几何凸函数若干问题的探讨毕业论文

1、. . . . 几何凸函数若干问题的探讨摘 要几何凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划、控制论等领域，它在判定函数的极值、研究函数的图像以与不等式的证明诸方面都有广泛的应用。文章首先探究凸函数这类性质特殊的函数的各种定义与几何意义，探究几何凸函数在不同学科上的应用。讨论了几何凸函数的一些性质，并运用其性质证明若干不等式，介绍函数几何凸性的几种判别方法。文章证明几何凸性函数的几个生成定理，并给出一元高次多项式函数几何凸性的几个结论，最后给出几何凸函数定义的推广或类似，供进一步研究之用。给出凸集的定义，借助凸集来引入凸函数的几何直观性定义，并借此给出几何凸函数的解析式定义，进行一系列的分

2、析、类比、归纳，用实例说明用几何凸函数解决实际问题的重要意义。由于几何凸函数理论的广泛性，因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数围，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，凸规则的大多数结果能推广到非凸规则，已构成了数学规划研究领域的当前趋势之一，所以研究几何凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。文章所述容使我们能够快速获取大量有关几何凸函数的重要容，从而使解决一类特别繁杂不等式证明、最优化等问题变的别出一格。关键字：凸函数；几何凸函数；不等式The Discussion on some Questions of Geometric Convex

3、 FunctionAbstractGeometric convex function is a very important function, widely used in mathematical programming, control theory and other fields determine the extremism of the function, the image of the research function and the inequality proof aspects have a wide range of applications. The articl

4、e first explores the various definitions and geometric meaning of convex function of the nature of the special function to explore the geometric convex function on the different disciplines. Discussed some properties of the geometry of convex function, and use nature to prove certain inequalities on

5、 the function of geometric convexity several discriminate methods.Article to prove the convexity of the function of the geometry of several generation theorems, and several conclusions given a high geometric convexity of a polynomial function. Finally, promotion or similar geometric convex function

6、defined for the purposes of further study. Given the definition of convex sets, with the convex set to the introduction of geometric definition of convex function, and to give the analytical definition of the geometric convex function, a series of analyzes, analogy, induction, illustrated by an exam

7、ple using Geometric Convex Function to solve practical problems of great significance.Due to the extensive geometric convex function theory, its theoretical research remains to be further in-depth and promotion. How to promote the concept of convexity of the function, in a wider range of functions w

8、ithin many important properties of convex functions is still preserved, most of the results of the convex rules can be extended to non-convex rules constituted the current trends of the research areas of mathematical programming one study the geometry of convex function definition and nature of it i

9、s very necessary. Articles about so that we can quickly obtain a large number of important geometric convex function, so that to solve a particular category of complex inequality proved optimization problems do not become a grid.Keywords: convex function; geometric convex functio

10、n; inequality- 35 - / 39目录引 言1第1章 基础知识21.1 凸集与凸函数21.2 几何凸函数的定义21.3 几何凸函数与凸函数的区别3第2章 几何凸函数的基本性质与应用52.1 几何凸函数的基本性质52.2 几何凸函数的应用8第3章 函数几何凸性的几个问题93.1 几何凸函数的判别问题93.2 几何凸（凹）函数之“和积商”的几何凸性103.3 几何凹函数之和的奇妙“凸”性113.4 由凸函数生成几何凸函数113.5 由已知的较简单的几何凸函数生成较复杂的几何凸函数123.6 由几何凸函数的定义域变换生成133.7 一元高次多项式函数的几何凸性14第4章 几何

11、凸函数的积分不等式174.1 介绍几类平均174.2 积分与几何凸函数17结论与展望20致 21参考文献22附录23附录A：英文文献与翻译23附录B：列入的主要参考文献题录与摘要31引言几何凸函数是一个与凸函数平行的概念，作为一个研究课题，它在二十几年以前就已经出现并取得了初步研究成果，但作为一个概念提出却是十几年的事。十几年过去了，有关几何凸函数的研究成果不断涌现。从2003年开始，几何凸函数逐渐成为国不等式研究的热点之一，国外数学工作者在这方面已取得了不少原创性的研究成果，为不等式的理论发展提供了一个新的研究平台。几何凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen1905著述中。它在

