高中的数学解析汇报几何双曲线性质与定义

1、实用文案双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义， 一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1 的常数的点之轨迹。一、双曲线的定义双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F1、 F2 的距离之差的 绝对值 始终为一定值 2a(2a 小于 F1 和 F2 之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线 。取过两个定点F1 、F2 的直线为x 轴，线段F1F2 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。设 M(x，y) 为双

2、曲线上任意一点，那么 F1、F2 的坐标分别是 (-c ， 0) 、(c ，0) 又设点 M 与 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a。将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得： c2a 2x 2a 2 y 2a2 c 2a2由双曲线定义， 2c 2a即 c a，所以 c2 -a 20设 c 2a 2b 2(b 0) ，代入上式得：双曲线的标准方程： x2y 21a 2b2两个定点 F1 ,F 2 叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长， 2b 为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c2a 2b 2

3、 ，标准实用文案双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：x2y 2 1，我们将 c 2a 2 b 2 代入，a 2b2可得：y 2x cca2axc所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点 F ( c,0)的距离与到定直线 l ( xa 2) 的距离之比为c cc常数 ea 0 的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双a曲线的准线，常数 e是双曲线的离心率。1、离心率：（ 1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e2cc ，叫做双曲线的离心率；（ 2）范围： e1；2aay（ 3）双曲线形状与 e的关系：bc2a 2c2e21k

4、aa21；F1 A1 O A2 F2xa因此 e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大， 这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；（ 1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；（ 2）渐近线的位置 ( 倾斜 ) 情况又受到其斜率制约；2、准线方程：对于 x2y 21 来说，相对于左焦点F1 (c,0) 对应着左准线 l1 : xa 2，相对于右焦点a 2b2a 2cF2 (c,0) 对应着右准线 l 2: x；c位置关系： xaa 20，焦点到准线的距离pb2（也叫焦参数）；对于 y 2x 2cca21来说，相对于下焦点 F1 (0,c) 对应着

5、下准线 l1 : y；相对于上焦点 F2 (0, c) 对a 2b2a 2c应着上准线 l 2: y。cyyF2A2F1A1OA2FxOx2A1F1标准实用文案3、双曲线的焦半径：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点 F1、F2 的连线段，叫做双曲线的焦半径。设双曲线 x2y 21 (a 0,b0) ， F1 , F2 是其左右焦点，a2b 2MF1e， MF1e， MF1a ex0 ；同理 MF2 aex0 ；d1a2x0c即：焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：其中F1、F2 分别是双曲线的左（下） 、右（上）焦点MF1aex0MF2aex0同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：MF1a

6、ey0MF2aey0二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：xa或 xa （焦点在x 轴上）或者 ya或ya （焦点在 y 轴上）。2、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点： A(-a,0)， A (a,0)。同时 AA 叫做双曲线的实轴且AA =2a；B(0,-b)， B (0,b)。同时 BB 叫做双曲线的虚轴且BB =2b。4、渐近线：由 x2y 21y 2b2b2，当 x, y时，yb 所以：双曲线的渐近线方程为：a2b 2x 2a 2x 2xa焦点在 x 轴： yb x ，焦点在 y 轴： xb yaa5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）右焦半径：

7、r= ex-a 左焦半径： r= ex+a 6、共轭双曲线双曲线 S:x2y20, b 0) ，双曲线s :y2x20)a21 (ab21 (a 0,bb2a 2双曲线 S的实轴是双曲线S 的虚轴且双曲线 S的虚轴是双曲线S 的实轴时，称双曲线 S与双曲线S 为共轭双曲线。特点： （ 1）共渐近线（ 2）焦距相等（ 3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于17. 焦点到一条渐近线的距离标准实用文案特别如图 2 可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长这个性质很重要三、例题求解：例 1：已知双曲线 x2y 21 (a 0, b 0) 的渐近线是 yb x ，我们可以判断直线a2b 2

8、ay kx m 与双曲线的交点个数当直线 ykx m 的斜率 kb 时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任a何交点，如果，则它与双曲线有一个只有一个交点。当直线 ykx m 的斜率 kb , b时，则 ykx m 与双曲线有两个交点。a a当直线 y kxm 的斜率 kbb时，则 y kx m 与与双曲线没有交点,，aa例 2已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围解：由可得，从而，解得又因为的渐近线方程是，所以. 故标准实用文案例 3已知双曲线 x2y 21 (a 0, b 0) 的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是a2b 22 倍，则有双曲线的离心率是解：由已知可知, 所以例

