(完整版)对数与对数函数知识点与例题讲解

1、对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理：一、对数1、定义：一般地，如果 axN a 0,a1，那么实数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog a N ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数 .2、特殊对数通常以 10 为底的对数叫做常用对数，并把log 10 N 记为 lgN ；通常以 e 为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记为 lnN .3、对数的运算运算性质：如果 a0,且 a 1,M0, N0 ，那么： loga MNlog aMloga N ； log aMlog a Mlog a N ； log a M nnloga Mn R ；n log aMN1 l

2、og am M nn R, m 0 ； log a b； alog a NN .mlog ba换底公式： log a blog cb .log ca二、对数函数1、定义：一般地，函数y loga x a0，且 a1叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 0,.2、图像和性质a 10a1图像定义域：值域：性过定点，即当 x1时， y0质在 R上是在 R上是非奇非偶函数3、同底的指数函数 ya x 与对数函数 y log ax 互为反函数，它们的图像关于直线y x 对称 .【课前小测】219 写成对数式，正确的是（）1、3A 、 log912B 、 log 1 92C、 log129D、

3、log21393332、函数 yloga xa0, a1 的图像过定点（）A、 1,1B、 1,0C、 0,1D、 0,03、 log 49 343 等于（A、 7B 、 223）C、D、324、函数 fxlg3x1的定义域是（）A 、1B、 0,C、,0D、1,335、函数 fx1log 2 x 的定义域是（）A 、,B、 0,C、11,D、 0,22考点一、化简和求值例 1、 2log 5 10log 5 0.25（）A 、 0B、 1C、 2D、 4解析： 2log 510 log 50.25log 5100log 50.25 log 525 2 计算： (log 3 2log 9 2)

4、 (log 4 3 log 8 3) 解：原式( lg 2lg 2 ) ( lg3lg3 )( lg 2lg 2 )(lg3lg3 )3lg 25lg 35lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 22lg 36lg 24变式、 （辽宁卷文10）设 2a5bm ，且112 ，则 m（）abA、 10B、10C、 20D 、100 已知 3a2 ，用 a 表示 log 34log 3 6 ；已知 log 3 2 a ， 3b5 ，用 a、 b 表示 log 330 第1页共12页第2页共 12页考点二、比较大小例 2、较下列比较下列各组数中两个值的大小： log 6 7 ， lo

5、g 76 ； log 3， log 2 0.8 ； 1.10.9 ， log1.10.9 ， log 0.70.8 ； log 5 3 ， log 63 ， log 7 3答案： >； >； >， >； >， >变 式 、 已 知函 数 f ( x)| lg x | ， 若 1ab1 ， 则 f (a)、 f (b) 、 f (c)从小到大依次c为； acb已知 log m 4log n 4 ，比较 m ， n 的大小解： log m 4log n 4 ，11，当 m1， n1时，得 011log 4 m，log 4 m log 4 nlog 4 n log

6、 4 nlog 4 m ， mn1当 0m1 ， 0n1时，得110 ，log 4 nlog 4 m log 4 nlog 4 m ， 0nm1 当0m1 ， n1 时，得 log4 m0 ，0log 4 n ， 0 m 1， n 1 ， 0 m 1 n 综上所述， m ， n 的大小关系为mn 1或 0nm 1或0m1 n 考点三、解与对数相关的不等式例 3、解不等式 log x 3 (x1)2 x10x10解：原不等式等价于x31或0x31x 1 ( x 3) 2x 1 (x 3) 2解之得： 4 x 5原不等式的解集为 x|4 x 5解关于 x 的不等式： log a (43xx2 )l

7、og a (2x1)log a 2, (a0, a1) 解：原不等式可化为log a (43xx 2 ) log a 2(2x1)2x 10x121当 a 1 时有 4 3x x 20x21 x 443xx 22(2x1)3x22（其实中间一个不等式可省, 为什么？让学生思考）2x10x12当 0 a 1 时有 43xx202 x 41 x 443xx22(2x 1)或2x 3 x当 a 1 时不等式的解集为12 ；当 0 a 1 时不等式的解集为2 x4x2解不等式 x log a xx4xa 2解： 两边取以 a 为底的对数：当 0<a<1 时原不等式化为：(log a x)