12、纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。几何凸函数有许多良好的性质，其中一个很重要的性质就是：在凸集中，几何凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的函数都是非凸的。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，60年代中期产生了凸分析，凸函数的概念也按多种途径进行推广，或对于抽象空间的推广

13、，或对于上面提到的不等式的推广，然后提出了广义凸函数的概念。60年代后期，先是有Mangasarian把凸函数的概念推广到拟凸函数(quasi-convex functions)和伪凸函数(pseudo-convex functions)。如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数围，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，凸规则的大多数结果能推广到非凸规则，已构成了数学规划研究领域的当前趋势之一，所以研究广义凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。几何凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划、控制论等领域，它在判定函数的极值、研究函数的图像以与不等式的证明诸方面都有广泛的应用。现在对几何凸函

14、数的研究工作有：中间凸函数情形下函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸性给出凸函数的一个判别准则，实值函数成为凸函数的一些条件等，对一类积表达的函数凸性的研究将有助于我们进一步研究函数的凸性，因此要不断推进其研究工作。第1章 基础知识准备工作：常用的记号：为自然数集，为正自然数集，为实数集，为非负实数集，为正实数集，为维实向量空间，为维非负实向量集，为维正实向量集。1.1 凸集与凸函数定义1.1设集合，如果任取，都有，则称为凸集。定理1.1设集合是闭的，则为凸集的充分必要条件是：对任意，都有。定义1.2设是凸集，函数，任取。(1)如果恒成立，则称在上为凸函数。(2)如果恒成立，则称在上为凹

15、函数。显然如果是凸函数，则是凹函数，所有关于凸函数的不等式反向即得凹函数的相应不等式。定理1.2设为凸集，函数连续，任取，则在上为凸函数当且仅当 (1-1)恒成立。1.2 几何凸函数的定义定义1.3 设在区间上有定义，如果对于任意,有 (1-2)那么称在上是几何下凸的; 若不等式反向，称在上是几何上凸的。本论文分别称它为几何凸函数和几何凹函数。为几何凸集是指：，且对,(=1,2)，都有。显然几何凸(凹)函数必须定义在几何凸集上，原因是定义中“对，式(1-2)都有意义”隐含着。定理1.3 设是区间上的几何凸函数，则对一切,···,，有. (1-3)当是几何凹函数时，

16、式(1-3)不等式反向。证明：用倒推数学归纳法证之。(1)根据定义1.1，时成立，假设，命题成立。下证的情形所以命题对也成立。(2)假设,，命题成立，下证的情形，因已假设成立，令,则所以命题对也成立。根据倒推数学归纳法原理，定理得证。几何凸（凹）函数的定义域和值域必须为非负实数集的子集（本论文定义在正实数集的子集上）。1.3 几何凸函数与凸函数的区别凸函数的定义和几何凸函数的定义分别在第一节和第二节中已给出，至于凸函数与几何凸函数的关系，用专业术语来讲不叫“同构”，应该称为“共轭”。若是凸函数，则是几何凸函数，这样的关系叫做共轭，因为log和exp互为反函数。定理1.4 (1) 若是连续的下凸

17、（上凸）函数，则是上的几何下凸（上凸）函数。(2) 若是几何下凸（上凸）函数, 则是上的连续的下凸（上凸）函数。证明：(1)若是连续的下凸（上凸）函数，任取, 有所以是上的几何下凸（上凸）函数。(2) 若是几何下凸（上凸）函数, 任取, 有因连续, 故也连续, 所以是上的连续的下凸（上凸）函数。从上述定理可以看出，下凸（上凸）函数与几何下凸（上凸）函数在特定条件下，存在一定的关系，一定条件下几何凸函数本质上是凸函数，故凸函数的有些性质可以移植到几何凸函数上来。定理1.5 若为凹函数, 则为上的几何凹函数；反之，若为几何凹函数, 则为上的凹函数。上述定理揭示了凸函数与几何凸函数之间的亲缘关系，是