9、 4双曲线 x2y 21上一点 P 与左右焦点 F1 ,F2 构成 F1PF2 ，求 F1 PF2 的内切圆与边 F1F29 4的切点 N 的坐标。分析：设点 P在已知双曲线的右支上，要求点 N 的坐标。即求 ON 的长度，而ONOF2NF2 ，其中 OF2c13，只需求 NF2 的长度，即 NF2是圆 M 的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点 P 在已知双曲线的右支上，由题意得 NF2PF2F1F2PF1，22a2cPF2PF12a ，NF2ca ，又c13 ， a3，NF2133 ，又2OF2c13 ，ONOF2NF213( 133)当点 P 在已知双曲线的右支上时，

10、切点N 为顶点 ( 3,0), 当点 P 在已知双曲线的左支上时，切点 N 为顶点 ( 3,0)例 5已知 F1、 F2 是双曲线 x2y 21 的左右焦点， P 在双曲线的左支上，PF2 F1，916PF1 F2，求 tan2cot的值2分析：如右图，先做出PF1F2的内切圆 M ，则 M 切 F1F2 于点 A ， MA 等于内切圆的半径。且MF2 F1， MF1A22解：做出PF1F2 的内切圆 M ，则 M 切 F1F2 于点 A ，MF 2F1， MF1A，tanAMrr ， cotAF2c a2 ，22 AF22 AM2a c 8rrr21tan cotr422 8例 6 设 F1

11、、F2 是曲线 C1 : x2y 21的焦点，P 为曲线 C2 : x2y 21与 C1 的一个交点，则623PF1PF2 的值PF1PF 2分析：利用双曲线及椭圆的定义找出PF1 、 PF2 之间的关系。标准实用文案解析：设 PF1m， PF2 n ，不妨设mn ，显然椭圆和双曲线共焦点( 2,0) ，由椭圆和双曲线的定义可知 mn26 且 mn23m 63 ， n63 在三角形 PF1F2中，由余弦定理可知2PF222m2n2( 2c)21cosF1PF2PF1F1 F22 PF1PF22mn3PF1PF2cos F1 PF21PF1PF23例 7 已知 F1、 F2 是双曲线 x2y21

12、的左右焦点，过F1 作倾斜角为 30o 的直线交双曲线右支a2b2于 M 点，若 MF2 垂直于 x轴，求双曲线的离心率 .解析：由题意的 F1F22c， MF22c tan623 c ， MF 12c4 3 c 由定义知3cos36MF1MF223c2a，则 e3 。3例 8 已知双曲线 x2y2221 的左右焦点分别为F1 (c,0) F2 ( c,0) 若双曲线上存在一点 P 使得abPF1 2 PF2 ，求双曲线离心率的范围。解析：由双曲线的定义PF1PF 22a ， PF14a ，在PF1F2 中，结合双曲线的图像PF1PF2F1F2，6a2c，即 1e3例 9 已知双曲线 x2y

13、21的左右焦点分别为 F1 ( c,0) F2 (c,0)，以 F1F2 为直径的圆与双曲线a2b2交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。解析：设 P 为圆与双曲线在第二象限的交点，则F1 PF2，pF1 F2，在23Rt F1PF2 中， PF2PF12c sin2c cosc(3 1)2ac331e3a22例 10 已知双曲线 x2y21的左右焦点分别为 F1、F2 ， P 为双曲线上任意一点，F1PF2 的ab内角平分线为 l ，过 F2做 l 的垂线 F2 M，设垂足为 M ，求点 M 的轨迹。解析：延长 F2 M 交 F1P 于 N 由角平

14、分线及垂直关系得 PF2PN ，有 OM 是 F1F2 N 的中位线，从而OMNF11PN )1PF2 )a ，故 OMa 为定值，即点 M 的轨迹2( PF1( PF122是以坐标原点为圆心，a 为半径的圆（去掉与 x 轴的交点）方程为 x2y2a2 ( xa )标准实用文案例 11、已知A：( 5)2249 ，：22，若与 A 内切与外切，xyB ( x5)y 1PB求 P 的圆心的轨迹方程。解析： A ： ( x B ： ( x 5) 2PBPA( r5) 2 y21)y 249 ，圆心 A( 5,0) ，半径 r1 7 ，1圆 心 B(5,0)， 半 径 r2 1 ， 由 题意 的 P

