基于范希尔几何理论的教学设计

1、基于范希尔几何理论的教学设计教师教育学院学科教学（数学）韩倩一、理论基础范希尔夫妇发现学生现有的几何认知水平与教材众所呈现的内容或其他教辅材料所需 要的专业语言、专业知识不符。针对这样的问题，Van Hieles提出了几何思维的五个水平， 包括层次0:视觉，层次I:分析，层次2:非形式化的演绎，层次3:形式的演绎，层次4:严密性。在每个几何思维层次，范希尔都也给出了相应的特征（具体描述如表2.1.1）。并于20世纪80年代将其发展合并为直观水平、描述水平、理论水平三个水平。虽然后者的层次性更加的明显，也与一般认知心理学中的一些提法更加的相近，但大多数的研究还是应用五水平的分类方法二、教学设计在

2、人教版普通高中课程标准实验教科书（数学必修观图的内容约2课时，第一课时学习121中心投影与平行投影和_122空间几何体的三视图; 第二课时学习1.2.3空间几何体的直观图。下面教材分析、学生分析、教学目标分析、教法 学法、过程分析等方面进行第二课时的教学设计:一）教材分析1、教材的地位与作用本节课是普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第一章第二节第二课时的内容，是在学习空间几何体结构特征及三视图之后,尚未学习点、直线、平面位置关系的情况下教学的.学好直观图有利于培养学生空间想象能力,几何直观能力的，有利于培养学生学习立 体几何的兴趣.2、教学重点、难点重点：空间几何体直观图的画法-斜二测画法

3、：能由直观图想出其对应的几何体，并能由几 何体的三视图画出其直观图，顺利由三视图到空间几何体再到直观图的互化.难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图时，如何选择合适的坐标系。二）学情分析现阶段学生空间想象、语言表达能力不佳，已经接触过棱柱，棱锥，棱台；圆柱，圆锥、圆 台等几何体；对这些几何体的形状不陌生；但不会画图，如何绘出这些空间的几何体，符合学生的好奇心,能激发他们的求知欲；同时通过引导，激励使他们勤于动手，进而达到使其易学、乐学的目的。三）教学目标（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2）通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图, 画图的能力（3）学生通过观

4、察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。（4） 提高空间想象力与直观感受能力，培养探究精神和意识。（5）体会对比转化在学习中的作用，以及化归的数学思想方法（6）感受几何作图在生产活动中的应用四）教学过程（一） 学前咨询师：前几节课，我们学习和很多空间几何体， 同学们可不可帮老师总结一下，咱都学习了哪 些空间几2）中，空间几何体的三视图和直对直观图还不了解；将学生引入到提高学生识图和何体？生：我们学习了，棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、还有球师：很好， 我们已经学习了这么多的空间几何体， 而且我们都学过画画，那这节课我们来画 一物体：棱柱 把实物棱锥放在讲台上让学生画。学生画完后展示自己的结果并

5、与同学交流，比较谁画的效果好。 师：这种表示空间几何体的平面图形，我们称为空间几何体的直观图，那同学们思考一下， 我们怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容【设计意图】复习旧知， 引入新知， 用让学生动手的方式开始课堂教学，使每位同学都参加 到课堂活动中来，激发学生的学习兴趣（二） 引导定向师：要想画好一个空间几何体，我们先思考下，哪些面对我们来说画起来相对困难 生：下底面，上底面还有背面 师：上下底面难画，为什么上下底面难画呢？ 生：因为它相对我们的视线是平放着的 师：“放平的” ，这个词用得很直观，我们用数学的语言描述叫做“水平放置”例如老师手中 的正五边形纸板， 可是当我

6、把它平放在桌子上， 要如何绘制所看到的图形？现在小组讨论一下， 些形同和不同之处？（小组讨论）【设计意图】 本课多次进行小组间讨论， 一来让每位同学都参与到课堂中来， 二来培养学生 的思维能力和小组合作能力。 让学生自己观察得出结论， 重在培养学生的几何思维， 使学生 学会分析几何问题师：我们先讨论到这里，现在各小组选派代表来发表下小组讨论的结果 生：我们小组认为， “水平放置的”正六边形比原来看起来扁了 师：“扁了”很好，大家同不同意？那“扁了”我们用数学语言应该怎么形容它？或者说， 正五边形的各边有什么变化，角有什么变化？生：正六边形“放平”后，我们所对的边及其对边长度不变，其他四边长度缩

7、短了 师：很好，其他小组有什么不同意见吗？生：六边形的内角也不相等了 师：边长， 角度都有变化了，大家都同意吗？那好，我们现在将正五边形画到平面直角坐标 系中， 现在大家再思考下，放平后， 我们的图形连同坐标系会怎么变化？小组讨论，试着画 出水平放置的图形（板书，画出正五边形ABCDEF，以AD为x轴，正五边形中心为坐标原点，建立平面直 角坐标系如图（1）【设计意图】 教会学生用数学的语言描绘几何问题， 培养学生几何思维水平， 形成形式化演 绎（小组讨论） 师：老师先问一下大家，水平放置后，我们的直角坐标系会怎样？ 生：也放平了 师：也放平了！很好！用数学语言描述一下？直角怎么样啦？比如将手中