18、用凸函数来刻画几何凸函数的一个特征性质。众所周知，判别一个函数是否为凸函数方法有很多，这样我们可以通过以上定理得到几何凸函数另外的判别方法。定理1.6 设, 函数二阶可导, 则为几何凸函数的充分必要条件是： (1-4)证明：设则函数g 二阶可导, 且注意到当函数二阶可导时，为凸函数的充分必要条件是：所以为几何凸函数, 当且仅当是一个凸函数, 当且仅当当且仅当(1-4) 式成立。第2章 几何凸函数的基本性质与应用2.1 几何凸函数的基本性质定理2.1设,为区间上的几何凸函数，,为上的几何凹函数，则(1)为上的几何凹函数，为上的几何凸函数。(2)为上的几何凸函数，为上的几何凹函数。(3) 为上的几

19、何凸函数，为上的几何凹函数。值得指出的是平移可能改变函数的几何凸性，因而就较难刻画几何凸（凹）的几何意义。例1定义在上的函数为几何凸函数，而在不是几何凸函数，在也不是几何凸函数。证明：任取，有上式是错误的，由此即可看出在上不是几何凸函数。 同理在也不是几何凸函数，其实和分别在它们各自定义的区间为几何凹函数。定理2.2若为常数，区间，设，(1)为上的单调递减的几何凸函数，则是上的几何凸函数。(2)为上的单调递增的几何凹函数，则是上的几何凹函数。证明：只证(1)，任取，由题意知，又有，所以在上为几何凸函数。定理2.3若为常数，区间，设，(1)为上的单调递减的几何凸函数，则是上的几何凸函数。(2)为

20、上的单调递增的几何凹函数，则是上的几何凹函数。例2判别以下函数的几何凹凸性。(1),(2)解：(1)因为时是几何凸函数，根据定理2.3中(1)的结论是几何凸函数。 (2)因为时是几何凹函数，根据定理2.3中(2)的结论是几何凹函数。定理2.4 设是定义在区间上的正值函数，,，那么(1) 若为上递增（递减）几何上凸函数，为上的几何上（下）凸函数，则为上的几何上凸函数。(2) 若为上递增（递减）几何下凸函数，为上的几何下（上）凸函数，则为上的几何下凸函数。证明：仅证(1)中函数为上递增几何上凸函数的情况。任取，则, 因为函数为上的几何上凸函数，所以，有又函数为上的递增函数，所以，有因函数为几何上凸

21、函数，所以，有即故为上的几何上凸函数。证毕。定理2.5设是定义在区间上递减的正值函数，那么(1) 若为区间上的几何下凸函数，则为上的下凸函数。(2) 若是上的上凸函数，则在区间上是几何上凸函数。证明：仅证(1)，同样的方法可证(2)。任取和，因为上的几何下凸函数，所以，有且由基本不等式，有因为为区间上的递减函数，所以有故为区间上的下凸函数。证毕。定理2.6设是定义在区间上的递减的正值函数，且是上的上凸函数，则函数为区间上的几何下凸函数。证明：对任意的和，因是上的上凸函数，所以，有又由基本不等式，有且为上的递减函数，于是，有所以，有，故是区间上的几何下凸函数。证毕。定理2.7 设在上的正值函数，