15、A r1 ， PB r 1 。(r7)8 ，即P 是以 A、B 为焦点的双曲线的左支。2a 8 ， a4 ， 2c10 ， c5 ， b2c2a24 。P 点的轨迹为 x2y21( x4)169y 2例 12、已知 F1、 F2 是双曲线 x 21的左右焦点， M (6,6) 是双曲线内部一点， P 为双曲线3左支上一点，求 PMPF1 的最小值解析：双曲线的定义PF1PF2 2a2 ，即 PF1PF22PMPF1PMPF22MF22( 62)2622 8当且仅当 F2 、 P 、 M 三点共线时“”成立。例 13、已知双曲线方程为x2y 21(ab0), 两焦点分别为F1 , F2 , 设焦

16、点三角形 PF1 F2 中a2b2F1PF2, 证明： S F1PF2b2 cot。2证明(2c) 2F1F22PF12PF222 PF1PF2cos( PFPF )22 PFPF (1 cos )1212PF1 PF2( PF1PF2 )24c24c 24a22b22(1 cos)2(1cos)1cos又 S F1PF21 PF1PF2sin2综上 S F1PF21PF1 PF2 sinb2sinb2 cot221cos例 14 一个动圆与两个圆 x2y2=1 和 x2y28x12=0 都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）、已知两圆 C1 : (x 4)2y 22 ， C2 : ( x 4)2y

17、 22 ，动圆 M与两圆都相切，则动圆圆心 M的轨迹方程。例 15、设 F1 , F2x 2y 21的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9 ，是双曲线20求点 P 到焦点 F216的距离。分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。解析：由 | PF1| |PF2|8及 | PF1 | 9，得| PF2 | 1或17。由 2a 8 ， c 236c6 知右支的顶点到F1 的距离为10，而已知 | PF1 |9 ，说明点 P 在左支上，此时， | PF2 |10 ，所以，点 P 到焦点 F2 的距离为 17 。点

18、评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当|PF1|10 时，有两解；当2 | PF1 | 10时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。标准实用文案例 16、如图，双曲线x2y21(a0,b0)a2b 2其焦点为 F1, F2 ，过 F1 作直线交双曲线的左支于A, B两点，且 | AB |m ，则ABF2 的周长为。分析：本题中 AF1 , AF2 ， BF1 , BF2 都是焦半径，而ABF2 的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定义便可得。解析：由|AF2|AF1|2a| AF2|BF2|(| AF1 | BF1 |)4a ；| BF2|BF1|2a由| AF1 | BF1 |

19、 | AB | m ，|AF2| BF2 | 4a m ；故ABF2 的周长为 | AF2 | BF2|AB|4a2m 。点评：本题结合定义， 求出 | AF2| BF2|，再求周长， 简便易行； 假如本题未给图形及条件 “过 F1 作直线交双曲线的左支于A, B 两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？例17 、已知双曲线x2y 21(b N ) 的左、右两焦点分别为F1,F2， P 为双曲线上一点，若4b 2|PF1|PF2 | |F1F2 |2，且 5| F1F2| |PF2|8 ，求PF1F2 的面积。分析：欲求面积，首先要确定b 的值，由第一定义及| PF1| PF2| F1F2|2

20、可以构成方程组，通过方程组求得 | PF1 |及 | PF2| 的值。解析：由 c24b2| PF1| PF2|(2c) 2| PF1| |PF2|4(4b 2 )，又| PF1 | PF2|4| PF1 | PF2|4| PF1 | | PF2 | 4 5 b2| PF2 | 2 5 b22或 | PF2 | 2 5 b22 ，| PF1| |PF2|4由于 | F1F2 | | PF2|，得 | PF2 |2 5b 22，又 | PF2|8，即 25b22 8 ，从而得 b 24 ，因为 bN 且 b0，得 b1或 2；若 b1，则 c24b25，此时 |F F2|2c255，不合题意；1

21、若 b2 ，则 c24b28 ，此时 | F1F2|2c425 ，符合题意；那么 cosF PF2(| PF1 | PF2 |)22 | PF1 | | PF2 |3 ，从而 sinF PF2712|PF1| |PF2 |414故PF1 F2 的面积为 S1 | PF1 | | PF2 | sinF1 PF21427142242点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。例 18、解方程2472472xxxx分析：对第一个式子配方，得(x2)23。联想两点间的距离公式，可设y 23 ，此时变为( x2) 2y

22、2，问题即可解决。解析：原方程可变为( x2) 23( x2) 232 ，令 y 23 ，则方程以变为( x2) 2y 2( x2)2y 22 ，显然，点 (x, y) 在以 (2,0) ， (2,0) 为焦点，实轴长为2 的双曲线上，易得其方程为x 2y21 。3标准实用文案x2y212 。由3，得 xy 23双曲线学生练习和重要结论1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必