数学建模 电梯调度问题13

1、电梯调度问题优化模型摘要在现代社会，电梯成为高层建筑必不可少的交通工具，每值上下班高峰期时，不合理的电梯调度，会增加乘梯人的等待时间，造成人员聚集拥堵。因此，合适的电梯调度方案能够缓解上下班人流高峰期电梯的运输压力，减少乘梯人不必要的等待时间。对于问题一，我们在考虑到在减少乘客等待时间和乘坐时间的条件下的满意度会提高的实际情况下，选择以“最短的运送时间”和“最短的等待时间”为评价指标。对于问题二，我们从生活实际出发，分别建立“跳跃式模型”和“连续型分阶段模型”。针对每种模型，我们会给出不同的电梯调度方案，通过对比给出最优调度方案。对于问题三，在第二问中，我们假设电梯是在乘客在等待条件下进行的运

2、送，而实际中乘客到达时间可看作“泊松分布”。我们对此模型进一步优化，以期得到更合实际的电梯调度方案。最后，我们对所得方案进行评价并推广。关键词：电梯调度 连续型分阶段模型 跳跃式模型 泊松分布一、问题重述 问题背景商用写字楼在早上8:20到9:00这段时间内，上班的人陆续到达，底层等电梯地方人山人海，常常碰到再过几分钟就要迟到但电梯迟迟不来的情况，候梯人焦急万分，抱怨不断。本文就上班高峰期时段电梯运行情况建立数学模型，对于所设想出的方案进行研究比较，以找出较为合理的调度方案。 已知条件（1） 各层楼办公人数各不相同，具体人数见下表（1）：楼层人数楼层人数楼层人数12345678无2081772

3、22130181191236910111213141516236139272272272270300264171819202l22200200200200207207（2） 有6部电梯，电梯容量均为20人。（3） 每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。 待解决问题第一问：在既定条件下，根据实际情况给出若干合理的模型评价指标。第二问：请根据评级指标合理的建立电梯调度模型，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各个楼层的人流快速送到，并减少候梯时间。第三问，对第二问中建立的

4、数学模型进一步实际化，使其更好地用于解决现实的电梯调度问题。二、模型假设1、所有工作人员均在8:20-9:00这段时间内到达；2、由于处于上班高峰期，电梯每次都可以满载（20人）；3、在此段时间内只有上行的乘客而无下行乘客，即假设下行人数为零；4、乘客到达各层的概率相等；5、从底层乘坐同一组电梯的乘客到达该组电梯所服务的任一楼层是随机的；6、电梯在此过程中无故障运行。7、所有人都不走楼梯。三、符号说明符号 定义 单位t 有效运行时间（2400秒） sti 电梯从第一层到第i层所需要的时间 sti， 电梯从第n层到第n+i层的运行时间 sTi 电梯i的运行周期 sN 电梯容量(20人) 人 N（

5、i） 每个电梯服务总人数 人四、模型的建立与求解4.1 问题一的讨论及结果 经过我们的讨论，结合实际生活中我们遇到的现实情况，我们给出以下讨论结果：（1）在四十分钟内把尽可能多的工作人员送往工作楼层；（2）乘客在底楼的平均等待时间最好不超过90秒。4.2 问题二的模型建立与求解4.2.1 运动方程的建立与求解4.2.1.1 电梯从第一层直接到第n层的时间 ti = 3 * (n-1) 由以上公式得出电梯由第一层直接到第n层所需要的时间，如表（2）：表（2此处不大必要）n23456789101112ti3691215182124273033N13141516171819202122ti36394

6、245485154576063.1.2 计算电梯从第n层到第n+i层的运行时间电梯第n层到第n+i层的运行时间 ti, = 3 * i由以上公式计算出i取不同值时所需要的时间，见表（3）：表（3此处不大必要）i1234567891011ti,3691215182124273033i12131415161718192021ti,36394245485154576063.2 模型一：跳跃式分组模型为了分组清晰并方便区分，我们把6个电梯分别标号为1、2、3、4、5、6。若每个电梯两次停靠的时间不是连续的，而是跳跃式的。则这22层楼分为6组，具体的分配情况见表（4）：表（4）电梯1电梯2电梯3电梯4电

7、梯5电梯67654321312111098191817161514222120按跳跃式方法分阶段，其对应的运行时间见表（5）：表（5）电梯1电梯2电梯3电梯4电梯5电梯6阶段1的时间181512963阶段2的时间181818181818阶段3的时间181818181818阶段4的时间181818各电梯各阶段时间和545148636057各电梯在所服务楼层停靠时间和505050606060各电梯返回到一楼的时间545148636057总的运行时间1581521461861801744.2.3 模型二：连续型分阶段模型4.2.3.1 方案一若将22层楼按电梯个数分为六组，每个电梯负责连续的几层楼的

8、人员运送。将22层楼分为1-6、7-10、11-14、15-18、19-20、21-22这6个阶段，则具体的分段情况如下表（6）所示：电梯1电梯2电梯3电梯4电梯5电梯62711151821381216192249131720510146表（6）表（6）按此方法分阶段，对应的运行时间如下表（7）所示：表（7）电梯1电梯2电梯3电梯4电梯5电梯6阶段1的时间31830425160阶段2的时间333333阶段3的时间33333阶段4的时间333阶段5的时间3各电梯各阶段时间和152739485763各电梯在服务楼层停靠时间和706060505040各电梯返回到底层的时间152739485763电梯