22、则在上的几何下（上）凸函数的充分必要条件为在上的下（上）凸函数。证明：只证为几何下凸函数的情况，同理可证为几何上凸函数的情况。任取和,令,则因在上的下凸函数，所以，有从而，有将代入上式得。故为上的几何下凸函数。证毕。定理2.8 设,是定义在区间上的正值函数，若,为递减的上凸函数, 则+在区间上的几何上凸函数。证明：任取和因为,为上的上凸函数。所以，有因此，有(2-1)又,为递减函数，且,所以，有因此 (2-2)由式(2-1),(2-2) ，有故+为区间上的几何上凸函数。证毕。定理2.9设为定义在区间上的正值函数，若为递减的上凸函数，则为区间上的几何上凸函数。2.2 几何凸函数的应用函数的几何凸

23、性有以下经济意义定理2.10 设, 函数二阶可导, 则为几何凸（凹）函数的充分必要条件为的弹性函数为单调增加（减少）的。证明：只需证为几何凸函数的情形。的弹性函数为，而即知定理成立。例1设A,B皆为锐角，则有这些不等式可由推论直接推出。例2设，则函数为几何凸函数。从以上结论可知, 几何凸函数与凸函数具有同等的重要性。第3章 函数几何凸性的几个问题3.1 几何凸函数的判别问题判断一个函数几何凸性的一般步骤：(1)由先求出的有可能成为几何凸（凹）函数的定义区间；(2)判别函数在定义区间的几何凸性：直接用几何凸函数定义，或微分判别法。设为二阶可导，函数几何凸性的微分判别式为 (3-1)则由（或），可

24、确定所给函数为几何凸（或凹）函数。为后面应用方便，下面举几个几何凸（凹）函数的例子。例1设函数定义在上，为正常数，则当时，函数为几何凸函数；当时，函数为几何凹函数。证明：当时，任取有所以为几何凸函数。当时，同理可证函数为几何凹函数。例2设则函数在上是几何凹函数。证明：对,结论显然成立。类似地可证：函数,是几何凸函数，函数, 是几何凹函数。例3设，则是上的几何凹函数。证明：由于时，函数几何凸性的微分判别式为T=设，则所以，有,故是上的几何凹函数。类似可证，当时，是几何凸函数。3.2 几何凸（凹）函数之“和积商”的几何凸性性质3.1都是上的几何凸函数，则是上的几何凸函数。证明：对，有(),，利用C

25、auchy不等式，得，故是上的几何凸函数。两个几何凹函数之和的情况要复杂的多，其结果可能是几何凹函数，也可能是几何凸函数，也可能不再具有几何凸性：(1)由例2结论，在上都是几何凹的，在上还是几何凹的；(2)用微分判别法容易证明：在上是几何凹的（微分判别式T=），但在上却是几何凸的。性质3.2是上的几何凸（或凹）函数，则是上的几何凸（或凹）函数，是上的几何凹（或凸）函数。例4判断函数的几何凸性。解：易证当时，与分别为几何凸函数和几何凹函数，根据性质3.2，知所给函数为几何凸函数。3.3 几何凹函数之和的奇妙“凸”性无穷多个几何凹函数之和可为几何凸函数，一个经典的例子为 当时(3-2)由于，由例1

26、结论，(3-2)式左边均为几何凹函数，而由例3结论，也是几何凹函数，因此，(3-2)式右边是几何凸函数。于是，(3-2)式左边为无穷多个几何凹函数之和，等于（右边的）几何凸函数，令人感到不可思议！这里将换成，由于，结论不变。3.4 由凸函数生成几何凸函数定理3.1设是D上的凸（或凹）函数（即对任意的都有），则是实数集上的几何凸（或凹）函数。证明：只给出是上的凸函数时候的证明。由得，故对任意的有)所以是上的几何凸函数，等价于是实数集上的几何凸函数。由定理3.1中结论，似乎几何凸函数的所有性质均可由凸函数的性质导出。其实不然，它与凸函数不同的地方，从定义看，凸函数是以“和”的形式定义的，而几何凸函

