,)f ' ( x)33300f (x)有极大值有极小值3 f ( x) 的单调递增区间是( ,1) 和 (1,) ； f ( x) 的单调递减区间是3( 1,1) 3（2）由（ 1）知， f ( x) 极大值f13321 C f ( x)

7、极小值 f (1) 11 1 C312511CC ；33327 方 程 f (x)0 有且 只有 两 个不 等的 实数 根， 等价 于 f ( x) 极大值0 或 f (x) 极小值08 分常数 C5 或 C127（3）由（ 2）知， f ( x)x 3x2x5或 f (x)x3x 2x127而 f10 ，所以 f ( x)x3x 2x13令 f ( x)x3x 2x1 0 ，得 ( x 1) 2 ( x1) 0 ， x11， x21 11 x 41 x31 x 214 所求封闭图形的面积x 2x1 dxxx3143213例 3、（恒成立问题） 已知函数 f ( x)1x31x2cxd 有极值

8、（ 1）求 c 的取值范围；32（ 2）若 f (x) 在 x2 处取得极值， 且当 x0 时， f (x)1d22d 恒成立，求 d 的6取值范围解：（ 1） f (x)1 x31 x2cxd ， f( x)x2xc ，32x2要使 f ( x) 有极值，则方程 f( x)xc0有两个实数解，从而 14c 0 ， c1 （ 2） f ( x) 在 x2 处取得极值，4 f(2)42c0 ， c2 f ( x)1 x31 x22x d ，32 f ( x)x2x 2( x2)( x 1) ，当 x(,1 时， f (x)0 ，函数单调递增，当 x(1,2时， f(x)0，函数单调递减 x0 时

9、， f (x) 在 x1处取得最大值 7d ，6 x0时， f (x)1 d22d 恒成立，64 7d1 d 22d ，即 (d 7)( d1) 0，66 d7 或 d1 ，即 d 的取值范围是 (, 7)U(1,) 例 4、（信息迁移题） 对于三次函数 f (x)ax3bx2cxd (a0) 。定义：（1） f (x)的导数 f(x) （也叫 f( x) 一阶导数）的导数f( x) 为 f (x) 的二阶导数，若方程f (x)0有实数解x0，则称点(x0 , f ( x0 )为函数y f ( x)的“拐点”；定义：（2）设 x0 为常数，若定义在R 上的函数 yf (x) 对于定义域内的一切

10、实数x ，都有f ( x0x)f ( x0x)2 f ( x0 )恒成立，则函数yf ( x)的图象关于点(x0, f ( x0 )对称。（ 1）己知 f ( x)x33x22x2 ，求函数 f ( x) 的“拐点” A 的坐标；（ 2）检验（ 1）中的函数f (x) 的图象是否关于“拐点”A对称;（ 3）对于任意的三次函数f (x) ax3bx2cxd (a0) 写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。解：（1）依题意，得： f ( x)3x26x2，f ( x)6x 6 。由 f( x)0，即 6x60 。 x1 ，又f (1)2 ， f (x) x33x22x2 的“拐点”坐标是 (1,

11、 2) 。（ 2）由 (1)知“拐点”坐标是(1, 2) 。 而f (1x)f (1x) = (1x)33(1x) 22(1x) 2(1x)33(1 x) 22(1 x) 2= 26x266x244 4 = 2 f (1) ，由定义 (2)知： fxx33x22x2 关于点 (1, 2) 对称。（3）一般地，三次函数f x ax3bx2cxd(a 0)的“拐点”是b,f (b)，它就是 f ( x) 的对称中心。3 a3 a或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例 5、（与线性规划的交汇问题） 设函数,其中,是的导函数 .5(1) 若

12、, 求函数的解析式 ;(2) 若, 函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围 .解 :()据题意,由知 ,是二次函数图象的对称轴又,故是方程的两根.设,将代入得比较系数得 :故为所求 .另解：，据题意得解得故为所求 .(2) 据题意,则又是方程的两根 , 且6则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方 . 观察图形知点， A 到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例 6：（ 1）已知函数 f(x)=x 3-x , 其图像记为曲线 C.（ i ）求函数 f(x) 的单调区间；（ ii ）证明：若对于任意非零实数x, 曲线 C与其在点 P（ x ,f(x1) ）处的切111线交

13、于另一点P2（ x2,f(x2) ），曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点P3（ x,f(x)），线段 P P2,P P与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为33123S112为定值；S，S ，则S2320), 请给出类似于（） （ ii ）的（ 2）对于一般的三次函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a正确命题，并予以证明。解法一：（ 1）（i ）有 f(x)=x3-x 得 f (x)=3x 2-1=3(x-3 )(x+3 ).33当 x(,3) 和(3 ，) 时， f (x)>0;33当 x(3，3 ) 时， f (x)<0。337（）曲线C 在点 P1 处的切线

14、方程为y=(3x2)+x3-x，1-1)(x-x111即 y=(3x 12-1)x-2 x13.由得 x3-x=(3x12-1)x-2 x 13即（ x-x 1） 2(x+2x 1)=0,解得 x=x11或 x=-2x ,故 x2=-2x 1.进而有用 x 代替 x , 重复上述计算过程，可得x = -2x和 S =2744x2 。21322又 x=-2x0，所以2716 40,因此有s111S =x1。224s216（ 2）记函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d（ a0）的图像为曲线C，类似于（） （ ii ）的正确命题为：若对于任意不等于b的实数 x1, 曲线 C与其在点 P1（ x1

