高等数学测试及答案(第一章)

1、高等数学测试（第一章）一 .选择题（每题2 分，共 20 分）1.（ 2 分） f ( x)16 x2arcsin 2x1的定义域为7A 2,3B3,4C3,4D3,42.（ 2 分） 已知函数f (2x1) 的定义域为0,1 ，则函数 f( x) 的定义域为A 1 ,1B 1,1C0,1D 1,22（）（）3. （ 2 分）已知f (x1)x 2x1， 则A x 2x2B x2x14. （ 2 分）下列函数对为相同函数的是x21x 1A f ( x), g ( x)x1C f ( x) 2 ln x, g( x)ln x2f ( x) =（）C x2x 1D x 2x 1（）Bf ( x)

2、3 ln x, g( x)ln x 3D f ( x) x, g( x)x25.（ 2 分）若 f ( x) (xR) 为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（）A f (2 x)B f ( x 2)C f (| x |)D 2 f ( x)6.（ 2 分）函数 y2 x（）2 x的反函数为1A y log 2xB ylog 2xC y log 21xD y log 21 x1x1xxx7.（ 2 分）已知极限lim( x22ax)0 ，则常数 a 等于（）xxA -1B 0C 1D 28.（ 2 分）当 x0时与x 等价的无穷小量是（）A 1 e xB ln(1x)C1x1D 1cosx3x

3、1x19. （ 2 分）点 x 1是函数 f ( x)1x 1的（）3xx1A 连续点B可去间断点C跳跃间断点D第二类间断点10.（ 2 分）下列命题正确的是（）A 两无穷大之和为无穷大；B 两无穷小之商为无穷小；C lim f ( x) 存在当且仅当limf (x ) 与 lim f ( x) 均存在；x x0x x0xx0D f ( x) 在点 x0 连续当且仅当它在点x0 既左连续又右连续二填空题（每题3 分，共15 分）11. （ 3 分）函数 f( x) 在点 x0 处有定义是f ( x) 在 x0处极限存在的 _.12.（ 3 分）当 x0 时，无穷小ln(1 Ax) 与无穷小si

4、n3 x 等价， 则常数 A= _.113.（ 3 分）已知函数 f ( x) 在点 x0 处连续，且当 x0 时，函数 f (x)2 x2，则函数值 f (0) =_.14. （3 分）若 limf ( x) 存在，且 f ( x)sin x2lim f ( x)，则 limf ( x) =_.xxxx15. （3 分）设函数fx 12x, gf x1x ，则 g1=_.x2三 计算题 (共 55 分)16. （5 分） lim11.1.17.（ 5 分） lim x(x21 x) .nn21n22n 2nx18. （5 分） lim1 x2e x2x sin3.x 02x20. （5 分）

5、 lim11.x 0xln 1x1x sin x122. （5 分） limx2.x 0e 119. （ 5 分） lim (1sin 2x3x 2 )cot x .x021. （ 5 分） lim tan xx3sin x .x 023. （ 5 分）lim x x .x0x3ax2x 424. （7 分）设 limx具有极限 l ，求 a,l 的值 .x1125. （8 分）若 limf ( x ) 存在，且 f ( x)x 23x 2 limf ( x) ，求 f ( x) 和 lim f ( x) .x 1x 1x 1四 .证明题（共10 分）26.（10分）设函数f (x) ，g(

6、x) 均在闭区间a, b上连续， 且有f (a)g (a)a ，f (b)g (b)b ，证明：存在（ a,b），使fg成立 .答案：一. 选择题 15BBDBC ； 6 10 AABBD 二填空题11、无关条件；12、 3； 13、 0；14、 1； 15、3三计算题16. lim11.1.222nn1n2nn【解析】因为111(1,2,., )，n2nn2in 21in所以n11.1n，n 2nn 21n22n 2nn21而 limnlimn1.22nnnnn1由两边夹逼准则可知，lim11.11 .222nn1n2nn17.lim x(x21x) .x【解析】原式limx 2xlim11

7、 .x1xx1112x218.1x 2e x2.limx sin32xx0【解析】原式1x2e x2lim2x2xe x2lim1e x2limx21limx8x332 x316x 2.x0x0x 0x 0 16x 21619.lim (1sin 2 x3x 2 ) cot x .x01sin 2x 3 x2sin 2 x 3 x2limsin 2 x3 x2lim (1sin 2x3x2) sin 2 x3x2tan xlim etan xtan x【解析】原式x0ex0x0limsin 2 x3 x2limsin 2 xlim3x 2exxxe2.x0x0x 0e20.lim11.xln

8、1x 0xln 1xxln 1xx111lim 1x【解析】原式.limlimx 22x 0 xln 1 xx 0x 02x21.lim tan x3sin x .x 0xsin xsin x1cosx1 x21【解析】原式= limcosxlim2x3lim2cosxx2cos x.x0x0 xx021x sin x122. limx21.x 0e1 x sin x1 x21 .【解析】原式 = lim2x 2lim2x0x0x 2223. （5 分）limx x .x01limln xlimx11limxln xx 0x 0lim exln xex2e01【解析】原式ex 0ex.x024

9、. 设 limx3ax 2x 4具有极限 l ，求 a, l 的值 .x1x1【解析】因为lim( x1)0 ，所以lim(x3ax2x4)0 ，x1x1因此 a4并将其代入原式lx34x2x4( x1)(x1)(x4)10limx1limx1x1x125. 若 limf (x)存在，且f(x)x232 lim f ( x)，求 f (x) 和limf(x) .x 1xx1x 1【解析】设 limf (x)A ，对等式 f ( x) x 23x2limf ( x) 两边同时取极限x1 可得，x1x 1lim f ( x)limx 23x2 lim f ( x) ，即 Alimx23x2A ，故 lim f ( x)A4 .x 1x1x 1x1x 1所以( )238.xxf x四证明题26. 设函数 f ( x) ， g ( x) 均在闭区间a,b 上连续，且有f (a) g(a)a ， f (b) g(b)b ，证明：存在（ a, b）fg成立 .，使【证明】构造函数 F