27、数是以“积”的形式定义的，尽管定义等价，但结论并不完全相对应。 (1)加权系数中含有变量的凸函数中不等式，是不能平推为几何凸函数的不等式的。如凸函数的下列不等式：设是上的凸函数，则对任意的都有1);2)它们不能平推为几何凸函数的不等式。而在几何凸函数中却有与1)相应的不等式存在：设是上的几何凸函数，则对任意的都有 (3-3) (2)几何凸函数中“和”形式的不等式，如文1中关于一元二次多项式的几何凸性的不等式，一般不能平推到凸函数上去；凸函数中“积”形式的不等式，很难平推到几何凸函数上去。加权系数中含有变量的不等式和积分不等式也不能平推。(3)几何凸函数的许多理论（不是全部）是可由凸函数平推过来

28、的，如凸函数中著名的琴生(Jensen)不等式平推到几何凸函数中，有性质3.3设是上的几何凸（或凹）函数，则对，满足，有 (3-4)例5 锐角三角形ABC中，求证：证明：设，则函数几何凸性的微分判别式所以是几何凹函数，应用性质3.3，得，变形即得欲证不等式。3.5 由已知的较简单的几何凸函数生成较复杂的几何凸函数定理3.2设是上的几何凸（或凹）函数，则是上的几何凸（或凹）函数。证明：当是上的几何凸函数时，令则是到的一一对应。()()()由此可知，定理3.2结论成立。 当是上的几何凹函数时，类似可证。实际上从证明过程看这里的条件是充分必要的。推论 在上和具有一样的几何凸性。有了这些结果，可很方便

29、地从一个已知的几何凸（或凹）函数出发，推出一些新的几何凸（或凹）函数。如：(1)在上是几何凸函数，由推论知和也是上的几何凸函数。(2)函数是几何凹的，则在上也是几何凹的。(3)设(正整数集)，则函数与具有一样的几何凸性。函数与具有一样的几何凸性。函数与具有一样的几何凸性。(4)设则函数与具有一样的几何凸性。函数与具有一样的几何凸性。(5)设是正整数，则是上的几何凸函数，和是()上的几何凹函数。是()上的几何凹函数。3.6 由几何凸函数的定义域变换生成定理3.4若在上是几何凸（或凹）的，则在的任一非空几何凸子集上也是几何凸（或凹）的。例7在上是几何凸的，则在的几何凸子集,为有理数上也是几何凸的；

30、函数是几何凹的，则在的几何凸子集上也是几何凹的。注 几何凸（或凹）函数的定义区间可按几何凸集分割，但不能合并。如函数在区间和上都是几何凹的，但是在区间上不是几何凹的。这是因为又如在区间和上都是几何凸的，但由于因此无意义。在上不是几何凸的。实际上，这里又得到了一个简易的函数几何凸性的定义域特征判别方法：如果，则既不是几何凸函数，也不是几何凹函数。3.7 一元高次多项式函数的几何凸性对于一元高次多项式函数在上的几何凹性，2003年科学院计算研究所露1证明了：一元三次多项式函数，常数项不为零时，在上不可能是几何凹的。下面给出随后获得的结果。定理3.5一元次多项式函数，且不是单项式）不是区间上的几何凹

31、函数。证明：如果是区间上的几何凹函数，由定义，知是正值函数，故有,，对任意的，恒有(3-5)在式(3-5)中取，得，即 (3-6)(3-6)式对恒成立，由取值的任意性当时，知，与前述矛盾。所以不是区间上的几何凹函数。注如果区间改为开区间,当时结论仍成立。只须将上述证明进行修改，将“在(3-5)中取”改为“在(3-5)中取”即可。当时，如果不是常数函数（相当于不是单项式），易知和具有一样的几何凸性，由上述证明的的结论，此时不是区间上的几何凹函数。问题1一元次多项式函数,且不是单项式）不是区间上的几何凹函数，那么在其他类型的区间(),上能成为几何凹函数吗?目前已经解决了一元二次函数几何凸性的判别问

