教师版第三讲 一元二次方程的整数根问题

1、【教师版】 第三讲-一元二次方 程的整数根问题2第三讲一元二次的整数根问题形如ax2bx c 0的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识， 具有较强的综合性和技巧性。因此成为近年来各种自招考试的热点。下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。例题解析】利用因式分解1、已知关于x的方程(a 1)x22x a 1 0的根都是整数,当a=1时,x=1当a工1时,原方程左边因式分解,得(x-1)(a-1)x+(a+1)=0 x是整数由上可知符合条件的整数有5个.由此x1x28或0，分别代入，

2、得2、已知关于x的方程1 X25a240有两个不等的负整数根，求实数a的值。那么 么符合条件的整数a有即得 得X11,x21 1-a=1,2,a=-1,0235a2a2124 a2方程的两根为X1X2X1X2，即a 1X16a 1X2x1x22x23x,0X2X1X1X2x231, 2, 3, 6X126, 3, 2, 1X22,则a 1X-,443、设关于X的二次方程X2Xi(k22，1,0,3，因为X1、X2为两个不等的负整数根，所以4, 1,0,16k28)X22(2 k 6k 4)X k 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。V (2k26k 4)24(k24)(k2由求根公式得

3、X,X26k8)4(k 6)222k26k 4 2(k 6)2(k26k 8)由于X 1，则有kXiX21两式相减,X1(X23)2由于Xi,分别代入,X21X2是整数，故可求得X1易得k=10,6,3。3利用判别式是完全平方式2,X24或X12,X22或X11,X25求形如ax2bX c 0的方程只有一个整数根， 或至少有一个整数根时， 可以根据判别式定是完全平方式解题。例4、 已知关于X的方程X2+ (k+1)X+ (k-1) =0有两个整数根，求整数k的值。解法一(判别式之完全平方数)：+14k+4=k22k+5=(k1)2+4=n2(nN)。(nk+1)(n+k1) =4.X24mx

4、4m24m 50的根都是整数。2方程mx 4x 40有整数根,Z=16-16m0,得m12 2/ 16m24(4 m24m 5)0综上所述，5m+2-k,且奇偶性相同解：设方程的两整数根分别是X1，X2，由韦达定理得X1X2m 1LX,X2m 1L由消去m，可得XIX2(XI1)(X21)(3)则有X11X21X111X2解得:XIXIX2或X2已知关于X的方程X212 mX m 10的两根都是正整数，求m的值。m2 k4m2k2或m2 k2m2k4解得m= 10(舍去)或m 5。当m=- 5时，原方程为X2-5X+6=0，两根分别为x1=2,x2=3o三、利用韦达定理(数的整除性，消参)例7

5、、已知关于X的方程kx2+(k+1)X+(k1) =0有两个整数根，求整数k的值。解法六(根与系数关系，整除)：11由题意得，k工0,X1+X2=1-,X1X2=1-oTx1、X2、kZ，k= 1 okkk=1时，X2+2X=0,X1=0,X2=2;k= 1时，X22=0，无整数根，舍去。二k=1.2例8、当m是什么整数时，关于X的方程X(m 1)Xm 10的两根都是整数？1解：若r=0时，则方程为2X10。解得X1-，不是整数。2若r 0，设方程的两个整数根为X1, ,X2(X1X2)，则由韦达定理，得X1X2r 2,X1X2r于是2X1X22(X1X2)1所以(2x11)(2X21)7因为

6、x1, ,X2都是整数，且X1x2，故有2xT2X21或2X1172X2 1解得X1X2或X14x2解解&a,h为方程的二根，且正为方程的二根，且正Sft则则0 十f? = 12 础0)品品= =m一一14，得，力，得，力+ +/ (a + 1)(右右+ l) = 122mX4由由T得得m= uh + . ah= I X 5或或2 X 3丫丫 + +二耐二耐 | |=6 m三三=7.或或由由儈儈晋晋a =1时时 = =5; 4 * 2时时 / /J 3; d 3时时. .再再- -2 H =,时时，应应= =1. /= 5或或a时 & &，由，由得得= iih十十1 t

7、 b * /W J 6* m2 m 6 X m 30有两个不同的奇数根， 求整数m的值。整数根。10、设关于x的一元二次方程设X1X2,X1X2x1x2m3X X2XX2X11 X218，因为X1、X2为奇数，所以X1X21为偶数，且Xi1X21，则11、4, 2,2, 4X23,3,mX1X236、试确定一切有理数使得关于X的方程rx2(r 2)X r 10有根且只有分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1,3,6,10。a b m 2a、b(ab)均为整数且满足 ab 4m 试直角三角形的三边长.四、(X所以r经检验知r“反客为主”法12、求出所有正整数由原方程知24x 4）a2x 12a

8、 -2（X 2）则得 得（X 4）（x解; 得4X2因XlX214或0，得r-或r 131就是所求的一切有理数。a,使方程ax22(2a 1)X4(a 3) 0至少有一个整数根.X工2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程2x 121(因为是正整数)2） 0此，X只能取-4，-3，-1，0，1，2。13、若一直角三角形两直角边的长,求这个【课后练习】1、一直角三角形的两边为整数，且满足方程x2(m 2)x 4m 0，试求m的值及直角三角形三边长2、求所有的正整数a，使关于x的方程ax22(2a 1)x 4(a 3) 0至少有一个整数 根。3、已知关于 x 的方程 x2(a 6)x a 0 的两根都是整数，求 a 的值.13a 15 0(a 是非负整数)至少有一个整数根，那10、当 m 是什么整数时， x24mx 4m24m5 0 的根都是整数.4、已知 k 为常数，关于 x 的一元二次方程 求k 的值.(k22k)x2(4 6k)x 8 0 的解都是整数,5、已知P为质数，二次方程 x22px 可能的值.5p 10 的两根都是整数，请求出P的所有6、已知 12 m 40，且关于 x 的二次方程2(m 1)x m20 有两个整数根，求整数 m .7、若一直角三角形两直角边