8、29 logax22 (log ax4)( 2 log a x1)0 ， 1log a x4 ， a4xa2当 a>1 时原不等式化为：(log a x)29 log ax22 (log ax4)( 2 log a x1)0，log ax4或 log a x1 ， xa 4或 0xa2原不等式的解集为 x | a 4xa ,0a1或 x | xa4 或 0xa , a1考点四、对数型函数的性质 定义域、值域例 4、 函数 f (x)3x2lg(3 x1) 的定义域是（）1x1,)B、 (1C、 (11D、 (1)A 、 (,1)3,),3333函数 ylog (2 x1)3x2的定义域是

9、（）2U 1,1,1U 1,C、2,1A、,1B、3D 、,322函数 fx log 23x1 的值域为（）A、 0,B 、0,C、 1,D、 1,变式 、求函数 ylog 2 (3x) 的定义域 . 单调性、奇偶性第3页共12页第4页共 12页例 5、函数 y log 3(x2 2x)的单调减区间是 _解：令 u x2 2x，则 y log3u. y log 3u 是增函数， u x2 2x0 的减区间是 ( ， 0)， y log 3(x2 2x)的减区间是 ( ， 0)设 0 a 1，函数 f (x) loga(a2x 2ax 2)，则使 f (x) 0 的 x 的取值范围是（）A 、

10、(， 0)B 、(0， )C、 (， log a3)D 、(log a3， )解：由 f(x)0，即 a2x 2ax2 1，整理得 (ax3)(ax 1) 0，则 ax 3. x log a3.2 x）函数 y log 2的图象（2 xA 、关于原点对称B 、关于直线 y x 对称C、关于 y 轴对称D 、关于直线 y x 对称2 x2x2 xf( x) f(x)，f(x)是奇函数故选 A .解： f(x) log 2，f( x)log 2 log 22 x2x2 x1a2变式 、若 log 2 a0 ，则 a 的取值范围是（）1aA、 (1,)B、 (1,)C、(1,1)D、 (0,1)22

11、2若 log a ( a21)log a 2a0 ，则 a 的取值范围是若函数f ( x)log a ( xx 22a 2 ) 是奇函数，则a =综合应用例 6、设函数 f(x) log a 1 ax ，其中 0a 1.证明： f(x)是 (a， )上的减函数；解不等式f(x) 1.a解析：证明：设0 a x1 x2， g(x) 1 x，则 g(x1) g(x2) 1 a 1 a a(x1 x2) 0，x1x2x1 x2 g(x1 ) g(x2)又 0 a 1， f(x1) f(x2) f(x)在 (a， )上是减函数第5页共12页a 1， 0 1a a，解得：x a， log aa，1 xx

12、x1 a不等式的解集为： x|a xa1 a 变式 、已知函数 f ( x)log 2 (32x x2 ) .求函数 f ( x) 的定义域；求证f ( x) 在 x (1,3)上是减函数；求函数f ( x) 的值域 .随堂巩固1、 log 6 3log 6 2 等于（）A 、 6B、 5C、 1D、 log 6 52、在 blog a2 3 中，实数 a的取值范围是（）A 、 a 2B、 a 2C、 2a 3,或 a 3D 、 a 33、下列格式中成立的是（）A 、 log a b22log a bB 、 logaxylog a xlog ayC、 log axylog ax ?log ay

13、D 、 log axlog a ylog a xy4、 log a21 ，则 a 的取值范围是（）3A 、 1 a3B、 0 a1或1 a3C、 2a1D、 0a2或 a 122335、已知 abMa0,b0, M 1 ，且 log M bx，则 log M a 等于（）A 、 1 xB 、 1 x1D、 x 1C、x6、(08 山东济宁 ) 已知 log 8 9a ， log2 5b ，则 lg 3等于（）aB、3aC、3a3a1A 、2 b 11D、2bb 12 b7、已知函数fxlg 3x2 的定义域为 F ，函数 g xlgx1lgx 2的定义域为G ，那么（）第 6 页共 12页A、