32、题，对一元三次函数几何凸性的判别作了初步研究。但四次（或四次以上）的多项式函数的几何凸性的判别仍然没有解决。在探索的过程中又得到了如下的一些结果：定理3.6 设一元次多项式函数（,且不是单项式）是区间上的几何凸（或凹）函数，则（或）。证明：与定理3.5的证明完全类似，由定义知是正值函数，故，在式(3-6)中时，有令，即得.注如从证明过程可推知，依此类推。结论：下标第二小的系数(或)0。定理3.7 设一元次多项式函数,且不是单项式）是区间上的几何凸(或凹)函数，则（或）。证明：如果是区间上的几何凸(或凹)函数，由定义知是正值函数，故，对任意的，恒有()(或)(3-7)在式(3-7)两边同时除以，

33、并令，变形得，推出由取值的任意性知。注如果从上述证明过程可推知，依此类推，结论：下标第二大的系数(或)0。推论次多项式函数，且不是单项式)是区间上的几何凸（或凹）函数的一个必要条件是,（或,）。定理3.8 四项多项式函数,，)为区间上的几何凸函数的充分必要条件是,.这里区间：当s>0时为，当s=0时为。证明：必要性：对于s>0的情形，由与的几何凸性一样，只需考虑的情形。由定理3.6、定理3.7后的注与推论，易知结论为真。充分性：利用Cauchy不等式，=结论成立。第4章 几何凸函数的积分不等式本章将讨论几何凸函数的定积分，给出几何凸函数的几个积分性质和积分不等式，其中有些与经典不等

34、式强弱不相上下。4.1 介绍几类平均先介绍几个平均的定义，关于离散型的算术平均为，几何平均为；当时，的加权算术平均，加权几何平均为；众所周知。设函数连续，则其算术平均为，几何平均为；当,时，的加权算术平均为，加权几何平均为；同样有，这两个结果都是已知的，为了叙述上的方便，以下记。引理1.1 设且连续，则. (4-1)例1设，求在上的算术平均和几何平均。解；.4.2 积分与几何凸函数定理4.1设,在上有定义，且对于任何在上的限制为几何凸函数，则 (4-2)是上的几何凸函数。例2设，则为几何凸函数。证明：对于上的任一，有，所以为几何凸函数，由以上定理知为几何凸函数。定理4.2设是连续函数，在上是几

35、何凸函数，那么 (4-3)在上也是几何凸函数。例3 考虑函数其在处右连续，且明显在上为几何凸函数，所以为在上几何凸函数。例4 考虑函数，由其幂级数展开式知为几何凸函数，所以在上是几何凸函数，对于任两个正数，有成立。 若为几何凹函数，相应结论如何呢？得到以下猜想：猜想：设是连续函数，在是几何凹函数，那么在是几何凹函数。为此可得到定理4.3定理4.3 设定义在上的函数是上的二阶可微几何凹函数，则在上是几何凹函数。证明：因取值为正，所以严格递增，只要证对于，有亦即 (4-4)若，上式已成立；若，设集合，显然，由函数的连续性知，也包含一个含在的区间，设这个区间为，则或但，当后者成立时，在定义函数因由于

36、为几何凹函数，所以从而为单调递增，但这说明了函数不可能单调递增，矛盾。所以，因此再根据的单调性知，对于都有，特别地，所以(4-4)式成立，定理得证。定理4.4 设在上为连续，在上为几何凸函数，则是上的几何凸函数。 证明：由于是连续函数，所以又均为上的几何凸函数，故为几何凸函数，即是几何凸函数。结论与展望文章首先探究凸函数这个性质特殊的函数的各种定义与几何意义，探究几何凸函数在不同学科上的应用。讨论了几何凸函数的一些性质，并运用其性质证明若干不等式，介绍函数几何凸性的几种判别方法。证明了几何凸性函数的几个生成定理，并给出一元高次多项式函数几何凸性的几个结论，最后给出几何凸函数定义的推广或类似，供

