难点自选__函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略

1、难点自选函数与导数压轴大题的3 大难点及破解策略1定义在 R 上的奇函数f(x) ，当0 时，f(x) ln1，若f( )有5个零xxaxx点，求实数 a 的取值范围解：因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，所以f (0) 0；所以要使 f ( x) 在 R 上有 5lnx 1个零点，只需 f ( x) 在(0 ， ) 上有 2 个零点所以等价于方程a 在(0 ，) x上有2 个根所以等价于lnx 1( x0) 的图象有2 个交点 g(x) ya 与 g( x) xlnxx2，x(0,1)(1 ，)()g x所以 g( x) 的最大值为 g(1) 1.因为x0时， () ； 时，由洛必

2、达法则可知：g xxxln 1x1lig( x)lixxli ，mmx mx0所以 0ag(1) ，所以 0a0.解： (1) f (x) ex 1，由 f (0) 0，得 m 1，x mx1x1所以 f (x) ex1， f (x) ex120，又由 f (0) 0，所以当 x ( 1,0)时， f (x)0.所以函数 f ( x) 在( 1,0)上单调递减，在 (0 ， ) 上单调递增(2) 证明：依题意， f (x) ex 1 . x m令 f (x0) 0，则 ex010，且 f (x) ex120，所以函数 f (x)x mxm0在区间 ( m， ) 上单调递增则当 x ( m，x0

3、) 时， f (x0)0 ，故函数 f ( x) 在 ( m，x0) 上单调递减， 在 ( x0，)上单调递增所以 f ( x) min f ( x0) ex0ln( x0m) 又 x0 满足方程 ex01，x0 m则 f ( x0) ex0 ln(x0 m) 1 ln e x0 x0 1 x0 mx01 mx0mx0 mm1x 0，2x0m m 2m 0(0不等号取等号的条件是不等号x0 m1，m取等号的条件是m2 ) .由于不等号、不能同时取等号，故f( 0)0 ，即f(x) min 0，因此f( )0.xxb3已知函数 f ( x) ax x c( a0)的图象在点 (1 ，f (1)处

4、的切线方程为y x1.(1) 试用 a 表示出 b，c；(2) 若 f ( x) ln x 在 1 ， ) 恒成立，求 a 的取值范围解： (1) ba 1， c12a.lnx1 x1xlnx1(2) 题设即“a( 1)，或 x恒成立”112( 1)xaxx 2xx用导数可证函数()1(x1)2( 1) ln(1) 是增函数 ( 只需证g( )g x2xxx xx x ln x10( x1) 恒成立，再用导数可证 ) ，所以 g( x) g(1) 0( x1) ，当且仅当 时xlnx x 1 1， xlnx x 1 1g( x) ，得 121)lix1 122.x 10mxxxlnx x11所

5、以若 ax12( x1) 恒成立，则a2，即 a 的取值范围是1， .24(2019安徽二校联考 ) 已知函数 f ( x) lnx ax m( a， mR) 在 xe(e 为自然对数的底数 ) 时取得极值，且有两个零点记为x ，x .12(1) 求实数 a 的值，以及实数 m的取值范围；(2) 证明： ln x1ln x22.21ln xax xlnx解： (1) f (x) a1x2x2，由 f (x) 0，得 xea 1，且当 0x0 ，a 1当 xe时， f (x)0) ， f (x) 1lnx，( x) x2x函数f(x) 在(0 ，e) 上单调递增，在 (e ， ) 上单调递减，f

6、(e) 1 .em又x0(x0) 时，f() ；x时，f(x) ，() 有两个零点x1，2，xm fxx11 m0，故 e解得 0m .em0，所以实数的取值范围为0，1.meln11，(2) 证明：不妨设 x12，只需证x m( x2 x1) ? mx xx121lnx1x22，只需证( 1x2)2 ，即证 x1x2ln x22.m xx2x1 x1x2即证1x1x22xln2，设 t x 1，2x1x1 1x 1则只需证 ln2t 1.t t 12t 1即证 ln t t 10.记 (t) lnt2t 1(1) ，ut 1t14t 122 t则 u(t ) tt 1t 120.3所以 u(

7、 t ) 在(1 ， ) 上单调递增，所以 u( t ) u(1) 0，所以原不等式成立，故 ln x1 ln x22.5(2016全国卷 ) 已知函数 f ( x) ( x2)e x a( x 1) 2 有两个零点(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x1， x2 是 f ( x) 的两个零点，证明： x1x20，则当 x ( ， 1) 时， f (x)0 ，所以 f ( x) 在( ， 1) 内单调递减，在(1 ， ) 内单调递增又 f (1) e，f (2) a，取 b 满足 b0 且 b 2( b 2) a( b 1)a b 2b 0，故 f ( x) 存在两个零点设 a0 ，因此 f ( x) 在 (1 ， ) 内单调递增又当 x1时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点e若 a1 ，故当 x (1 ， ln( 2a) 时， f (x)0.因此 f ( x) 在(1 ，ln( 2a) 内单调递减，在 (ln( 2a) ， ) 内单调递增又当 x1时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0 ， ) (2) 证明：不妨设 x1x2，由 (1) 知， x1 ( ， 1) ， x2 (1