14、G FB、G FC、F GD、FI G8、 (08 山东 )已知函数 f x3x，x0， ff1（），2x0log2 xA 、 1B 、 log 23C、 31D、319、若 log6log4log 3 x0 ，则 x2 等于（）A 、 9B 、1C、3D、39310、若 log 2 3log 3 4log 31 32M ，则 M 的值是（）A 、 5B 、6C、 7D、 811、已知 alog 32 ，那么 log 3 82log 36 用 a 表示是（）A 、 a 2B、 5 aC、 3a (1a) 2D、 3a a2112、已知偶函数fx在 2,4上单调递减 , 那么 f (log 18

15、) 与 f () 的大小关系是（）2A 、 f (log 1 8) > f()B 、 f (log 1 8) = f ()22C、 f (log 1 8)<f ()D 、不能确定213、若 log 312x1 ，则 x；914、已知： lg 21.3a ，则 lg0.213_；15、 log21xlog21x1，则 a的取值范围为 _ ；aa16、比较大小 log 3 1.8log 3 2.7 ； log 5 6log 7 6 ；17、若 x log 3 41，则 4 x4 x_ ；18、已知 log ax1， log b x2 ， log c x4 ，则 log abc x_ ；

16、19、 (08 山东 )知 lg xlg y2lgx2y，求 log 2x 的值 .y20、已知 lg 2a ， lg 3b ，试用 a、 b 表示 log 12 5 ；已知 log 2 3a ， log 3 7b ，试用 a、 b 表示 log14 56 .21、已知fxlgx21x .求 fx 的定义域；求证：fx 是奇函数 .22、解关于 x 的不等式： log a ( 43xx 2 )log a (2x1)log a 2, (a0, a 1)解： 原不等式可化为 log a (43xx 2 )log a 2(2 x1)2 x10x121当 a>1 时有 43xx2014x2x43

17、xx22( 2x1)3x222x10x12当 0<a<1 时有 43xx20142 x 4x43xx22( 2x 1)x或x23 当 a>1 时不等式的解集为12 ；x2当 0< a<1 时不等式的解集为2x 4课后巩固1、 log b Na b0,b1, N0 对应的指数式是（）第7页共12页第8页共 12页A 、 a bNB、 baNC、 a NbD、 b Na2、设 5lg x25 ，则 x 的值等于（）A 、 10B、 0.01C、100D 、100013、 log 4 log 3 log 2 x0 ，那么 x 2 等于（）A 、 21C、 41B、D、2

18、44、化简 log 3 4 ? log 4 5 ? log 5 8? log 89的结果是（）A 、 13C、 2D、 3B、25、函数 ylog 1 x1 的定义域是（）2A、 1,B、,2C、 2,D、 1,26、若 log m 9log n 90 ，那么 m, n 满足的条件是（）A 、 m n 1B 、 n m 1C、 0 nm 1D 、 0 m n 17、若 log a21a 的取值范围是（），则3A、 0,21,B、2 ,C、 2,1D、 0,22 ,333338、函数 ylog 1x 26 x 17 的值域是（）2A 、 RB、 8,C、,3D、 3,9、函数 ylg21 的图像

19、关于（）x1A 、 y 轴对称B、 x 轴对称C、原点对称D 、直线 y x 对称10、图中的曲线是ylog a x 的图像，已知 a 的值为2,4,3 ,1，则相应曲线 C1 , C 2 , C 3 , C4 的 a3105依次为（）A、 2,4,1, 3B、 2,4, 3,135103105C、1,3,4, 2D、4, 2,3,151033105第 9 页共12页11、比较两个对数值的大小：ln 7ln 12 ； log 0. 5 0.7log 0.5 0.8 .12、计算 lg 5 2lg 2 ?lg 50.13、函数 fxlgx 21x 是函数 . （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.14、函数 ya x的反函数的图像经过点9,2 ，则 a 的值为.15、已知函数 fxlog a x1 ， gx log a 1 x a 0，且 a1求函数 fxg x 的定义域；（ 10分）判断函数f xg x的奇偶性 . （ 10 分）16、已知 log m 4log n 4 ，比较 m ， n 的大小。解： log m 4log n 4 ， 11，当 m1， n1