37、进一步研究之用。给出凸集的定义，借助凸集来引入凸函数的几何直观性定义，并借此给出几何凸函数的解析式定义，进行一系列的分析、类比、归纳，用实例说明用几何凸函数解决实际问题的重要意义。由于几何凸函数理论的广泛性，因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数围，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，凸规则的大多数结果能推广到非凸规则，已构成了数学规划研究领域的当前趋势之一，所以研究几何凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。文章所述容使我们能够快速获取大量有关几何凸函数的重要容，从而使解决一类特别繁杂不等式证明、最优化等问题变的别出一格。致 在工程大学的教育

38、下，经过四年本科生阶段的学习和研究，籍论文完成之际，我特向指导和帮助我的老师、同学、朋友与关心支持我的家人表示诚挚的意。首先要感我的导师项立群副教授。本文是在导师项立群副教授的精心指导下完成的，从论文的选题、设计方案直至完成论文的整个过程中，都得到了项立群老师耐心细致的指导。项立群老师严谨的治学态度、渊博的学识、独特的学术思维、一丝不苟的工作作风、热情待人的品质，使我满怀敬意。在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感项老师的帮助。感我亲爱的同学们，在学习中我们相互帮助，互相激励和关心。也非常感我系的各位老师，再他们的教育下，使我在各方面得到

39、了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。此致敬礼 年 月 日参考文献1 露.关于几何凸函数的不等式J.大学学报.2002,22(4):325-327.2 小云,世杰.几何凸函数的若干性质J.数学通讯.2003(5):28-30.3 小明.几何凸函数的几个定理与其应用J.首都师大学学报.2004,25(2):11-13.4 双叶.几何凸函数的几个性质J.民族大学学报.2006,21(6):618-619.5 吴善和.几何凸函数与琴生型不等式J.数学的实践与认识.2004,34(2):155-163.6 小明,宁国.与几何凸函数有关的一些单调函数的构造J.大学学报.2005,24(2):90-9

40、3.7 小明.几何凸函数M.:大学,2004.8 王伯英.控制不等式基础M.:师大学,1990.9 胡毓达,孟志青.凸分析与非光滑分析M.:科学技术,2000.10 胡运权.单纯型法中凸集与凸函数M.:清华大学,1998.11 K.Kedlaye.Proofof a mixed arithmetic-mean geometric-mean inequality J.The American Mathematical Monthly, 1994,101:355-35712 T.Matsuda. An inductive proof of a mixed arithmetic-geometric

41、mean inequality J. The American Mathematical Monthly, 1995, 102:634-63713 S.K.Mishra,K.K.Lai.Role of a-pseudo-univex functions in vector variational-like inequality problemsM. Journal of Systems Science& Complexity, 200714 X.-M Zhang&Y.-D Wu,Geometrically Convex Functions and Solution of a Q

42、uestion J.Mathematics Subject Classification,2004(11):1-4. 15 C.P.Niculescu, Convexity According to the Geometric Mean J.Mathematical InequalitiesApplications ,2000(2):155-167.附录附录A：英文文献与翻译几何凸函数与一个问题的解小明，吴玉洞摘要：根据几何凸函数的性质，本文提供了美国数学月刊上问题11031的解答。1、几何凸函数的定义我们假设与,维的欧氏空间，= (,),> 0,=1, 2n, = (,), = (,)

43、,= (, ), =(ln,lnln),=(,), 其中R, = (,), = (,)。让() =与。参考文献(1,2)提出的几何凸函数在上的定义。定义1.1 (1,2,3)设：: (0,+)(0,+)是一个连续函数，如果存在n2，对任何, 和,> 0 ,当 + ··· + = 1. 有(), (1-1), (1-2)， (1-3)如以下三个不等式有一个成立，则称在上为几何凸函数，如果对三个不等式(1-1) - (1-3)是反方向，称在上被称为几何凹函数。参考文献(3)提出在的几何凸集的定义。定义1.2 (3)被称为一个几何凸集，如果对任意,。参考文献(4)