9、运行总时间1001141381461641664. 2. 3. 2 方案二 若将三十层楼分成三组，每两个电梯负责相同的楼层人员，且每两个电梯运送的楼层仍为连续分段，即1-10、11-17、18-22，则具体分段情况如下表（8）所示：表（8）电梯1、2电梯3、4电梯5、62111831219413205142161522716817910按此方法分阶段，对应的运行时间如下表（9）所示：表（9）电梯1、2电梯3、4电梯5、6阶段1的时间33051阶段2的时间333阶段3的时间333阶段4的时间333阶段5的时间333阶段6的时间33阶段7的时间33阶段8的时间3阶段9的时间3各个电梯各阶段的时间和

10、274863各电梯在服务楼层停靠时间和1109070各电梯返回到底层时间274863各电梯运行时间总和1641861964. 2. 4 最优化模型选择4. 2. 4. 1 针对第一个评价指标，我们可对三个模型做一个数据处理。假设各层楼工作人员随即乘坐电梯，我们可以近似求出每个模型中各个电梯运送完所服务楼层的所有人员的近似耗费时间分别如下表（10）（11）（12）所示：表（10）电梯1电梯2电梯3电梯4电梯5电梯6各电梯服务楼层人员数191272200181272200130272200222139264207177236300207208236270200各电梯服务总人数66365360282

11、8920914运送完所有人员所需次数（N（i）/N）333330414646运送完所有人员近似所需总时间（N（i）/N）* Ti 521450164380762682808004运送效率t/（N（i）/N）* Ti表（11）电梯1电梯2电梯3电梯4电梯5电梯6各电梯服务楼层人员数208177222130181191236236139272272272270300264200200200200207207各电梯服务总人数9188021086764600414运送完所有人员所需次数（N（i）/N）464054383021运送完所有人员近似所需总时间（N（i）/N）* Ti4600456074525

12、54849203486运送效率t/（N（i）/N）* Ti表（12）电梯1、2电梯2电梯3各电梯服务楼层人员数208177222130181191236236139272272272272300264270200200200207207各电梯服务总人数172019201014运送完所有人员所需次数（N（i）/N）869398运送完所有人员近似所需总时间（N（i）/N）* Ti705289284998运送效率t/（N（i）/N）* Ti从表中数据可以清楚看出各个方案各个电梯的运输能力：模型一 方案一：模型二 方案一：模型二 方案二：明显可以看出，模型二中的方案一运输能力最强，故为了在有效的这40

13、分钟内运送尽可能多的人员，应该选此方案一。4. 2. 4. 1 针对第二个指标，由于此商用写字楼在早上8:20到9:00这段时间内人员很多很集中，我们最好保证等候人员的等待时间不超过90秒，则要求每个电梯从起点1楼出发回到终点1楼的周期T不超过90秒，故需要计算各模型的运行周期T，从中选择T最小的电梯调度方案来时电梯调度优化，从而缓解该时段人员乘坐电梯的拥挤情况，减少等候时间。则可以从所求数据得出，乘坐各个电梯等待时间分别是：模型一 方案一：电梯运行总时间158152146186180174模型二 方案一：电梯运行总时间100114138146164166模型二 方案二：各电梯运行时间总和/2

14、829398故可以看出，再次评价指标下模型二的方案二较好。五、模型的评价与推广5. 1 模型的优点1、模型简单易懂，具有较广泛的实用性；2、各模型都用具体的量化分析，具有较强的说服力；3、所用表格简单明了，结果清晰可见。5. 2 模型的缺点实际生活中可能存在其他限制条件，没有全面考虑。并且高峰期人流也不是简单的泊松分布，模型结果不太准确。5. 3 模型的推广高层建筑中电梯连续分组优化模型易于推广，对于其他如上下班高峰期车流问题，本模型同样适用。六、参考文献1教材编写组，运筹学，清华大学出版社2姜启源，数学建模案例选集，高等教育出版社，2006.7。3齐行行，米琦，叶颖梁，高层写字楼电梯运行安排

15、模型M,辽宁工学院报，2003,23（5）20-22。附录附录1for I=1:6 for i=1:i for li=1:6 if li>7-I break;EX=0;for r=b:n+b-1 EX=EX+(n-r+b)/n)20- (n-r+b-1)/n)20)*(3*b+17);endEY=0;for r=1:n-1 EY=EY+ (n-r+1)/n)20-2*(n-r)/n)20 + (n-r-1)/n)20)*(13*r);EZ=0;for r=b:n+b-1 EZ=EZ+ (r-b+1)/n)20- (r-b)/n)20)*(3*b+3*r+7);End f=EX+EY+EZ

16、;t=*n*f/li;endTi,fval, exitflag,output = fmincon(-t,0 0 0 0 ,options); options=optimset('li','i','b','n');endT,fval, exitflag,output = fmincon(Ti,0 0 0 0 0 0 ,options);options=optimset('li','i','b','n')end附录2Model：sets: EX/r(b).r(n+b-1)/:rx; EY/1.n-1/:ry; EZ/b.n=b-1/:rz; endsetsmax*n(i)*(SUM(EX(r): (n-r+b)/n)20- (n-r+b-1)/n)20