(完整版)指数函数知识点总结

1、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果xna ，那么x叫做a的n次方根，其中n 1nN*，且负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0，记作 n 00 。当 n 是奇数时， na na ，当 n 是偶数时， na n| a |a(a0)a(a0)2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma nna m (a0, m, nN * ,n1)m11an(a0, m, n*, n1)mn amNa n0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） a r a rar s(a 0, r, sR) ；（2） ( a r ) sars(a0,r , s

2、R) ；（ 3） (ab)ra r as(a0,r , sR) （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x (a0,且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a166554433221111-4-20246-4-20246-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y0在 R上单在 R上单调递增调递减非奇非偶非奇非偶函数函数函数图象函数图象都过定点都过定点（0，1）（ 0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（ 1）在 a ， b 上， f (x)a x (

3、a0且 a1) 值域是 f (a), f ( b) 或 f ( b), f (a)（2）若 x 0，则 f ( x )1； f (x) 取遍所有正数当且仅当xR ；（3）对于指数函数f (x )a x (a0且 a1) ，总有 f (1)a ；指数函数例题解析【例 1】求下列函数的定义域与值域：1(2)y 2 x 2(3)y 3 3x 1(1)y 32 x1解 (1) 定义域为 xR 且 x 2值域 y 0 且 y 1(2) 由 2x+2 1 0，得定义域 x|x 2 ，值域为 y 0(3) 由 3 3x-1 0，得定义域是 x|x 2 ， 0 3 3x 13，值域是 0 y31( 2)|x|

4、 ；（ 1） y2 x 4 ；（ 2） y（ 3） y4 x2 x 11 ；练习：3【例 2】指数函数yax， y bx， y cx， y dx 的图像如图2 62 所示，则 a、 b、 c、 d、 1 之间的大小关系是 A a b 1 c dB a b 1 d c C b a1 d c D c d 1 a b解 选 (c) ，在 x 轴上任取一点 (x ， 0) ，则得 b a1 d c练习：指数函数满足不等式, 则它们的图象是().【例 3】比较大小：(1)2、 32、5 4、88、 916的大小关系是：(2)0.64315( )22(3)4.54.1 _3.7 3.611234解 (1)

5、222，3 223，5 425，8828，9 162 9 ，函数x ，2 ，该函数在(，)上是增函数，y21又13241，32 8 5 9238592841641解 (2)0.6 5 1，1(3) 2， 24 1 0.6 5(3) 22解(3) 借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.5 4.1 4.5 3.6，作函数y14.5 x， y23.7 x 的图像如图2 6 3，取 x 3.6 ，得 4.5 3.6 3.7 3.6 4.5 4.1 3.7 3.6 说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2 中的 (1) 若是两个不同底且指数也不

6、同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1 作桥梁，如例 2中的 (2) 其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.5 4.1同底与 3.7 3.6同指数的特点，即为4.5 3.6 ( 或3.7 4.1 ) ，如例 2 中的 (3) 练习： （1） 1. 7与1 . 73(2) 0.8 0.1与 0.8 0.22. 52.12 .0(3) 1 .70.3 与 0.93.1（） 3.5和 2.7【例 4】 比较大小 n 1 an 与 n an 1 (a 0且a1， n1)n 1 an1an( n1)解ann1当，1，0a1n1n( n01)1 a n( n 1) 1， n 1 an n an

7、1当 a 1时， n 1，1 0，n(n1)1 a n( n 1) 1， n 1 an n an 1【例 5】作出下列函数的图像：(1)y ( 1) x 1(2)y 2x 2，2(3)y 2|x-1|(4)y |1 3x|解 (1)y ( 1) x 1 的图像 ( 如图 2 6 4) ，过点 (0， 1) 及 ( 1， 1) 221是把函数 y () x 的图像向左平移1个单位得到的解(2)y 2x 2 的图像 ( 如图 2 6 5) 是把函数y 2x 的图像向下平移2 个单位得到的解(3)利用翻折变换， 先作 y2|x| 的图像， 再把 y 2|x| 的图像向右平移 1个单位，就得y 2|x

8、-1| 的图像 ( 如图 2 6 6) 解(4)作函数 y 3x 的图像关于 x 轴的对称图像得y 3x 的图像，再把 y 3x 的图像向上平移1 个单位，保留其在x 轴及 x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到( 如图 2 6 7)【例 8】 已知 f(x) ax1 (a1)ax1(1) 判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域； (3)证明 f(x) 在区间 ( ， ) 上是增函数解 (1) 定义域是 Ra x1ax1f( x) ax1ax1 f(x) ，函数 f(x)为奇函数(2) 函数yax1， y1，有 ax 1yy101y1，ax1y1

