坐标系与参数方程 知识点

1、1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换cp:! X = MJx（人0）的作用下，点P（x,y）对应到点P，（x： y）,称半为平面 LUy（卩A0）- -直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.，在平面内取一个定点0，叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平

2、面坐标系（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为P ;以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角NxOM叫做点M的极角，记为e.有序数对（p，9）叫做点M的极坐标，记作M（p，0）.一般地，不作特殊说明时，我们认为P 0, 0可取任意实数.特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0,0）（0ER）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定P 0,0 9 0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如点M直角坐标（X, y）极坐标（P,0）互化公式（x =Pcos 日 ly =Psin 日p22,2P = X中ytan日=（X H 0）x坐标系与参数方程知识点

3、2.极坐标系的概念在一般情况下，由tan日确定角时，可根据点M所在的象限最小正角.f?注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（P,（ P,2兀+）,（-P+日）,（P,兀+日）, 都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程JTJJIJ!JJ兀5兀兀兀P = ,点M（, ）可以表示为（一,一+ / 或 1 -2或（-一）等多种形式，其中，只有（一,一）的极坐标满足方程-4 44 44 4444 4曲线4.常见曲线的极坐标方程图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆P = r（O0 2

4、兀）圆心为（r,O）,半径为r的圆P = 2r cos日 （一二 9）2 2圆心为（r,上），半径为r的圆2P2r sin 9（O eO）禾口0=兀+a（PO）过点（a,O）,与极轴垂直的直线it（皿）F%os（各叫）过点（a,Z），与极轴平行的直线2Psine =a（O ；i）二、参数方程1.参数方程的概念I x f （t）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X, y都是某个变数t的函数 丿,并且对于t的每一个允许值，由方ly = g（t）程组所确定的点M（X, y）都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数X, y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程

5、而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2.参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程（2）如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如X = f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y = g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.ly=g（t）注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3.圆的参数如图所示，设圆0的半径

6、为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M （x,y）,则|x =rCOSTVrsine为参数这就是圆心在原点0，半径为r的圆的参数方程，其中0的几何意义是OMo转过的角度。圆心为（a,b），半径为r的圆的普通方程是（x-a）2+（y-b）2=r2x = a +r cos 日它的参数方程为：2（日为参数）。y =b + rs in 日4.椭圆的参数方程22X a cos笃+=1(a AbA0),其参数方程为i(W为参数)，其中ab_y=bsi n 甲仍为离心角，通常规定参数角和旋转角数值可相等外（即在0到2兀的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0 a o)的参数方程为化7直线的参数方心经过点Mo(xo, yo)，倾斜角为aQH ?)的直线I的普通方程是y yo=tana(x xo),而过M。(怡，yo)，倾斜角为a的直线I的参数方程为xf+tc如(t为参数)。H =yo+t sin aIX = Xf) +1 cosa注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点Mo(xo, yo)，倾斜角为a的直线I的参数方程为4(t为参数)，其y = yo十t sina-中t表示直线I上以定点M0为起点，任一点M (x,y)为终点的有向线段M0M