44、呈现几何凸函数在的定义。(3)延伸的几何凸函数的几何凸集的定义。定义1.3 (3，4)设是一个几何凸集，H(0,+)是一个连续函数，如果f()对任何都成立，被称为几何凸函数。如果上述不等式是反方向成立，则称为一个几何凹函数。定义1.4 (3,4,5)设= (, = (,),它们的递减排列分别为和，满足(1-4)则称(,对数控制(,)，记为lnln。引理1.1 (3)设，则对数控制=。定义1.5 假设, :0,+)。当lnln y，如果下面的不等式对任何成立. (1-5)则被称为S-几何凸函数。如果(1-5)不等式反相，则被称为S-几何凹函数。引理1.2(3) 设E是对称的几何凸集，E0,+)是

45、对称的连续可微函数。如果下面的不等式对任何x = (,···,)E成立(ln ln)(1-6)则是S-几何凸函数。如果(1-6)不等式反相，则是S-几何凹函数。2、问题和引理美国数学月刊问题11031：定义一个“奇特”的平均，其中是分数，和证明或反驳：这个“奇特”的平均总是小于或等于它的几何平均数。在下一节中要解决的问题，下面的引理是必要的。引理2.1 设0 <t<1，则 (2-1) (2-2) (2-3)证明：不等式(2-1)和(2-2)的证明很容易。假设，0 <t <1，则， ，因此,所以,不等式(2-3)恒成立。引理2.2 设，则在(

46、0,1)上是减函数。证明：。形成引理2.1，因此,在开区间(0,1)是一个递减函数。3、问题的解决方案证明：设,(a, b)，然后,和设a>b> 0,T(a) = u = , T (b) = v =,所以,。由引理2.2和，以前的不等式成立。因此，是一个S-几何凹函数。设，从定义1.5，我们知道，g是一个S-几何凹函数。然后从定义1.5和引理1.1，我们即得到.因此，问题的解决方案已完成。参考文献1 J.Matkowski,Lp-Like Paranorms,Selected Topics in Functional Equations and Iteration Theory,

47、Proceedingsof the Austrian-Polish seminar, Graz Math.Ber.316 (1992),103-138.2 S.-J.Li About Definition and Qualities of Generalized Convex Function. Secondary School Mathematics, 1999 (5).(Chinese)3 X.-M.Zhang, Geometrically Convex Functions. Hefei: Anhui University Press, 2004.6.(Chinese)4 D.-H.Yan

48、g, About Inequality of Geometrically Convex Function,Hebei University Learned Journal, (NaturalScience Edition ),22 (2002), no.4:325-328. (Chinese)5 C.P.Niculescu, Convexity According to the Geometric Mean, Mathematical Inequalities & Applications,3(2000), no.2:155-167.(X.-M.Zhang) Zhejiang Hain

49、ing TV University,Haining, Zhejiang,314400, P.R.China.附录B：列入的主要参考文献题录与摘要1 Title Convexity Accordingto The Geometric MeanAuthorConstantan P. NiculescuJournalMathematicalInequalities& Applications,2000AbstractWe develop a parallel theory to the classical theory of convex functions, based on achang

50、e of variable formula, by replacing the arithmetic mean by the geometric one. It is shownthat many interesting functions such as exp; sinh; cosh; sec; csc; arc sin; etc illustrate themultiplicative version of convexity when restricted to appropriate subintervals of (0,+). As aconsequence, we are not only able to improve on a number of classical elementary inequalitiesbut also to discover new ones.KeywordsConvex Functions;Geometric Mean2 Title Geometrically Convex Functionsand Estimationof Remainder Termsfor Taylor Expansionof Some FunctionsAuthorXiaoming Zhangand Ningguo Zheng