9、1y即 f(x) 的值域为 ( 1， 1) (3) 设任意取两个值x1、 x2( ， ) 且 x1 x2 f(x1) f(x 2)axl1a x2 12(axlax2 )，x 2， x1x2 ，(ax11)a x2 1(axl1)( ax21)axl1a 1 x1aa(a x2 1)0， f(x 1 ) f(x 2 )，故 f(x) 在R上为增函数单元测试题一、选择题： （本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）111111、化简 1 2 3212 161 2 81 2 41 2 2，结果是（）A、 111111D、 111 232B、1 232C 、1 2321 2322234642、

10、693a9等于（）aA、 a16B、 a8C、 a4D、 a23、若 a1,b0, 且 aba b22 ,则 aba b的值等于（）A、 6B、 2C、 2D、 24、函数 f ( x)a2x在 R 上是减函数，则a 的取值范围是（1）A、 a 1B、 a 2C、 a2D、 1 a25、下列函数式中，满足f ( x1)1 f ( x) 的是 ()A、 1 ( x 1)12B 、 xC、 2xD、 2 x246、下列 f ( x)(1a x )2 gax 是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数11 ；(4)117、已知 ab, ab0 ，下列不等式（ 1） a2b2；(2)

11、2a2b ； (3)a 3b3 ；ab1a1b(5)中恒成立的有（）33A、1 个B、 2 个C、 3 个D、 4 个8、函数 y2x1）2x是（1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数 y1的值域是（）2x1A、,1B、,0U 0,C 、1,D、 (, 1)U0,10、已知 0a1,b1, 则函数 yaxb 的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、 F ( x)12x2f ( x)( x0)是偶函数，且 f ( x) 不恒等于零，则f ( x) ()1A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数

12、12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b% ，则 n 年后这批设备的价值为（）A、na(1 b%)B 、a(1 nb%)C 、1 (%)n D、 a(1b%)nab二、填空题： （本题共 4 小题，每小题4 分，共16 分，请把答案填写在答题纸上）13、若 10x3,10y4 ，则 10 x y。14、函数15、函数12 x2 8 x 1( 3 x 1)的值域是。y323x2。y 3的单调递减区间是16、若 f (52 x 1 ) x2 ，则 f (125)。三、解答题： （本题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）17、设 0 a 1，

13、解关于 x 的不等式 a2x2 3 x 2a2 x2 2 x 3 。18、已知 x3,2111的最小值与最大值。，求 f ( x)2x4x19、设 aa 2xa 2f ( x) 为奇函数。R ， f ( x)(x R) ，试确定 a 的值，使2x120、已知函数y13x22 x 5，求其单调区间及值域。21、若函数y4x3g2x3 的值域为1,7 ，试确定 x 的取值范围。22、已知函数 f ( x)ax1 ( a 1) (1) 判断函数的奇偶性；(2) 求该函数的值域；(3) 证明ax1f ( x) 是 R 上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案一、题号123456789101112答案

14、ACCDDBCADAAD二、 13、 34914、1,3 9，令 U2x28x 12( x 2) 29 ， 3 x 1,9U9,3又 y13U19为减函数， y 39 。3215、0,，令 y3U ,U23x2 ， y3U 为增函数，y32 3 x 的单调递减区间为0,。16、 0 ， f (125)f (53 )f (52 2 1)2 20三、 17、 0a1, yax 在,上为减函数，a2 x23x 2a2x22 x 3 , 2x23x 2 2x22x 3x 1112318、 f ( x)1 4x2x1 22x2x12x1x2x2,44 x3,2, 1 2 x 8 .143；当 2则当 2

15、 x, 即 x1时 ,f ( x) 有最小值x8 , 即 x3 时， f ( x) 有最大值 57。24、要使 f ( x)为奇函数，x R ,需 f ( x)f (x)0,19 f (x) a2, f ( x) a2a2x 1, 由 a2a2x 10 , 得2x2x12x2x12x1112a2(2 x1)0 ,a1。2x11U20、令 y, Ux22x5，则 y 是关于 U 的减函数， 而 U 是,1 上的减函数，31x22x51,上的增函数，y在,1上是增函数，而在1,上是减函3数，又 Ux22x5( x1)24 4 , y13x22 x 54的值域为0,1。321、 y4x3 2x322 x3 2x3 ，依题意有(2 x )23 2x3 7即1 2x 42 2x4或0 2x 1,(2 x )23 2x3 1，2x 2或 2x 1由函数 y2x 的单调性可得x