8、的书本也放平看看， 直角怎么样啦？ 生：直角变小了 师：很好，直角变小了，那我们将平面直角坐标系水平放置后， 变为45（或135）（黑板演示），继续思考，x轴方向没变，x轴上或与之平行的线段从大家的视角看它还是正五边形吗？那我们“放平的”正六边形和原来的正五边形有哪x轴不变，y轴与x轴夹角长度变了吗？ 生（齐答）：没有师：x轴上或与之平行的线段长度不变，y轴倾斜了45（或135），那y轴上或与之平行的线段长度呢?生：变短了师: 很好，变小了，y轴倾斜了45（或135），那y轴上或与之平行的线段长度变短了多少？生:2很好，变化的特点我们都找出来了， 现在小组同学一起来画画试试我们正五边形水平放师

9、：置后的直观图（学生讨论）【设计意图】由于直观图的画法可以灵活多变，这要引起我们的注意.特别是高考中很少见直接考查画直观图的题目， 并且高考试题关于立体几何的解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生的空间想象能力，以及画图和识图的能力师：好了，哪些小组可以派代表来展示下小组讨论的成果（教师应用投影仪，让小组代表来展示小组直观图的画图成果，并说明画图方法，展示对的，也展示下错误的，错误可能产生在把五边形的边长减小一半，而不是与y轴平行的线段减小一半。） 师：各个小组的图都画得很漂亮，可是却有所不同，哪位同学发现了？学生抢答：我们组是取y轴上线段的一半，然后连接的点，他们组是

10、直接去边长的一半？师：很好，其中的不同被同学们发现了， 到底谁对谁错呢？还是，小组讨论一下，【设计意图】让学生自己发现错误，到真正领悟知识的效果。教师引导：回咱刚才建立的平面直角坐标系，以谁为当然数学是严谨的， 两种方法也一定有对有错， 那 给老师一个确切且严谨的答案。找出斜二测画法的误区，可以增加学生们的印象， 并达y轴？生：以BC,EF的中点MN所在直线建立的y轴师：很好，那新坐标系中的y轴呢? 生：还是两边中点师：很好，那我们刚才说y轴上或与之平行的线段长度减小11，是边减小了 一，还是中点221连线的MN减小了-？22师：很好，画错的同学是不是可以自己修改一下（三） 阐明师：好，大家跟

11、着我再画一遍正六边形的直观图，我们也来一起写下步骤画法：1如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在 直线为y轴，两轴相交于点O.在图1（2）中，画相应的X轴与y轴，两轴相交于点0,使 /xOy=45生：连线的MN减小了1（2）中，以0为中点，在X轴上取AD =AD在y轴上取M N丄MN.以点N2（平行于X轴，并且等于BC;再以M为中点画E平行于X轴，并且等于EF.ABC DD EFA并擦去辅助线X轴和y轴，便获得正六边形ABCDEF师： 这样我们将正六边形水平放置的直观图就画出来了, 字吧。它是通过将y轴倾斜45（或135）得到的直观图，我们就给它命名为斜二

12、测画法, 那现在请同学们小组讨论，告诉老师斜二测画法的关键步骤有哪些。（学生讨论）让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.，通过学生讨论总结出，斜二测画法的一般步骤为：1在已知图形中取互相垂直的X轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画 成对应的X轴与y轴，两轴交于点O，且使/XO y=4或135）,它们确定的平面表示 水平面.2已知图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X轴或y轴的 线段. 3已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度 为原来的一半.【设计意图】在学生找出画法之后，再以教师示范的形式予以总结，以达到更好的教学效果， 师每

13、位同学都清楚明了（四）自由定向师：好了，回到我们课前的问题，画讲桌上这个正四棱柱的直观图，其中最困难的上下底面 我们已经学会了，那现在你是否可以把这个正四棱柱完整的呈现在纸上。大家都动手画画，谁画的好可以上来拿给同学们一起欣赏一下。（教师巡视每位同学，并对个别进行指导，找几个好的好的同学上台用投影仪演示） 师：好了，同学的都是绘画的天才， 现在我们再熟悉一下步骤， 和老师一起在黑板上画一遍。 画法：1画轴.如图2,画X轴、y轴、2画底面.以点O为中点，在X轴上取线段3一一cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别2为A、B、C、D,四边形ABCD就是长方体的

14、底面ABCD.3画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA、BB、CC、DD.4成图.顺次连接A、B、C、D,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），2在图为中点画B3连接水平放置的直观图ABC D E图F1（3）.我们给这种画直观图的方法起个名现在我们再熟悉一下步骤，z轴，三轴相交于点0,使/xOy=45 , /xOz=90MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=CC就得到长方体的直观图.【设计意图】 自由定向阶段， 学生碰到多步作业或能以不同方式完成的作业或是开放性的试 题。在寻找方法和解决问题的过程中，学生获得了经验。 通过自己确定学习领域的方向，他 们对学习对象之间的关系越来越明确。本题收尾呼应，使学生学习具有完整性（五） 整合师：生：师：问？学生自由发现，教师答疑解惑，并PPT展示本节课小结：用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法， 而画水平放置