15、, g(x 1) ）处的切线交于另一3a点 P （ x,g(x ) ）, 曲线 C与其在点 P 处的切线交于另一点P（ x , g(x ) ），线段 P P 、P P22223331223与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为S1， S2，则 S1为定值。S2证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至解法二：（ 1）同解法一。（ 2）记函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0) 的图像为曲线C，类似于（ 1）（ ii ）的正确命题为：若对于任意不等于b的实数 x1, 曲线 C与其在点 P1（x1, g(x 1) ）处的切线交于另一点 P23a（ x2

16、, g(x2) ）, 曲线C与其在点P2 处的切线交于另一点P3（ x3, g(x3) ），线段P1P2、 P2P38与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为S1， S2，则 S1 为定值。S2证明如下：用 x代替 x ，重复上述计算过程，可得x =b2x 和 S2(3ax2b)4。213a12a3又 x2= b2x1且x1b ,a3a所以 S2(3ax2 b)( 6ax1 2b)416(3 ax1b)412a312a312 a30,故S11. S2 16三次函数作业1、设 是函数 f(x) 的导函数， 的图象如图所示，则 yf(x) 的图象最有可能是（ ）2、函数在闭区间 3， 0 上的最大值

17、、最小值分别是（）A.1 ，1B.1，17C.3 ，17D.9 ，1993、设函数 f (x) 6x33( a2) x22ax .（ 1）若 f ( x) 的两个极值点为x1, x2 ，且 x1 x21，求实数 a 的值；（ 2）是否存在实数 a ，使得 f ( x) 是 (,) 上的单调函数？若存在, 求出 a 的值；若不存在，说明理由 .考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数 f ( x)a x3bx2cxd ( a f 0) ，且方程 f ' (x)9x0的两个根分别为1，34。（）当 a=3 且曲线 yf (x) 过原点时，求f ( x) 的解析式；（）若 f (

18、 x) 在 (,) 无极值点，求a 的取值范围。ax 33 x21(x R)5、已知函数 f （ x） =2，其中 a>0.（）若 a=1，求曲线 y=f （ x）在点（ 2， f （ 2）处的切线方程；1 , 1（）若在区间2 2上， f （x） >0 恒成立，求 a 的取值范围 .6、已知函数 f ( x) ax3x2bx（其中常数 a， b R）， g( x)f ( x)f '( x) 是奇函数 .（）求 f (x) 的表达式；（）讨论 g( x) 的单调性，并求g (x) 在区间1,2上的最大值与最小值 .7、已知在函数 f (x)mx 3x 的图象上以 N（1，n

19、）为切点的切线的倾斜角为,（ 1）求 m、n 的值；4（ 2）是否存在最小的正整数k，使不等式 f ( x) k 1992对于 x 1,3 恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由；（ 3）求证： | f (sin x)f (cosx) |2 f (t1 )( x R, t0).2t8、已知函数 f (x)(xa)2 （ a-b） (a,bR, a <b) 。（ I ）当 a=1，b=2 时，求曲线 yf ( x) 在点（ 2， f ( x) ）处的切线方程。（ II ）设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个极值点，x3 是 f ( x) 的一个零点，且x3x1 ， x3x29

20、、已知函数 f （ x）= 1x3x2axb 的图像在点 P（0,f(0) ）处的切线方程为y=3x-2310( ) 求实数 a,b 的值；( ) 设 g（x） =f(x)+m 是 2, 上的增函数。x 1（ i ）求实数 m的最大值；(ii)当 m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x) 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。作业：1、解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息：；导方程两根是0，2，（ f(x) 对称中心的横坐标是1）；在（ 0，2）上；在（， 0）或（ 2，）上。由和性质

21、1 可排除 B、 D；由和性质1 确定选 C。2、解：函数的导方程是，两根为1 和 1，由性质2 得：，。故选 C。3、【解析】 f ( x) 18 x26(a2) x2a（ 1）由已知有 f ( x1 )f (x2 )x1x22a1189 ；0 ，从而，所以 a（ 2）由36(a 2) 24 182a36(a24) 0，所以不存在实数 a ，使得 f ( x) 是 R 上的单调函数 .4、115、【解析】（）解：当x 33x2123x , f a=1 时， f （x） =2， f （2） =3； f (x)= 3x(2)=6.所以曲线 y=f （ x）在点（ 2， f （ 2）处的切线方程为y-3=6 （ x-2 ），即 y=6x-9.3ax21（）解： f (x)=3x 3x(ax 1) . 令 f (x)=0 ，解得 x=0 或 x= a .以下分两种情况讨论：0a 2，则 11若a2 ，当 x 变化时， f (x) ， f （x）的变化情况如下表：X1，010，202f (x)+0-12f(x)Z极大值f ( 1) 0,5a0,82即x11f ( 1) 0,5a0.， 时， f（ x） >0当22等价于28，解不等式组得 -5<a<5. 因此 0a 2 .1102若 a>2，则a. 当 x 变化时， f (x),f（x）的变化情况如下表：X1，